mechanika plynow opracowane zagadnienia (2), Sprawka

+MECHANIKA PŁYNÓW I

Zjawisko włoskowatości: Inaczej kapilarnośc. Zjawisko wznoszenia się cieczy (gdy menisk jest wklśsły - zwilżanie) i opadanie cieczy ( gdy menisk jest wypukły ) w cienkich kapilarach spowodowanie dodatkowym ciśnieniem.
Zjawisko napięcia powierzchniowego: zjawisko fizyczne występujące na styku powierzchni cieczy z ciałem stałym, gazowym lub inną cieczą. Polega na powstawaniu dodatkowych sił działających na powierzchnię cieczy w sposób kurczący ją (dla powierzchni wypukłej przyciągający do wnętrza cieczy, dla wklęsłej odwrotnie). Zjawisko to ma swoje źródło w siłach przyciągania pomiędzy molekułami cieczy. Występuje ono zawsze na granicy faz termodynamicznych, dlatego zwane jest też napięciem międzyfazowym .
Fontanna Herona: Fontanna Herona składa się z trzech naczyń. Jednego otwartego A (rys.1), w którym znajduje się wylot wodotrysku i dwóch naczyń B, C, zamkniętych służących do zapewnienia odpowiedniego ciśnienia wody u wylotu strumienia. Fontanna działa jeśli w naczyniu środkowym B będzie dostatecznie dużo wody, a sprężone powietrze z naczynia dolnego C zapewni dostatecznie wysokie ciśnienie. Powietrze w zbiornikach B i C będzie oczywiście sprężone przez wodę przepływającą z otwartego zbiornika A do zbiornika dolnego C. Efekt tego urządzenia jest duży, ale niestety krótki. Czas zależy od objętości naczyń zamkniętych B i C oraz średnicy wylotu wodotrysku.
Zjawisko Venturiego: zmiana przekroju zweżki powoduje zmianę predkości plynu a w konsekwencji zmianę ciśnienia p.
Paradoks hydrodynamiczny: Jeżeli w rurze, przez którą przepływa płyn (ciecz lub gaz), występuje zwężenie, to (zgodnie z doświadczeniem i teorią) w zwężeniu ciśnienie statyczne jest niższe niż przed i za zwężeniem.Błąd w potocznym rozumowaniu polega na założeniu, że płyn w zwężeniu zmniejsza swoją objętość proporcjonalnie do zmiany przekroju rury i tym samym powinno wzrastać ciśnienie. Jest jednak inaczej. Ściśliwość w wypadku małych prędkości (w stosunku do prędkości dźwięku w ośrodku) prawie nie występuje (nawet dla gazów). Płyn "radzi sobie" ze zwężeniem zwiększając prędkość przepływu. Oznacza to, że elementy płynu w obszarze początku zwężenia przyspieszają, natomiast w obszarze końca zwężenia zwalniają. Zmiana prędkości możliwa jest tylko poprzez działanie sił wewnątrz płynu, które wywołuje właśnie zmiana ciśnienia
Siła nośna: siła działająca na ciało poruszające się w płynie, prostopadła do kierunku ruchu. Najbardziej reprezentatywnym przykładem wykorzystania siły nośnej jest siła nośna skrzydła samolotu.
Efekt Magnusa: to zjawisko z zakresu dynamiki płynów, polegające na powstawaniu siły prostopadłej do kierunku ruchu, działającej na obracający się walec lub inną bryłę obrotową, poruszającą się względem płynu (cieczy, gazu).Zjawisko wpływa znacznie na przykład na tor lotu wirującej piłki, może być stosowane do wyznaczania prędkości przepływu płynu.
Zjawisko kawitacji: jest zjawiskiem polegającym na gwałtownej przemianie fazowej z fazy ciekłej w fazę gazową pod wpływem zmiany ciśnienia. Jeżeli ciecz gwałtownie przyśpiesza zgodnie z zasadą zachowania energii, ciśnienie statyczne płynu musi zmaleć. Dzieje się tak np. w wąskim otworze przelotowym zaworu albo na powierzchni śruby napędowej statku.
Taran hydrauliczny: proste urządzenie do przepompowywania wody nie wymagające zewnętrznego zasilania energią, wykorzystujące zjawisko uderzenia hydraulicznego. Wykorzystuje naturalną energię przepływającej wody. Składa się z poziomego rurociągu, pionowej rury odprowadzającej i zaworu zainstalowanego na końcu rurociągu poziomego.
