Temat: Analiza statystyczna - miary tendencji centralnej

Celem kompletnej analizy statystycznej badanego zjawiska jest dojście do pewnego rodzaju uogólnień dotyczących tego zjawiska.

1. Średnia arytmetyczna:

1. średnia arytmetyczna zwykła (prosta)

jeżeli dane przedstawione są w postaci indywidualnego szeregu wartości cechy to średnią obliczamy według wzoru:

gdzie:

x_i - wartość cechy statystycznej

N - liczebność zbiorowości

Przykład:

Uczeń dostał następujące oceny: 5, 6, 5, 4, 3 oblicz średnią:

Odp.: Średnia ocen wynosi 4,6

2. średnia arytmetyczna ważona

jeżeli informacje dotyczące wartości cech są podane w formie szeregu statystycznego rozdzielczego:

1. z cechą mierzalną ze zmiennością skokową stosuje się wzór:

gdzie:

n_i - liczebność cząstkowa

Przykład:

oceny (xi)	ilość (ni)	xi*ni
1	4	4
2	10	20
3	8	24
4	2	8
5	3	15
6	1	6
Razem	28	77

Odp.: średnia otrzymanych ocen wynosi 2,75

2. gdzie zastosowano rozpiętość przedziałów klasowych średnia oblicza się ze wzoru:

gdzie:

- średnia przedziału klasowego

Przykład:

oceny (xi)	ilość (ni)	*ni
1 - 2	5	1,5 * 5 = 7,5
3 - 4	10	3,5 * 10 = 35
5 - 6	3	5,5 * 3 = 16,5
Razem	18	59

= (1+2):2= 1,5

2. Dominanta - jest to wartość cechy, która najczęściej występuje w badanej zbiorowości statystycznej. Nazywa się ją również wartością modalną (moda)

1. wskazuje się, kiedy dane przedstawione są w postaci indywidualnego szeregu wartości oraz szeregu statystycznego z cechą mierzalna ze zmiennością skokowa. Jest to taka wartość zmiennej, która w danym szeregu występuje najczęściej

Przykład:

3. Indywidualny szereg wartości: 5, 6, 5, 4, 3

D_x = 5

4. Szereg statystyczny z zmiennością skokową:

oceny (xi)	ilość (ni)
1	4
2	10
3	8
4	2
5	3
6	1
Razem	28

D_x = 2

2. oblicza się, gdy dane przedstawione są w postaci szeregu statystycznego z cechą mierzalna ze zmiennością ciągłą ( gdy są przedziały klasowe).

W przedziale gdzie jest największa liczba jednostek obliczamy dominantę.




gdzie:

x_o - dolna granica przedziału klasowego, w którym występuje dominanta

L - rozpiętość przedziału klasowego

n - liczebność przedziału dominanty

n_-1 - liczebność przedziału poprzedzająca dominantę (jak niema żadnego wcześniej to wpisujemy 0)

n₁ - liczebność przedziału występująca po dominancie

Przykład:

oceny (xi)	ilość (ni)
1 - 2	5
3 - 4	10
5 - 6	3
Razem	18




Wynik musi się mieścić w przedziale szeregowym dominanty.

3. Mediana - jest to wartość środkowa, dzieląca zbiorowość na dwie równe części.

Wyznaczanie w poszczególnych szeregach statystycznych:

1. szereg uporządkowany indywidualny o nieparzystej liczbie jednostek




Przykład:

Oceny ucznia:

1, 2, 3, 5, 4, 6, 4, 3, 3, - szereg nieuporządkowany

1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, - szereg uporządkowany




M_x = 3

Odp.: Wartością środkowa jest 3, co oznacza ze połowa jednostek ma wartość większą niż 3, a połowa mniejsza niż 3.

2. szereg uporządkowany indywidualny o parzystej liczbie jednostek





Z wartości tych wyrazów obliczamy średnią arytmetyczną, która jest medianą

Przykład:

Oceny ucznia:

1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6,





Średnia arytmetyczna:




3. szereg statystyczny z cechą mierzalną z zmiennością skokową.

Należy utworzyć szereg skumulowany i ustalić numer jednostki środkowej

oceny (xi)	ilość (ni)	ilość skumulowana
1	8	8
2	6	14 (8+6)
3	12	26 (14+12)
4	5	31 (26+5)
5	1	32 (31+1)
6	1	33 (32+1)
Razem	33

Ustalamy czy liczebność zbiorowości (N) jest liczbą parzysta czy nieparzystą.




