1. Równanie Cauchy'ego:

Wzór (równanie Cauchy'ego) - pozwala na obliczenie składowych wektora naprężenia działającego na płaszczyźnie dowolnie nachylonej, gdyż znamy:

- tensor naprężenia w danym punkcie ciała (σ_ij)

- orientację płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt (n_i)

Równanie Cauchy'ego:

Gdy znamy składowe wektora σ_i to możemy obliczyć:

- jego długość,

- jego orientację.

2. Naprężenia główne i niezmienniki stanu napr.

po rozwiązaniu równania ze względu na n znajdujemy trzy pierwiastki n₁, n₂, n₃, które są kierunkami głównymi.

Układ równań liniowych posiada niezerowe rozwiązania tylko wówczas, gdy wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych jest równy zero:

Rozwiązując powyższy wyznacznik otrzymuję równanie 3-go stopnia

gdzie: I₁, I₂, I₃ - niezmienniki tensora naprężenia.

Niezmienniki stanu naprężenia są to wyrażenia algebraiczne utworzone ze składowych tensora naprężenia, które nie zmieniają swoich wartości przy transformacjach układu odniesienia.

Dla dowolnego tensora naprężenia:

niezmienniki przyjmują następującą postać:

Jeżeli składowe tensora σ_ij są liczbami rzeczywistymi, to rozwiązanie równania
zawsze istnieje w zakresie liczb rzeczywistych.

Rozwiązaniem powyższego równania sa poszukiwane naprężenia główne:

Zgodnie z umową, otrzymane naprężenia główne szeregujemy w sposób malejący:

Tensor naprężeń głównych w sposób jednoznaczny opisuje stan naprężenia w punkcie.

3. Rozkład stanu napr. na 2 stany podstawowe, niezmiennik dewiatora naprężenia.

Rozróżniamy dwa stany podstawowe naprężeń:

-hydrostatyczny
σ(1)=σ(2)=σ(3),

-czyste ściananie (stan dewiacyjny)
σ(1)+σ(2)+σ(3)=0.

Stan hydrostatyczny powoduje zmianę objętości i nigdy nie prowadzi do trwałej zmiany postaci.

Czyste ścianie to taki stan, w którym suma naprężeń leżących na przekątnej głównej tensora jest równa zero. Następuje trwała zmiana postaci.

Każdy dowolny stan naprężenia rozłożyć można na stan hydrostatyczny i czyste ścinanie.

Dla dowolnego tensora naprężeń:

gdzie pierwszy stan podstawowy to AKSJATOR, a drugi DEWIATOR.

Użyte w powyższym wzorze σ_o to naprężenie średnie.

Powyższe tensory, zgodnie z umową sumacyjną, zapisujemy w postaci:

gdzie
to dewiator, a iloczyn σ_o i δ_ij to aksjator.

Niezmienniki dewiatora naprężenia.

Niezmienniki dewiatora naprężenia przyjmują następującą postać:

4. Naprężenia styczne i normalne na pł. oktaedru.

Naprężenie styczne na płaszczyźnie oktaedru.
Oktaedr jest to ośmiościan foremny, składa się z ośmiu płaszczyzn (111).
Płaszczyzny (111) są to płaszczyzny łatwego poślizgu w sieci regularnej płasko centrowanej (A1), jako płaszczyzny najgęściej "upakowane" atomami.

Dla ogólnego tensora:

Naprężenie normalne na płaszczyźnie oktaedru:

Dla ogólnego tensora:

5. Maksymalne naprężenia styczne i płaszczyzny ich działania.

gdzie:    

Płaszczyzny działania maksymalnych naprężeń stycznych:

     
     

Płaszczyzny (110) to płaszczyzny łatwego poślizgu w sieci regularnej przestrzennie centrowanej (A2).

Sześć płaszczyzn (110) x dwa kierunki [111] = 12 systemów poślizgu.

6. Tensory odkształceń skończonych.

ui- wektor przemieszczenia

xi- wektor położenia chwilowego

ai- wektor położenia początkowego

Zapis Lagrange'a

Zapis Euler'a

Tensory odkształceń skończonych we współrzędnych Lagrange'a i Eulera są tensorami symetrycznymi drugiego rzędu.

7. Tensory odkształceń nieskończenie małych.

Tensor odkształcenia Lagrange'a dla odkształceń nieskończenie małych.

Jeżeli składowe przemieszczenia (u_i) są takie, że ich pochodne są na tyle małe, że kwadraty i iloczyny pochodnych cząstkowych można pominąć, to równanie:

przyjmuje postać:

l_ij jest symetrycznym tensorem odkształceń liniowych drugiego rzędu,

Tensor odkształcenia Eulera dla odkształceń nieskończenie małych.