Stany skupienia materii: Ciało stałe - rodzaj fazy skondensowanej, każda substancja, która nie jest płynna, czyli nie może samoistnie zmieniać swoich kształtów i rozmiaru po np. wlaniu jej do naczynia. Ciało stałe jest pojęciem mało precyzyjnym i mogą w nim występować w rzeczywistości różne stany skupienia materii zwane bardziej precyzyjnie fazami fizycznymi. Ciecz - stan skupienia materii - pośredni między ciałem stałym a gazem, w którym ciało fizyczne trudno zmienia objętość, a łatwo zmienia kształt. Wskutek tego ciecz przyjmuje kształt naczynia, w którym się znajduje, ale w przeciwieństwie do gazu nie rozszerza się, aby wypełnić je całe. Powierzchnia styku cieczy z gazem lub próżnią nazywa się powierzchnią swobodną cieczy. Gaz - stan skupienia materii, w którym ciało fizyczne łatwo zmienia kształt i zajmuje całą dostępną mu przestrzeń. Właściwości te wynikają z własności cząsteczek, które w fazie gazowej mają pełną swobodę ruchu. Wszystkie one cały czas przemieszczają się w przestrzeni zajmowanej przez gaz i nigdy nie zatrzymują się w jednym miejscu. Między cząsteczkami nie występują żadne oddziaływania dalekozasięgowe, a jeśli, to bardzo słabe. Jedyny sposób, w jaki cząsteczki na siebie oddziałują, to zderzenia. Oprócz tego, jeśli gaz jest zamknięty w naczyniu, to jego cząsteczki stale zderzają się ze ściankami tego naczynia, wywierając na nie określone i stałe ciśnienie
Model ośrodka ciągłego: W mechanice płynów, podobnie jak w mechanice ciała stałego, płyn rzeczywisty zastępuje się modelem teoretycznym. Przez nieuwzględnianie struktury cząsteczkowej i nieuporządkowanych ruchów cząsteczek przyjmuje się, że model teoretyczny płynu jest ośrodkiem ciągłym (continuum). Rozumie się przez to, że płyn ten jest materią ciągłą, wypełniającą przestrzeń w sposób doskonale ciągły (tzn. dowolnie małe otoczenie punktu w tej przestrzeni zachowuje jej właściwości).
Granice stosowalności modelu ośrodka ciągłego: Założenie ciągłości wprowadza jednak pewne ograniczenia dotyczące najmniejszej masy płynu (dopuszczalnie małego otoczenia), w której obowiązują ogólne prawa mechaniki. Najmniejsza objętość musi być dostatecznie wielka w stosunku do długości swobodnych dróg międzycząsteczkowych, a równocześnie dużo mniejsza w stosunku do wymiarów liniowych ciał stałych ograniczających rozpatrywaną masę płynu lub poruszających się w płynie.
Podział sił działających w płynach: Zależnie od źródła ich pochodzenia mogą to być siły wewnętrzne lub zewnętrzne. Siły wewnętrzne są wywołane wzajemnym oddziaływaniem elementów mas leżących wewnątrz wydzielonej części obszaru i bezpośrednio sąsiadujących ze sobą. Występują one parami jako dwie siły o wspólnej linii działania i przeciwnych zwrotach. Siły wewnętrzne są siłami powierzchniowymi, są bowiem przyłożone bezpośrednio do powierzchni oddzielającej dwa sąsiednie elementy płynu. Siły zewnętrzne są wynikiem działania mas nie należących do wydzielonego obszaru na poszczególne masy tego obszaru. Siły zewnętrzne mogą być: masowe lub powierzchniowe.
Definicja i pojęcie jednostkowej siły masowej Siły masowe albo objętościowe są to siły wywierane bezpośrednio na płyn zawarty w rozważanym obszarze płynnym nie związane z powierzchnią ograniczającą ten obszar. Do sił masowych zalicza się (na przykład): �� siłę grawitacyjną występującą, gdy płyn porusza się w polu grawitacyjnym, �� siłę magnetoelektryczną występującą m.in. wówczas, gdy płyn będący przewodnikiem elektryczności ( płynny metal, gaz zjonizowany) porusza się w polu elektrycznym, �� siłę bezwładności występującą przy ruchu zmiennym.
Definicja i pojęcie jednostkowej siły powierzchniowej: Siły powierzchniowe są to siły przyłożone na powierzchni płynnej1) (zmiennej w czasie) i wywierane przez płyn znajdujący się na zewnątrz obszaru płynnego V(t) ograniczonego tą powierzchnią (np. reakcje hydro- czy aerodynamiczne między płynem, a poruszającym się w nim ciałem stałym )
Pojęcie ciśnienia: to wielkość skalarna określona jako wartość siły działającej prostopadle do powierzchni podzielona przez powierzchnię na jaką ona działa, co przedstawia zależność:

