Funkcja matematyczna (z wikipedii)

Funkcja matematyczna ze zbioru X w zbiór Y to odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje dokładnie jeden element zbioru Y.

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, jego elementy argumentami, zaś zbiór Y - przeciwdziedziną funkcji. Element y zbioru Y, który jest przypisany danemu x ze zbioru X nazywamy obrazem x, albo wartością funkcji dla argumentu x.

Definicja formalna

W teorii mnogości funkcja definiowana jest jako podzbiór f iloczynu kartezjańskiego zbiorów X i Y, który spełnia następujące dwa warunki:

1. dla dowolnego x ze zbioru X istnieje y ze zbioru Y taki, że x f y.
   .

2. jeśli zachodzą warunki x f y oraz x f z, to y = z.
   .

(oznaczenia: xfy - x jest w relacji f z y,
- dla każdego x,
- istnieje taki x)

Czyli: każdy element dziedziny musi być w relacji z dokładnie jednym elementem przeciwdziedziny.

Zbiorem wartości funkcji nazywamy
zbiór tych wszystkich
, dla których istnieje taki argument
, że f(x)= y.

W matematyce określenia: funkcja, przekształcenie, odwzorowanie, transformacja, operator itd. są synonimami.

Na funkcje można nakładać dodatkowe warunki, takie jak różnowartościowość, surjektywność, wzajemną jednoznaczność czy ciągłość.

Funkcje można rozpatrywać jako osobne obiekty i wykonywać na nich działania, takie jak dodawanie, mnożenie, składanie.

Funkcja różnowartościowa

Funkcja różnowartościowa (injekcja, funkcja 1-1) - funkcja, która dla dowolnych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości. Symbolicznie:

Funkcja na (surjekcja) ze zbioru X w zbiór Y jest to funkcja, która przyjmuje jako swoje wartości wszystkie elementy zbioru Y (czyli dla każdego y ze zbioru Y istnieje x ze zbioru X o własności f(x) = y):

• 
  

Bijekcja (Funkcja wzajemnie jednoznaczna) ze zbioru X na zbiór Y to funkcja, która jest jednocześnie różnowartościowa i na.

Innymi słowy bijekcja to funkcja, która tworzy odwzorowanie jeden do jednego pomiędzy obiektami dziedziny i przeciwdziedziny - każdemu obiektowi dziedziny odpowiada dokładnie jeden obiekt przeciwdziedziny (wartość funkcji) a każdemu obiektowi przedciwdziedziny jeden obiekt dziedziny.

Dziedzina i przeciwdziedzina bijekcji są zbiorami o równej mocy.

Funkcja ciągła

Funkcję (odwzorowanie) f z przestrzeni topologicznej X w przestrzeń topologiczną Y nazywamy funkcją ciągłą, jeśli spełnia warunek:

przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego w Y jest zbiorem otwartym w X.

Korzystając z pojęcia ciągłości funkcji w punkcie definicję tę można wyrazić krótko:

• funkcja f jest ciągła, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny.

Intuicyjnie, warunek ten mówi, że jeśli argumenty funkcji różnią się "mało", to i wartości, jakie funkcja przyjmuje dla tych argumentów też "niewiele" się różnią. Również intuicyjnie, funkcja określona na przedziale liczbowym jest ciągła, jeżeli jej wykres można narysować nie odrywając ołówka od papieru.

Ciągłość funkcji w punkcie.

Jeżeli
jest funkcją ze zbioru X do zbioru Y oraz
, to funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie x gdy przeciwobraz dowolnego otoczenia punktu f(x) zawiera jakieś otoczenie punktu x.

Jest to uogólnienie klasycznej, dobrze znanej ze szkoły, "epsilonowo-deltowej" definicji Cauchy'ego sformułowanej pierwotnie dla funkcji zmiennej rzeczywistej.

W przypadku gdy X i Y są przestrzeniami metrycznymi (zbiorami z określoną odległością dla podzbiorów liczb rzeczywistych tak zawsze jest) - definicję ciągłości funkcji w punkcie formułuje się zazwyczaj przy pomocy pojęcia ciągu, mianowicie:

• funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie x, jeżeli dla dowolnego ciągu punktów x_n zbieżnego do x ciąg f(x_n) jest zbieżny do f(x).

