CAŁKI NIEOZNACZONE
Funkcją pierwotną funkcji
w przedziale
nazywamy każdą funkcję
taką, że
dla każdego
z przedziału
.
Dwie funkcje mające w danym przedziale tę samą skończoną pochodną mogą się różnić co najwyżej o stałą.
Całką nieoznaczoną funkcji
oznaczaną symbolem
nazywamy wyrażenie
, gdzie
jest funkcją pierwotną funkcji
, a
jest dowolną stałą. Mamy więc
, gdzie
Zapis
jest więc skrótem pytania: jakiej to funkcji pochodną jest funkcja f(x), a dx w zapisie informuje o zmiennej, względem której całkujemy.
Podstawowe wzory rachunku całkowego
1.
2.
Kilka szczególnych przypadków z różnym a to:
dla
:
;
dla
:
;
dla
:
.
3.
4.
. 5.
6.
7.
8.
9.
10.
Własności całek nieoznaczonych:
Stały czynnik można wynieść przed znak całki, tzn.:
Całka sumy równa się sumie całek, (addytywność całki względem sumy podcałkowej) tzn.
(podobnie jest z różnicą - na podstawie punktu 1)
Metody całkowania
(Całkowanie przez części ) Jeżeli
są funkcjami zmiennej
mającymi ciągłą pochodną, to
(Całkowanie przez podstawienie) Jeżeli dla
jest funkcją mającą ciągłą pochodną oraz
, a funkcja
jest ciągła w przedziale
, to
przy czym po scałkowaniu prawej strony należy w otrzymanym wyniku podstawić
.
Własność ogólna
Jeśli
to
CAŁKA OZNACZONA
Całkę oznaczoną funkcji
w przedziale
oznaczamy symbolem :
.
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ
Jeżeli w przedziale
jest
to pole obszaru ograniczonego krzywą
, odcinkiem osi
oraz prostymi
równa się całce oznaczonej
. Jeżeli zaś w przedziale
jest
, to analogiczne pole równa się -
.
Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną. (Twierdzenie Newtona-Leibniza)
Jeżeli
jest funkcją pierwotną funkcji
, ciągłej w przedziale
, tzn. jeśli
, to zachodzi wzór:
=
.
DŁUGOŚĆ ŁUKU KRZYWEJ
Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci
, przy czym funkcja
ma w przedziale
ciągłą pochodną, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem:
.
OBJĘTOŚĆ I POLE POWIERZCHNI BRYŁ OBROTOWYCH
Niech dany będzie łuk AB krzywej o równaniu
gdzie
jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale
. Wówczas objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią powstałą w wyniku obrotu łuku AB dookoła osi Ox wyraża się wzorem:
, gdy obrót wokół osi Oy:
Pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót łuku AB wokół osi Ox obliczamy według wzoru:
.
.CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
CAŁKI FUNKCJI NIEOGRANICZONYCH
Jeżeli funkcja
jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale
,
oraz w każdym przedziale
i jeżeli istnieją granice:
oraz
,
to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji
w przedziale
i oznaczamy symbolem
. Jeżeli któraś z powyższych granic nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.
CAŁKI OZNACZONE W PRZEDZIALE NIESKOŃCZONYM.
Jeżeli funkcja
jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale skończonym
(
- ustalone,
- dowolne ) oraz istnieje granica
, to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji
w przedziale
i oznaczamy symbolem
.
Analogicznie określa się znaczenie symbolu :
jako granicę
.
1