0x01 graphic
gdzie: p - ciśnienie (Pa), Fn - składowa siły prostopadła do powierzchni (N), S - powierzchnia (m²).

Stan naprężeń w wybranym punkcie płynu:

Ścisłe sformułowanie matematyczne [edytuj]

Naprężenie ścinające w danym punkcie materialnym płynu, reprezentowane przez dewiacyjne składniki tensora naprężeń jest wprost proporcjonalne do występującej w jego otoczeniu tego punktu szybkości ścinania reprezentowanej przez tensor szybkości ścinania 0x01 graphic
, lub tensor Rivlina-Ericksena
, a skalarny współczynnik proporcjonalności zwany lepkością jest parametrem charakterystycznym dla danego rodzaju płynu. Reguła powyższa może być wyrażona w dwóch alternatywnych, równoważnych formułach matematycznych:

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
jest tensorem naprężeń,
jest ciśnieniem płynu,
jest tensorem jednostkowym (deltą Kroneckera), a
jest lepkością płynu. Wyrażenia z lewej strony powyższych równań reprezentują dewiacyjne składniki tensora naprężeń.

Lepkość płynu, pojęcie i określenie ilościowe: Lepkość jest to zdolność płynów do przenoszenia naprężeń stycznych przy wzajemnym przemieszczaniu elementów poruszających się z różnymi prędkościami. Powstają przy tym siły styczne, które można traktować jako siły tarcia podczas wzajemnego przesuwania warstw płynu po sobie.
Pojęcie płynu newtonowskiego i nienewtonowskiego: płyn newtonowski: płyn w którym napreżenia styczne opisane sa z dostateczną dokładnością za pomocą hipotezy Newtona o liniowej zależności naprężeń od predkości odkształecenia postaciowego. Płyn nienewtonowski: jest to plyn w którym naprężenie styczne jest funkcją wyłacznie predkości odkształcenia (zależności między napręzeniem stycznym a prędkością odkształcenia postaciowego opisana jest funkcją rózna od liniowej).
Dynamiczny i kinematyczny współczynnik lepkości: dynamiczny współczynnik lepkosci jjst to miara lepkości płynu w przepływie, podczas którego występuje pewien gradient prędkości.W układzie SI jednostką dynamicznego współczynnika lepkości jest Pa·s lub kg /(m⋅s).kinematyczny wspolczynnik lepkości: Iloraz dynamicznego współczynnika lepkości przez gęstość nazywa się kinematycznym współczynnikiem lepkości (krótko - lepkością kinematyczną) Jednostką kinematycznego współczynnika lepkości jest m2/s.
Zależność lepkości płynu od temperatury: dla cieczy ze wzrostem temperatury lepkość maleje, natomiast dla gazów rośnie. W cieczach wzrost temperatury powoduje powiększenie się odległości pomiędzy cząsteczkami, wskutek czego maleją siły spójności, czemu towarzyszy zmniejszenie się sił tarcia wewnętrznego.
Gęstość płynu - definicja i określenie ilościowe: Gęstością płynu w punkcie M (x, y, z) w chwili t nazywa się granicę ilorazu Δm/ΔV, gdy objętość ΔV dąży do zera,
Zależność gęstości płynu od parametrów stanu: Gęstość zmniejsza się zwykle ze wzrostem temperatury (dla wody poniżej 4 °C zależność ta jest anormalna), a zwiększa z podwyższeniem ciśnienia.
Ściśliwość płynu - pojęcie i określenie ilościowe: Ściśliwość płynu charakteryzuje jego podatność na odkształcenie objętościowe przy zmianie ciśnienia. Niech masa płynu o objętości V, w temperaturze T, znajduje się pod ciśnieniem p. Zmiana ciśnienia o wartość Δ p powoduje zmianę objętości płynu o ΔV.
Rozszerzalność cieplna płynu - pojęcie i określenie ilościowe: charakteryzuje jego podatność na odkształcenie objętościowe przy zmianie temperatury. Miarą tej odkształcalności jest współczynnik rozszerzalności cieplnej, wyrażający względną zmianę objętości przy zmianie temperatury o 1 K
Zjawisko dyfuzji: proces rozprzestrzeniania się cząsteczek lub energii w danym ośrodku (np. w gazie, cieczy lub ciele stałym), będący konsekwencją chaotycznych zderzeń cząsteczek dyfundującej substancji między sobą i/lub z cząsteczkami otaczającego ją ośrodka.
Zjawisko osmozy: dyfuzja cząsteczek rozpuszczalnika, np. wody przez membranę półprzepuszczalną, np. błonę komórkową oddzielającą dwa roztwory różniące się potencjałami chemicznymi. Różnica potencjałów chemicznych wynika z różnicy składu (stężenia) roztworów.