Jest to tzw. definicja Heinego - równoważna w zakresie przestrzeni metrycznych ogólnej definicji podanej na początku.

Klasyczne sformułowanie definicji Cauchy'ego w przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej (zespolonej).

• funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie x, jeżeli dla dowolnej liczby ε>0 istnieje taka liczba δ>0, że dla dowolnego x′ spełniającego warunek |x-x′|<δ spełniony jest warunek |f(x)-f(x′)|<ε.

Każda z funkcji elementarnych jest ciągła (czyli jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny).

Funkcje elementarne

Wprowadzanie pojęcia "funkcji elementarnych" to działanie porządkowe raczej niż twórcze, chodzi o ujęcie w jednej kategorii tych funkcji, które z powodu swojej budowy wydają się "proste". Aby to uściślić, zauważmy, że dla funkcji liczbowych można określić w intuicyjny sposób cztery "działania arytmetyczne", przy oczywistych zastrzeżeniach w przypadku dzielenia: jeśli f i g to dwie funkcje a * to działanie arytmetyczne na liczbach, definiujemy dla każdego argumentu x wartość funkcji f*g w nim jako [f(x)] * [g(x)]. Oprócz operacji arytmetycznych na funkcjach użyjemy też składanie funcji (gof)(x)=g(f(x)). Te operacje będziemy stosować do funcji stałych f(x)=c, identyczności i(x)=x, sinusa sin(x) i funkcji wykładniczej exp(x). Jakąkolwiek funkcję otrzymaną dzięki (być może wielokrotnemu) używaniu podanych tu konstrukcji zastosowanych do opisanych tu początkowych funkcji nazwiemy "funkcją elementarną".

Nie ma pełnej jednomyślności w przyjęciu tej nazwy. Niektórzy dopuszczają też operację brania funkcji odwrotnej do funkcji już utworzonej (o ile jest to możliwe). Niektórzy odrzucają funkcję wykładniczą ze składu początkowych cegiełek.

Nie ma jednak wątpliwości, że za funkcje elementarne można uważać:

• wielomiany

• funkcje wymierne

• funkcje trygonometryczne

• funkcje potęgowe

• funkcje logarytmiczne

Wszystkie powstają z naszych funkcji "podstawowych" w opisany wyżej sposób (z użyciem operacji brania funkcji odwrotnej).

Warto też zauważyć, że chęć "napisania mojej funkcji" może być łatwiej zaspokojona przy użyciu "zamkniętej formuły" niż "funkcji elementarnej".

Wielomian jako funkcja

Potocznie pod pojęciem wielomianu rozumiemy funkcję postaci:

,

gdzie a_i są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, a zmienna x przebiega odpowiedni zbiór.

Liczby a_i nazywamy współczynnikami wielomianu, n jego stopniem, a_n najstarszym współczynnikiem, a a₀ wyrazem wolnym.

Wielomian stopnia n ma co najwyżej n miejsc zerowych - wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma zawsze co najmniej jedno miejsce zerowe. Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że każdy wielomian zespolony ma zespolone miejsce zerowe.

Aproksymacja funkcji ciągłych

Ze względu na swą prostotę i "porządne" własności (ciągłość, różniczkowalność) wielomiany odgrywają ważną rolę w analizie matematycznej. Podstawowe twierdzenie Weierstrassa mówi, że każdą funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można z dowolną dokładnością przybliżać wielomianami.

Szeregi potęgowe

Próby przybliżania funkcji wielomianami doprowadziły do teorii szeregów potęgowych, które można traktować jako uogólnienie wielomianów. Wiele ważnych funkcji daje się rozwinąć w szereg potęgowy, co ułatwia badanie ich własności. Dla przykładu funkcja x → e^x ma rozwinięcie:

Rozwijanie funkcji w szereg jest szczególnie ważne w przypadku funkcji, które nie są elementarne (zobacz też: funkcje specjalne).

Wielomian w algebrze

Wielomian jednej zmiennej x to wyrażenie algebraiczne postaci:

a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀,

gdzie x to symbol zmiennej, zaś a_k to współczynniki należące do pewnego zbioru, na przykład liczb rzeczywistych lub zespolonych. Liczbę a_n nazywamy najstarszym współczynnikiem wielomianu, zaś a₀ wyrazem wolnym.

