Calki, STUDIA MATERIAŁY, MATEMATYKA


CAŁKI NIEOZNACZONE

Funkcją pierwotną funkcji 0x01 graphic
w przedziale 0x01 graphic
nazywamy każdą funkcję 0x01 graphic
taką, że 0x01 graphic

dla każdego 0x01 graphic
z przedziału 0x01 graphic
.

Dwie funkcje mające w danym przedziale tę samą skończoną pochodną mogą się różnić co najwyżej o stałą.

Całką nieoznaczoną funkcji 0x01 graphic
oznaczaną symbolem 0x01 graphic
nazywamy wyrażenie 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
jest funkcją pierwotną funkcji 0x01 graphic
, a 0x01 graphic
jest dowolną stałą. Mamy więc

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic

Zapis 0x01 graphic
jest więc skrótem pytania: jakiej to funkcji pochodną jest funkcja f(x), a dx w zapisie informuje o zmiennej, względem której całkujemy.

Podstawowe wzory rachunku całkowego

1.0x01 graphic
2. 0x01 graphic

Kilka szczególnych przypadków z różnym a to:

3. 0x01 graphic
4.0x01 graphic
. 5.0x01 graphic

6.0x01 graphic
7. 0x01 graphic
8.0x01 graphic
9.0x01 graphic
10. 0x01 graphic

Własności całek nieoznaczonych:

  1. Stały czynnik można wynieść przed znak całki, tzn.:

0x01 graphic

  1. Całka sumy równa się sumie całek, (addytywność całki względem sumy podcałkowej) tzn.

0x01 graphic

(podobnie jest z różnicą - na podstawie punktu 1)

Metody całkowania

  1. (Całkowanie przez części ) Jeżeli 0x01 graphic
    są funkcjami zmiennej 0x01 graphic
    mającymi ciągłą pochodną, to

0x01 graphic

  1. (Całkowanie przez podstawienie) Jeżeli dla 0x01 graphic
    jest funkcją mającą ciągłą pochodną oraz 0x01 graphic
    , a funkcja 0x01 graphic
    jest ciągła w przedziale 0x01 graphic
    , to

0x01 graphic

przy czym po scałkowaniu prawej strony należy w otrzymanym wyniku podstawić 0x01 graphic
.

Własność ogólna

Jeśli 0x01 graphic
to 0x01 graphic

CAŁKA OZNACZONA

Całkę oznaczoną funkcji 0x01 graphic
w przedziale 0x01 graphic
oznaczamy symbolem :0x01 graphic
.

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ

Jeżeli w przedziale 0x01 graphic
jest 0x01 graphic
to pole obszaru ograniczonego krzywą 0x01 graphic
, odcinkiem osi 0x01 graphic
oraz prostymi 0x01 graphic
równa się całce oznaczonej 0x01 graphic
. Jeżeli zaś w przedziale 0x01 graphic
jest 0x01 graphic
, to analogiczne pole równa się -0x01 graphic
.

Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną. (Twierdzenie Newtona-Leibniza)

Jeżeli0x01 graphic
jest funkcją pierwotną funkcji 0x01 graphic
, ciągłej w przedziale 0x01 graphic
, tzn. jeśli 0x01 graphic
, to zachodzi wzór: 0x01 graphic
=0x01 graphic
.

DŁUGOŚĆ ŁUKU KRZYWEJ

Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci 0x01 graphic
, przy czym funkcja 0x01 graphic
ma w przedziale 0x01 graphic
ciągłą pochodną, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem:

0x01 graphic
.

OBJĘTOŚĆ I POLE POWIERZCHNI BRYŁ OBROTOWYCH

Niech dany będzie łuk AB krzywej o równaniu 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale 0x01 graphic
. Wówczas objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią powstałą w wyniku obrotu łuku AB dookoła osi Ox wyraża się wzorem:0x01 graphic
, gdy obrót wokół osi Oy: 0x01 graphic

Pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót łuku AB wokół osi Ox obliczamy według wzoru:

0x01 graphic
.

.CAŁKI NIEWŁAŚCIWE

CAŁKI FUNKCJI NIEOGRANICZONYCH

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale 0x01 graphic
, 0x01 graphic
oraz w każdym przedziale 0x01 graphic
i jeżeli istnieją granice: 0x01 graphic
0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
,

to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji 0x01 graphic
w przedziale 0x01 graphic
i oznaczamy symbolem 0x01 graphic
. Jeżeli któraś z powyższych granic nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.

CAŁKI OZNACZONE W PRZEDZIALE NIESKOŃCZONYM.

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale skończonym 0x01 graphic
(0x01 graphic
- ustalone, 0x01 graphic
- dowolne ) oraz istnieje granica 0x01 graphic
, to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji 0x01 graphic
w przedziale 0x01 graphic
i oznaczamy symbolem 0x01 graphic
.

Analogicznie określa się znaczenie symbolu : 0x01 graphic
jako granicę 0x01 graphic
.

1



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ZADANIA-całki, STUDIA MATERIAŁY, MATEMATYKA
Rozniczka elast tempo, STUDIA MATERIAŁY, MATEMATYKA
metodaJG, STUDIA MATERIAŁY, MATEMATYKA
Rozwinięcie Taylora1, STUDIA MATERIAŁY, MATEMATYKA
ZADANIA-matfin, STUDIA MATERIAŁY, MATEMATYKA
Przebiego1, STUDIA MATERIAŁY, MATEMATYKA
Krzywe Tornquista-m, STUDIA MATERIAŁY, MATEMATYKA
Granica wn, STUDIA MATERIAŁY, MATEMATYKA
Zadfindodatkowe2, STUDIA MATERIAŁY, MATEMATYKA
Granica n, STUDIA MATERIAŁY, MATEMATYKA
matfinan-wz, STUDIA MATERIAŁY, MATEMATYKA
Granice wł, STUDIA MATERIAŁY, MATEMATYKA
Granica, STUDIA MATERIAŁY, MATEMATYKA
ukladyrow, STUDIA MATERIAŁY, MATEMATYKA
Liczba Pi, STUDIA MATERIAŁY, MATEMATYKA

więcej podobnych podstron