Przewodność cieplna płynu: Jeżeli rozkład średniej energii molekuł płynu nie jest jednorodny, co występuje podczas braku równowagi termodynamicznej, następuje proces wyrównywania energii, czyli przekazywanie jej od molekuł o większym zasobie energii do molekuł energetycznie uboższych. W warunkach nieustalonych trwa to dopóty, dopóki temperatura płynu się nie wyrówna. W sensie makroskopowym proces ten nosi nazwę przewodności cieplnej płynów.
Rodzaje ciśnień: Ciśnienie wywierane przez atmosferę ziemską nazywane jest ciśnieniem atmosferycznym lub barometrycznym i oznaczane symbolem pb. W zależności od tego, względem jakiego ciśnienia mierzone jest dane ciśnienie, rozróżnia się ciśnienie (absolutne lub bezwzględne) p, mierzone względem próżni, oraz ciśnienia względne, mierzone w odniesieniu do ciśnienia barometrycznego
Równanie hydrostatyczne Eulera: Pole prędkości przepływu w metodzie Eulera opisuje funkcja v(r,t) = dr/ dt
Prawo Pascala, przykłady zastosowania jeżeli na płyn (ciecz lub gaz) w zbiorniku zamkniętym wywierane jest ciśnienie zewnętrzne, to ciśnienie wewnątrz zbiornika jest wszędzie jednakowe i równe ciśnieniu zewnętrznemu. Prawo to zostało sformułowane w 1653 roku przez Blaise'a Pascala, jest prawdziwe wówczas, gdy można pominąć siły grawitacji i inne siły masowe oraz ciśnienia wywołane przepływem płynu. Prawo to wynika z tego, że cząsteczki płynu mogą poruszać się w dowolnym kierunku, wywieranie nacisku z jednej strony zmienia ruch cząstek we wszystkich kierunkach. Przykładowe zastosowania prawa Pascala: pompowanie dętki, materaca, układy hamulcowe, dmuchanie balonów, działanie urządzeń pneumatycznych (prasa pneumatyczna) , działanie urządzeń hydraulicznych (układ hamulcowy, podnośnik hydrauliczny, młot pneumatyczny, prasa hydrauliczna) , pompa hydrauliczna, hamulce pneumatyczne
Ciśnienie hydrostatyczne: ciśnienie, jakie wywiera na otaczające ciała ciecz niebędąca w ruchu.
Prawo naczyń połączonych: Ciśnienie w cieczy nie zależy od kształtu i wielkości naczynia, ale od wysokości słupa cieczy. Jeżeli mamy jednorodną ciecz i wysokości słupów w obu naczyniach, to wtedy mamy równe ciśnienie
Manometry hydrostatyczne : Podstawą zasady działania manometrów hydrostatycznych jest ustalanie się równowagi między ciśnieniem mierzonym a ciśnieniem hydrostatycznym słupa cieczy w naczyniach połączonych. Określenie wartości mierzonego ciśnienia sprowadza się zatem do wyznaczenia wysokości słupa cieczy manometrycznejDhm i jej gęstości r. Dokładność pomiaru ciśnienia manometrami hydrostatycznymi zależy od włoskowatości, poziomu zainstalowania manometru oraz rozszerzalności cieplnej cieczy manometrycznej.
Napór na ścianę płaską - wartość, kierunek i współrzędne środka naporu; W naczyniu otwartym, wypełnionym cieczą, ciśnienie w każdym punkcie zanurzonym pod powierzchnią na głębokość z wynosi: p = p₀ +ρgz Napór hydrostatyczny na płaską ścianę o powierzchni F, zanurzoną na głębokość z wynosi: N = pF = (p₀ +ρgz) F Ponieważ druga strona ściany jest również poddana działaniu ciśnienia atmosferycznego, to napór określimy z zależności: N = ρgzF Napór hydrostatyczny na płaską poziomą ścianę o dowolnym kształcie jest równy co do modułu ciężarowi słupa cieczy zawartego między rozpatrywaną ścianą płaską a płaszczyzną lustra cieczy.
Napór na ścianę zakrzywioną - wartość, kierunek naporu, współrzędne środka naporu Napór na ścianę zakrzywioną możemy sprowadzić do siły i pary sił albo do dwóch sił skośnych. Tylko w niewielu przypadkach szczególnych napór da się sprowadzić do siły wypadkowej. Składowe poziome naporów działających na ścianę płaską lub zakrzywioną o tym samym konturze są identyczne. Wynika z tego, składowa pozioma naporu na ścianę zakrzywioną w dowolnym, ale poziomym kierunku x jest równa co do modułu naporowi na rzut tej ściany na płaszczyznę prostopadłą do osi x.
Paradoks hydrostatyczny Stevina:

Wypór hydrostatyczny: siła stanowiąca wypadkową naporów hydrostatycznych działających na ciało częściowo lub całkowicie zanurzone w cieczy. Wypór skierowany jest przeciwnie do siły ciężkości, a jego wartość określa prawo Archimedesa. Zaczepiony jest umownie w tzw. środku wyporu, który pokrywa się ze środkiem masy wypartej cieczy
Równowaga ciał zanurzonych w płynie: z prawa Archimedesa można wyprowadzic warunki opadania i unoszenia ciał zanurzonych w płynie: a) G1=0 => G=W => ro”c”=ro przypadek wystepuje wówczas gdy gestośc ciala jest równa gestości cieczy. Ciało może wiec pływac w płynie całkowicie zanurzone na dowolnej głębokosci. B) G1<W wówczas sieła wyporu wypiera ciało w gore az do osiagnięcia stanu równowagi, który nastapi wówczas gdy G1=W. Ciało będzie plywac zanurzone w płynie do objętości V1. c). G>W wówczas cialo tonie.
Stateczność ciał pływających na powierzchni i zanurzonych w cieczy: 1. Jeżeli środek ciężkości S leży powyżej środka wyporu Σ, to po wychyleniu ciała o niewielki kąt α powstaje moment pary sił Mp, który przeciwdziała wychyleniu i przywraca pierwotne położenie. W tym przypadku ciało zanurzone jest stateczne (równowaga trwała). 2. Jeżeli środek ciężkości S leży powyżej środka wyporu Σ, to po wychyleniu ciała z położenia układ sił G i W wywoła moment Mp o zwrocie zgodnym z wychyleniem, a zatem uniemożliwiającym powrót do pierwotnego położenia. W tym przypadku ciało jest niestateczne (równowaga chwiejna). 3. Jeżeli środek ciężkości leży w środku wyporu (punkty S i Σ pokrywają się), to w każdym położeniu po wychyleniu ze stanu równowagi moment Mp = 0 i ciało nie będzie miało tendencji powrotu do początkowego stanu równowagi. Jest to przypadek równowagi obojętnej.
Równowaga względna cieczy w ruchu prostoliniowym niejednostajnym:
Równowaga względna cieczy w ruchu jednostajnie obrotowym
Pojęcie ruchu płynu
Metody opisu ruchu płynu Do opisu ruchu powietrza można używać dwoch sposobow.Jeden z nich zwany jest metoda Eulera,drugi zas metoda Lagrangea