Analogicznie jak dla tensora Lagrange'a jest:

l_ij = e_ij

Do obliczeń w częściach maszyn (gdzie mamy do czynienia z odkształceniami sprężystymi)

Składowe
opisują odkształcenia liniowe.
Składowe
opisują odkształcenia postaciowe.

8. Odkształcenia główne i niezmiennik stanu odkształcenia.

Odkształcenia główne są to takie odkształcenia, którym nie towarzyszą odkształcenia postaciowe.

Składowe odkształcenia głównego obliczamy analogicznie do składowych naprężenia głównego, poprzez rozwiązanie równania trzeciego stopnia:

gdzie M₁, M₂, M₃ - niezmienniki stanu odkształcenia.

Niezmienniki stanu odkształcenia są to wyrażenia algebraiczne, utworzone ze składowych tensora naprężenia, które nie zmieniają swoich wartości przy transformacjach układu odniesienia.
Dla tensora odkształceń l_ij:

Jeżeli składowe tensora l_ij są liczbami rzeczywistymi to rozwiązanie powyższego równania trzeciego stopnia istnieje zawsze w sferze liczb rzeczywistych i są to poszukiwane odkształcenia główne.

Analogiczne obliczenia wykonujemy dla zapisu Euler'a

9. Geometryczna interpretacja składowych tensorów odkształceń nieskończenie małych.

Rozpatrujemy zmianę postaci elementarnego prostopadłościanu.

Bierzemy pod uwagę ścianę leżącą w płaszczyźnie x₂, x₃

Superpozycja:

W efekcie otrzymaliśmy:
e_ij dla i ≠ j
l_ij dla i ≠ j
Tensory te opisują zmiany kątów prostych utworzonych przez krawędzie prostopadłościanu równoległe do osi układu odniesienia.

10. Rozkład stanu odkształcenia na 2 stany podstawowe i niezmienniki dewiatora stanu odkształcenia.

Każdy stan odkształcenia można rozłożyć na dwa stany podstawowe:

- odkształcenie objętościowe - wynik działania naprężenia hydrostatycznego (opisywane przez dylatację a w konsekwencji przez aksjator stanu odkształcenia)

- odkształcenia postaciowe - wynik działania czystego ścinania (opisywane przez dewiator stanu odkształcenia)

Zmiana objętości opisywana jest przez dylatację (względną zmianę objętości ciała).

V- końcowa objętość

V0- początkowa objętość

Przy odkształceniu objętościowym wszystkie odkształcenia liniowe muszą być sobie równe!

Odkształcenie objętościowe jest wywołane przez hydrostatyczny stan naprężenia, który nigdy nie doprowdzi do trwałych odkształceń. Dylatacja nie powoduje odkształcenia postaciowego.

Odkształcenie postaciowe polega na zmianie postaci ciała, a równocześnie dylatacja równa się zero (D=0).

Każdy tensor l_ij możemy rozłożyć na dwa stany postawowe:

gdzie pierwszy stan podstawowy to AKSJATOR, a drugi DEWIATOR.

Niezmienniki dewiatora odkształcenia.

Drugi niezmiennik dewiatora odkształcenia służy do zdefiniowania całkowitego zastępczego odkształcenia:

11. Związki pomiędzy naprężeniami i odkształceniami w stanie sprężystym - dla ciał anizotropowych i izotropowych sprężyście.

Dla ciała anizotropowego (anizotropia - różne własności w różnych kierunkach).

gdzie C_ijkl to tensor stałych sprężystości.

Ze względu na symetryczność tensorów odkształcenia i naprężenia,

Występuje 6 niezależnych kombinacji dla (i,j) oraz 6 dla (k,l). Liczba niezależnych stałych w tensorze C_ijkl redukuje się z 81 do 36.

Można również wykazać, że C_ijkl = C_klij co redukuje ilości niezależnych stałych do 21.

Dla ciała izotropowego (izotropia - identyczne własności w różnych kierunkach).

Związki między naprężeniem, a odkształceniem:

Prawo zmiany objętości:

Moduł ściśliwości:

Prawo zmiany postaci ciała:

Moduł ścinania:

E - moduł Younga
ν - liczba Poissona, gdzie:

12. Energia odkształcenia sprężystego.

To energia zmagazynowana w ciele odkształconym sprężyście, która jest zamieniana na pracę gdy ciało wraca do wymiarów pierwotnych po usunięciu obciążenia.

Pole pod krzywą oznacza jednostkową pracę odkształcenia sprężystego.