Przykłady wielomianów jednej zmiennej:

1. 2x (wielomian stopnia pierwszego)

2. 3x³-2x²+x-1 (wielomian stopnia trzeciego)

3. x⁵+x³-2x+11 (wielomian stopnia piątego)

4. -9 (wielomian stopnia zero)

5. 0. (wielomian zerowy)

W tym sensie wielomiany to po prostu napisy, na których możemy wykonywać działania zgodnie z poznanymi w szkole regułami. Ostatni z podanych wielomianów to wielomian zerowy — odgrywa on rolę analogiczną do roli liczby 0 w zbiorze liczb całkowitych.

Funkcja wymierna

Funkcją wymierną nazywa się funkcję postaci

gdzie
oraz
, są wielomianami,
nie jest wielomianem zerowym.

Czyli równoważnie:
gdzie nie wszystkie b_i są zerami.

Gdy oba wielomiany - w liczniku i w mianowniku - są stopnia dokładnie 1, to funkcję nazywamy funkcją homograficzną

Funkcja niewymierna

Funkcja niewymierna - funkcja algebraiczna, która nie jest funkcją wymierną.

Na przykład wszystkie funkcje potęgowe postaci
są niewymierne.

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego to funkcje trygonometryczne, których argumentem jest kąt skierowany. Do podstawowych funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego należą: sin (sinus), cos (cosinus), tg (tangens), ctg (cotangens); natomiast bardzo rzadko używane są sec (secans) i cosec (cosecans).

Jeżeli płaski kąt skierowany ustali się tak, że jego wierzchołek znajduje się w początku O prostokątnego układu współrzędnych i pierwsze ramię kąta pokrywa się z pierwszą dodatnią półosią układu, a jego drugie ramię jest dowolną półprostą leżącą w płaszczyźnie układu, wychodzącą z punktu O, to kąt, jaki zakreśla drugie ramię przez obrót w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara, jest kątem dodatnim. Kąt przeciwny do kąta dodatniego jest kątem ujemnym.

Niech M = (a, b) będzie różnym od O punktem należącym do drugiego ramienia kąta skierowanego α. Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego α są określone wzorami:

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

gdzie r = |OM|.

Definicja geometryczna

Jeżeli punkt M dobierzemy w jednostkowej odległości od początku układu r=1, to jest na okręgu jednostkowym, to wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wyrażać się będą wprost przez długości odpowiednich odcinków:

Dla kątów większych od kąta prostego oraz dla kątów o mierze ujemnej definicję powyższą uogólnia się, przyjmując ujemną miarę odpowiednich odcinków.

Wartości funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego są ujęte w formie tablic (obecnie wychodzących z użycia), które podają przybliżone wartości funkcji sin, cos, tan i cot dla kątów od 0° do 90°, gdyż wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić obliczenia wartości funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego do takich przypadków. Argumenty są podawane z dokładnością do 10 minut kątowych.

Funkcja potęgowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Funkcja potęgowa — funkcja postaci y = x^a, gdzie a jest daną liczbą rzeczywistą.

Dla a>0 — funkcja na pewno jest określona dla x>0; poza tym warto wyróżnić kilka przypadków:

• a jest liczbą naturalną — dziedziną funcji jest zbiór liczb rzeczywistych;

• a jest liczbą całkowitą ujemną — dziedziną funcji jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem 0;

• a jest ułamkiem postaci n/m, gdzie n jest liczbą naturalną, a m jest liczbą naturalną nieparzystą — dziedziną funcji jest zbiór liczb rzeczywistych

Rysunki pokazują wykresy kilku funkcji potęgowych, dla różnych wartości a.

Definicja

Logarytm jest to wykładnik potęgi, do której należy podnieść stałą wartość podstawową (podstawę logarytmu), aby otrzymać daną liczbę. Inaczej — logarytm o podstawie a liczby dodatniej b to wykładnik c potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać liczbę b:
a^c = b,
przy czym podstawa a jest liczbą dodatnią różną od jedności, zaś b>0.