Metoda Eulera na okresleniea powietrza jako funkcji położenia w przestrzenie r i t.Podstawowa wielkością charakteyzujaca ruch powietrza jest prędkość V,która zalezy od położenia i czasu.Opis ta metoda można uznac za obraz przestrzennego rozkładu prędkości powietrza w każdej chwili podczas jego ruchu.Oczywiscie jeśli skupimy uwage na określonym elemencie objętości,to powietrze,które wypelnia ten element,będzie się nieustannie zmienialo.

Metoda Langrangea traktuje powietrze jako zbior malych czastek.Predkosc każdej jest funkcja czasu.Metoda ta opisuje historie ruchu jazdej czastki powietrza w atmosferze.Niestety nie da się nia w prosty sposób wyznaczyc przestrzennych gradientow miedzy czastkami,natomiast stosunkowo latwo jest śledzić ruch każdej czastki.odzilywan

Pochodna lokalna, unoszenia i wędrowna prędkości przepływu
Definicja i równanie toru cząstki Torem czaski nazywamy krzywa opisywana przez poruszajaca się cząstkę dx/Vx(x,y,z,t)=Dy/Vy(x,y,z,t)=dz//Vz(x,y,z,t)=dt
Definicja i równanie linii prądu dy/Vx=dz/Vz ;dx/Vx=dz/Vz ; dx/Vx=dy/Vy lub

dx/Vz(x,y,z,t)=dy/Vz(x,y,z,t)=dz/Vz(x,y,z,t)