W kolumnie skumulowanej wybieramy przedział w której znajduje się pozycja mediany

4. szereg statystyczny z cecha mierzalną z zmiennością ciągłą (wartości cech są ujęte w przedziałach klasowych)





gdzie:

x_oMX - górna wartość przedziału klasowego w którym znajduje się mediana

L - rozpiętość przedziału klasowego

S_SMX-1 - wartość szeregu skumulowana poprzedzająca medianę

Przykład:

oceny (xi)	ilość (ni)	szereg skumulowany
1 - 2	5	5
3 - 4	10	15
5 - 6	3	18
Razem	18

18 - liczba parzysta







Odp.:

4. Wskaźnik struktury - wskaźnik udziału liczebności cząstkowej do liczebności globalnej.

Struktura zbiorowości określona jest przez podział badanej zbiorowości statystycznej na grupy jednostek różniących się od siebie wartościami poszczególnych cech.

Wskaźnik struktury możemy obliczyć jako:

• Ułamkowe wskaźniki struktury




gdzie:

ni - liczebność poszczególnych części danej zbiorowości

N - liczebność całej zbiorowości statystycznej

• Wskaźnik procentowy




5. Wskaźnik natężenia - są to wielkości stosunkowe, wyrażające kształtowanie się wielkości jednego zjawiska na tle innego, logicznie z nim związanego

Najczęściej spotykanym współczynnikiem natężenia są np. gęstość zaludnienia, liczba urodzeń małżeństw, wskaźnik umieralności, wskaźnik wydajności pracy, produkcja energii elektrycznej w Kw. Na 1 mieszkańca.




gdzie:

N1 - wielkość jednej zbiorowości

N2 - wielkość drugiej zbiorowość

ZADANIA

Zadanie 1

Oblicz lub wskaż średnią arytmetyczną, dominantę i medianę oraz zinterpretuj wyniki poniższych danych.

1. …

Powierzchnia sklepu w m²: 20, 80, 40, 40, 20, 15, 20, 18, 15, 20, 80, 18, 20

2. …

powierzchnia w m^2 (xi)	ilość (ni)
20	5
40	15
60	5
Razem	25

3. …

powierzchnia w m^2 (xi)	ilość (ni)
(20 - 40>	10
(40 - 60>	20
(60 - 80>	8
Razem	38

Rozwiązanie:

Szereg:

nieuporządkowany: 20, 80, 40, 40, 20, 15, 20, 18, 15, 20, 80, 18, 20

uporządkowany:15, 15, 18, 18, 20, 20, 20, 20, 20, 40, 40, 80, 80

średnia arytmetyczna:




Odp.: Średnia powierzchnia sklepów wynosi 31,23m²

dominanta:

D_x = 20m²

Odp.: Sklepy maja najczęściej powierzchnię 20m²

mediana:




Odp.: Połowa sklepów ma mniejsza powierzchnię niż 20m², a druga połowa sklepów badanych ma większą powierzchnię niż 20m²

B.

powierzchnia w m^2 (xi)	ilość (ni)	xi * ni	szereg skumulowany
20	5	100	5
40	15	600	20
60	5	300	25
Razem	25	1000

średnia arytmetyczna:




Odp.: Przeciętna powierzchnia sklepów wynosi 40m²

dominanta:

D_x= 40

Odp.: Najwięcej jest sklepów o powierzchni 40m²

mediana:




M_x= 40

Odp.: Połowa sklepów ma powierzchnie mniejsza od 40m², a druga większą.

C.

powierzchnia w m^2 (xi)	ilość (ni)		*ni	szereg skumulowany
(20 - 40>	10	30	300	10
(40 - 60>	20	50	1000	30
(60 - 80>	8	70	560	38
Razem	38		1860

średnia arytmetyczna:




Odp.: Średnia powierzchnia sklepów wynosi 48,95m²

dominanta:




Odp.: Najwięcej sklepów ma powierzchnię 49m²

mediana:







Odp.: Połowa sklepów ma powierzchnie większą od 49m², a druga połowa sklepów ma mniejsza powierzchnię niż 49m².

---