Piszemy: log_a b = c, przy a > 0, a≠1 i b > 0.

Logarytmowanie jest operacją odwrotną do potęgowania (podobnie jak pierwiastkowanie). Formalnie logarytm jest funkcją odwrotną funkcji wykładniczej.

Najczęściej spotykamy logarytmy:

• logarytm dziesiętny, zwany logarytmem Briggsa (o podstawie 10),

• logarytm naturalny, zwany logarytmem Napiera (o podstawie e),

• logarytm binarny (a. dwójkowy) (o podstawie 2).

Zapis

Zapis bez indeksu log x nie jest jednoznaczny. W różnych dziedzinach może oznaczać logarytm naturalny, dziesiętny, binarny lub o nieistotnej dodatniej podstawie (w teorii złożoności obliczeniowej). Dlatego, gdy podstawa nie wynika z kontekstu użycia, należy używać zapisu jednoznacznego:

logarytm dziesiętny — log₁₀x = logx;

logarytm naturalny — log_ex = lnx;

logarytm binarny — log₂x = lgx;

logarytm o podstawie a — log_ax.

Prawa

Prawa działań na logarytmach wynikają z praw dotyczących wyrażeń potęgowych:

• każda liczba dodatnia i liczba ujemna posiada logarytm. Logarytmy liczb dodatnich sa liczbami rzeczywistymi z przedzialu +/- nieskończoność, a logarytmami liczb ujemnych sa liczby zespolone (np. :logarytm naturalny z (-1)} jest rowny
  :
  , czyli
  o czym więcej w temacie Wzór_Eulera. Zero logarytmu nie posiada;

• logarytm jedności równa się zero:

log_a(1) = 0

• logarytm danej liczby dąży do minus nieskończoności, gdy liczba ta dąży do zera, przy podstawie logarytmu większej od jedności:

, gdy
, przy a > 1;

• logarytm danej liczby dąży do nieskończoności, gdy liczba ta dąży również do nieskończoności,przy podstawie logarytmu większej od jedności:

, gdy
, przy a > 1;

• logarytm danej liczby dąży do nieskończoności, gdy liczba ta dąży do zera, przy podstawie logarytmu większej od zera a mniejszej od jedności:

, gdy
, przy 0 < a < 1;

• logarytm danej liczby dąży do minus nieskończoności, gdy liczba ta dąży do nieskończoności,przy podstawie logarytmu większej od zera a mniejszej od jedności:

, gdy
, przy 0 < a < 1;

• logarytm podstawy logarytmu równa się jedności:

log_aa = 1

• logarytm iloczynu dwóch lub kilku czynników równa się sumie logarytmów poszczególnych czynników:

• logarytm ilorazu dwóch liczb równa się różnicy logarytów dzielnej i dzielnika:

• logarytm liczby w danej potędze równa się iloczynowi wykładnika potęgi i logarytmu tej liczby:

• potęga o podstawie a i wykładniku log_ab jest równa b:

Zależności między logarytmami o różnych podstawach

• iloraz logarytmów dwóch liczb (b, a) przy jednakowej podstawie (c) równa się logarytmowi pierwszej liczby (b) przy podstawie równej drugiej liczbie (a):

• jeśli jedna liczba logarytmowana jest równa podstawie logarytmu drugiej liczby logarytmowanej i odwrotnie, to iloczyn tych liczb równa się jedności:

, np.:

Wzór Eulera

Wzorem Eulera (tożsamością Eulera) nazywa się wzór na związek między funkcjami trygonometrycznymi i funkcją wykładniczą, odkryty przez Leonharda Eulera:

e^ix = cos(x) + i sin(x)

Można go otrzymać określając potęgi zespolone liczby e. Rozwijając funkcje
,
,
w szereg potęgowy, gdzie x jest liczbą rzeczywistą otrzymuje się:

Definiuje się potęgę
(x jest liczbą rzeczywistą):

W szczególności, podstawiając
łatwo dojść do równości

zawierającej najważniejsze stałe klasycznej matematyki i zwanej dlatego przez niektórych najpiękniejszym wzorem matematyki.

Na podstawie wzoru Eulera otrzymuje się:

,

skąd można otrzymać równość

również dla argumentów zespolonych.

---