Dla złożonego stanu naprężeń i odkształceń należy zsumować pracę we wszystkich kierunkach odkształcenia.

Praca jednostkowa odkształcenia (najprostszy wzór z którego liczy się na komputerach):

Energię odkształcenia sprężystego możemy podzielić na:

- energię związaną ze zmianą objętości,

- energię związaną z odkształceniem postaci:

U_f - energia odkształcenia postaci,

U_v - energia zmiany objętości.

13. Całkowite zastępcze naprężenie i odkształcenie.

Całkowite zastępcze naprężenie - intensywność naprężeń - to takie naprężenie jednoosiowe którego skutek działania w danym punkcie materiału jest taki sam jak skutek działania złożonego stanu naprężeń.

Do zdefiniowania intensywności naprężenia posługujemy się drugim niezmiennikiem tensora naprężenia:

Dla naprężeń głównych:

Całkowite zastępcze odkształcenie- intensywność odkształcenia - jest to odkształcenie liniowe, na wykonanie którego należy zużyć taką samą pracą jak na wykonanie złożonego stanu odkształcenia.

Do zdefiniowania intensywności odkształcenia posługujemy się drugim niesmiennikiem tensora odkształcenia:

Dla stanu sprężystego:

Dla odkształceń głównych:

Dla materiałów nieściśliwych:

14. Tensor przyrostów odkształcenia i jego własności.

Posłużyliśmy się tutaj tensorem l_ij. Te same własności i zależności można wyprowadzić dla tensorów e_ij, ε_ij.

Tensory przyrostów odkształcenia stosuje się zamiennie z tensorami odkształceń skończonych (odkształcenie małe - sprężyste, odkształcenie skończone - plastyczne).
Przyrost odkształcenia (różniczka zupełna tensora) jest formą "dostosowania" tensorów odkształceń nieskończenie małych (l_ij , e_ij) do dokładnego opisu odkształceń skończonych.

Średni przyrost odkształcenia:

Rozkład tensora przyrostów odkształcenia na dwa stany podstawowe - aksjator i dewiator:

Drugi niezmiennik dewiatora przyrostów odkształcenia:

Tensor głównych przyrostów odkształcenia:

Dla materiałów nieściśliwych:

15. Tensor prędkości odkształcenia i jego własności.

Postać macierzowa tensora prędkości odkształcenia:

- prędkości odkształceń elementów liniowych,

- prędkości odkształceń elementów postaciowych.

Średnia prędkość odkształcenia:

Rozkład tensora prędkości odkształcenia na dwa stany podstawowe:

Drugi niezmiennik dewiatora tensora prędkości odkształcenia:

Tensor głównych prędkości odkształcenia:

Główne prędkości odkształcenia
obliczamy z równania trzeciego stopnia:

gdzie
to niezmienniki tensora prędkości odkształcenia.

Intensywność prędkości odkształcenia:

Dla materiałów nieściśliwych:

16. Warunek plastyczności Treski.

Warunek ten nazywany jest też warunkiem maksymalnych naprężeń stycznych.

W ogólności warunek plastyczności to warunek naprężeniowy, który musi być spełniony, aby w danym punkcie ciała materiał przeszedł w stan plastyczny. Innymi słowy warunek to pewna funkcja naprężeń która musi zostać spełniona, F(σ_ij) = 0, w momencie przejścia materiału w stan plastyczny.

Materiał przejdzie w stan plastyczny gdy maksymalne naprężenie styczne osiągnie określoną wartość krytyczną.

S_max = S_krytyczne

Dla jednoosiowego rozciągania mamy σ(1) ≠ 0, σ(2) = σ(3) = 0

Wartość krytyczna naprężenia stycznego wystąpi wówczas gdy:

Największe naprężenie styczne S(2) jest równe:

Gdyż

Podstawiając do równania na Smax

σ(1)=σp, σ(2)= σ(3)=0

Otrzymujemy wartość krytyczną

!

Materiał w danym punkcie ciała przejdzie w stan plastyczny gdy różnica pomiędzy największym a najmniejszym naprężeniem głównym osiągnie wartość naprężenia uplastyczniającego.

17. Warunek plastyczności Hubera-Misesa-Hencky'ego.

Generalnie warunek plastyczności to funkcja naprężeń która musi być spełniona (f(σij)=0) w momencie przejścia materiału ze stanu sprężystego w stan plastyczny.
Inaczej zwany: warunek energii właściwej odkształcenia postaciowego:

Materiał przejdzie w stan plastyczny gdy właściwa energia jednostkowa sprężystego odkształcenia postaciowego osiągnie określoną wartość krytyczną (charakterystyczną dla danego materiału).