Pojęcie ruchu potencjalnego i wirowegowirowego Ruch potencjalny-ruch,w którym wektor wiru W=rot v =0.W ruchu takim czastki plynu nie wykonuja obrotow wokół wlasnej osi.W ruchu potencjalnym istnieje funkcja sklarna ©(x,y,z) której pochodne czastkowe SA składowymi wektora prędkości,czyli grad © = v.
Ruch wirowy-jest to ruch,w którym element plynu wykonuje obrot
Definicja i równanie linii wirowej Linia wirowa- linia pola wektorowego rotacji.Jest to linia ,do tkreoj w każdym jej punkcie styczny jest wektor wirowości.Rownanie lini wirowej dx/Wx=dy/Wy=dz/Wz
Pojęcie i definicja pędu i krętu płynu
Równanie ciągłości ruchu jednowymiarowego i ogólnego
Rowanie ciągłości ruchu ogolnego
Równanie Bernoulliego ruchu jednowymiarowego
Rowanie ciągłości ruchu ogolnego
Interpretacja graficzna równania Bernoulliego
Zjawisko spiętrzenia strugi
Rurka Pitota - schemat, przeznaczenie, wzory obliczeniowe
Rurka Prandtla - schemat, przeznaczenie, wzory obliczeniowe
Pomiar strumienia przepływu metodą zwężkową
Prędkość wypływu cieczy przez mały otwór
Zjawisko kontrakcji strugi, współczynniki prędkości, kontrakcji i wypływu
Zjawisko ssącego działania strugi
Przystawki - opis, przeznaczenie: Służą do zmiany wartości współczynnika wydatku μ poprzez ich umieszczenie w otworze. Są to krótkie rury, najczęściej w kształcie walca lub stożka ściętego. Dzielimy je na zewnętrzne i wewnętrzne. Wymiary przystawki powinny być tak dobrane, aby ciecz wypływała z niej pełnym przekrojem. Dla przystawki walcowej zewnętrznej wsp μ zawiera się w granicach 0.68-0.82. Największe wartości wsp μ uzyskuje się dla przystawki stożkowej zbieżnej (przystawka Weisbacha 0.967). Przystawki stożkowe rozbieżne charakteryzują się wartością wsp μ w granicach 0.46 i możliwością wystąpienia kawitacji w przypadku zbytniego spadku ciśnienia. Dla przystawek walcowych wewnętrznych wsp μ wynosi 0.51-0.71.
Wypływ cieczy przez duży otwór
Przelew mierniczy
Czas wypływu cieczy przez mały otwór
Wypływ gazu ze zbiornika, prędkość wypływu, pojęcie wypływu krytycznego
Hydrodynamiczne równania Eulera
Całka Bernoulliego i zakres jej stosowalności: Przyjmując pewne założenia można scałkować różniczkowe równania ruchu Eulera. I metoda dla założeń: -ruch jest ustalony (∂v/∂t=0), -gęstość płynu zależy tylko od ciśnienia, -siły masowe mają potencjał, który został oznaczony -U. Po wymnożeniu wszystkich składników równania Eulera przez przesunięcie elementu po jego torze
otrzymujemy: (
/dt)
=
- (1/ρ)gradp
, (
/dt)
= (
/dt)
=
= d(v²/2). Składowe jednostkowe wynoszą: X= -(∂U/∂x), Y= -(∂U/∂y), Z= -(∂U/∂z) wtedy
-[(∂U/∂x)dx+ (∂U/∂y)dy+ (∂U/∂z)dz]= -dU. Natomiast -(1/ρ)gradp
= -(1/ρ)[(∂p/∂x)dx+ (∂p/∂y)dy+ (∂p/∂z)dz]= -(1/ρ)dp= -dP, P=
jest to funkcja pomocnicza. Po uporządkowaniu otrzymujemy: d[(v²/2)+ U+ P]=0. Całkowanie tego równania wykonuje się wzdłóż toru (v²/2)+ U+ P=C, (v²/2)+ U+
=C
Zasada zachowania pędu i krętu płynu
Reakcja hydrodynamiczna w przewodach, uderzenie strugi o przeszkodę stała i ruchomą
Przepływ cieczy przez wirnik - moc i teoretyczna wysokość podnoszenia
Rozkład naprężeń na ściankach elementu płynu
Równania Naviera-Stokesa spadek ciśnienia jest wprost proporcjonalny do pierwszej potęgi prędkości średniej, dynamicznego współczynnika lepkości i długości, na której występuje ten spadek oraz odwrotnie proporcjonalny do drugiej potęgi wysokości szczeliny.
Przepływ laminarny w szczelinie - profil prędkości, strumień przepływu