U_f - energia właściwa odkształcenia postaciowego (sprężystego)

U_f = U_{f krytyczne}

gdzie    


G - moduł ścinania,
σ_H - intensywność naprężenia.
Wartość Uf kryt znajdujemy dla przypadku jednoosiowego rozciągania σ(1) ≠ 0, σ(2) = σ(3) = 0, czyli:

Materiał w danym punkcie ciała przejdzie w stan plastyczny gdy intensywność naprężeń osiągnie wartość naprężenia uplastyczniającego.

Warunek Hubera można przekształcić do postaci

18. Plastyczność oraz wpływ warunków odkształcenia na plastyczność. Wskaźniki oceniające plastyczność.

Plastyczność to zdolność materiału do trwałego odkształcenia bez utraty spójności materiału (tzn. bez pęknięć).

Plastyczność nie jest własnością, lecz przedstawia stan w jakim znajduje się materiał.

Wpływ warunków odkształcenia na plastyczność:

- temperatura (aktywacja dyslokacji): im wyższa temperatura tym większa jest plastyczność. Dla stali występują odstępstwa od tej zasady (tzw. zakres kruchości),

- układ krystalograficzny:

sieć regularna płasko centrowana, sieć A1: Au, Ag, Cu, Al, Ni, Fe γ,

sieć regularna przestrzennie centrowana, sieć A2: Fe, W, Cr, Mo,

sieć heksagonalna, sieć A3: Zn.

- skład chemiczny - wzrost C, P i S oraz obecność w stali H₂, N₂ i O₂ obniża jej plastyczność,

- struktura - drobnoziarnista jest bardziej plastyczna niż gruboziarnista,

- stan naprężenia - im mniejsze jest naprężenie średnie tym materiał wykazuje większą plastyczność.

Obróbka cieplna, która kształtuje strukturę stali, ma ogromny wpływ na plastyczność materiałów. Im większe naprężenie ściskające tym plastyczność jest większa.

Wskaźniki określające plastyczność:

Ar - wydłużenie równomierne,

Ac - wydłużenie całkowite,

Z - dS/S₀ = (S₀-S_n)/S₀ - przewężenie,

Jeżeli stosunek Re/Rm spada, to plastyczność rośnie.
Jeżeli udarność (praca łamania) rośnie, to plastyczność rośnie.

19.Umocnienie odkształceniowe i krzywa umocnienia.

Umocnienie odkształceniowe - całokształt zmian własności materiału pod wpływem przeróbki plastycznej na zimno (poniżej temperatury rekrystalizacji).

Zmieniają się własności:

mechaniczne:

- wytrzymałościowe (np. R_0,2, Rm, HB),

- plastyczne (np. Z, As, Ar, U...).

elektryczne,

magnetyczne,

inne własności (np. odporność na korozje).

Naprężenie uplastyczniające to naprężenie powodujące przejście materiału w stan plastyczny przy jednoosiowym stanie naprężenia.

Wyznaczany jest w próbie jednoosiowego rozciągania, beztarciowego ściskania lub skręcania wielokrotnego.

Krzywa umowna - umowne naprężenie:

Naprężenie rzeczywiste:

Położenie krzywej zależy też od temperatury i rzeczywistej prędkości odkształcenia.

Krzywa umocnienia - krzywa zmian σ_p w funkcji odkształcenia, otrzymana w próbach: jednoosiowego rozciągania, beztarciowego ściskania lub skręcania.

k,n- stałe dla danego materiału

k - hipotetyczna wartość σ_p dla hipotetycznego ε=100%,
n - wykładnik umocnienia, 0 ≤ n ≤ 1,

20. Tensor odkształceń logarytmicznych i jego własności.

Stosuje się je do opisu odkształceń plastycznych. Zwane są również odkształceniami rzeczywistymi.

Rysunek: dwa sześciany jeden nieodkształcony drugi odkształcony.

a1,a2,a3- krawędzie prostopadłościanu przed odkształceniem

x1,x2,x3- krawędzie po odkształceniu

Z prawa stałej objętości mamy:

a1⋅a2⋅a3=x1⋅x2⋅x3

Po zlogarytmowaniu

Oznaczamy

Czyli:

δ(1),δ(2),δ(3)- odkształcenia logarytmiczne

Odkształcenia logarytmiczne tworzą tensor 2-go rzędu: ε_ij^δ

Przyrosty odkształceń logarytmicznych ogólnie przyrosty oznaczamy:

l- element liniowy

dl- przyrost elementu liniowego

Dla lierunków x1, x2, x3 otrzymujemy

Składowe: dδ₁, dδ₂, dδ₃ tworzą tensor przyrostu odkształceń logarytmicznych

---