Z

ALICZENIE 

z 

MECHANIKI PŁYNÓW

 

 

1.

 

Przedmiot mechaniki płynów. Pojęcia podstawowe 

2.

 

Klasyfikacja płynów 

3.

 

Pojęcie lepkości. Miary lepkości. Jednostki 

4.

 

Metody pomiaru ciśnienia. Wakuometry, barometry, manometry. Jednostki ciśnienia 

5.

 

Warunek równowagi. Powierzchnie stałego potencjału. Paradoks hydrostatyczny 

6.

 

Równowaga względna. Powierzchnie stałego potencjału. Przykłady równowagi względnej 

7.

 

Napór na ściany płaskie. Współrzędne środka naporu 

8.

 

Napór na ściany zakrzywione. Współrzędne środka naporu 

9.

 

Zjawisko wyporu. Odkrycie Archimedesa (czas, epoka i miejsce) 

10.

 

Stany stateczności pływania. Metacentrum i odległość metacentryczna 

11.

 

Kinematyka płynów. Cele, zadania, parametry kinematyczne 

12.

 

Metoda Eulera i Lagrange'a w kinematyce płynów 

13.

 

Pochodna wędrowna. Operator Stokesa, przyśpieszenie elementu płynu 

14.

 

Pojęcie cyrkulacji. Interpretacja fizyczna i analogia 

15.

 

Równania toru i linii prądu, rurka i powierzchnia prądu, struga 

16.

 

Przepływy potencjalne. Funkcja prądu i potencjału, jej interpretacja. Potencjał zespolony 

17.

 

Przepływy elementarne. Superpozycja przepływów 

18.

 

Zasada zachowanie masy. Równanie ciągłości 

19.

 

Zasada zachowania pędu. Równanie Eulera i Naviera – Stokesa 

20.

 

Równanie Daniela Bemoulliego dla płynu doskonałego, rzeczywistego i gazów 

21.

 

Formalizm matematyczny, zastosowania 

22.

 

Przygotować wykaz zagadnień opracowanych samodzielnie (poza wykładem i ćwiczeniami) 

 

 

 

 

 

 

1.  Przedmiot mechaniki płynów. Poj

ę

cia podstawowe 

 

Zagadnienia  mechaniki  płynów  wyst

ę

puj

ą

  niemal  we  wszystkich  dziedzinach  techniki, 

mi

ę

dzy innymi: 

-  lotnictwie; 

- maszynach przepływowych (turbiny, spr

ęż

arki, pompy); - przepływowych układach regulacji 

automatycznej; 

- układach hydrauliki siłowej, - itd.. 

  Mianem  płynów  okre

ś

lamy  te  ciała  wyst

ę

puj

ą

ce  w  przyrodzie,  które  w  odró

ż

nieniu  od 

ciał  stałych  zmniejszaj

ą

  swe  kształty  w  sposób  trwały  pod  działaniem  dowolnie  małych  sił 

mechanicznych, je

ś

li działanie tych sił trwa dostatecznie długo. 

Płyny dzielimy na ciecze i gazy. 

Cieczami  nazywamy  te  spo

ś

ród  płynów,  które  zmieniaj

ą

  bardzo  nieznacznie  sw

ą

 

obj

ę

to

ść

 pod działaniem nawet bardzo wielkich sił mechanicznych. Inaczej mówimy, 

ż

e ciecze 

s

ą

 nie

ś

ci

ś

liwe. 

Gazami  nazywamy  te  płyny,  które  pod  działaniem  sił  mechanicznych  zmieniaj

ą

  swe 

obj

ę

to

ś

ci bardzo znacznie. Mówimy równie

ż

, 

ż

e gazy s

ą

 to płyny 

ś

ci

ś

liwe. 

Przedmiotem  mechaniki  płynów  jest  badanie  zjawisk  wyst

ę

puj

ą

cych  podczas  ruchu, 

spoczynku  płynów,  ze  zwróceniem  uwagi  na  oddziaływanie  płynów  na 

ś

cianki  ciał  stałych 

ograniczaj

ą

cych płyn i 

ś

cianki ciał zanurzonych całkowiciew płynie. 

Zadaniem  mechaniki  płynów  jako  dyscypliny  podstawowej  jest  poznanie  praw 

rz

ą

dz

ą

cych  spoczynkiem  i  ruchem  płynów  oraz  stworzenie  podstaw  teoretycznych  

i do

ś

wiadczalnych dla całego szeregu dziedzin specjalistycznych. 

W zale

ż

no

ś

ci od rodzaju u

ż

ytych kryteriów mechanik

ę

 płynów mo

ż

na podzieli

ć

 na:  

1. hydromechanik

ę

, to znaczy mechanik

ę

 cieczy; 

 

- mechanik

ę

 cieczy idealnej; 

 

- mechanik

ę

 cieczy rzeczywistej; 

2.  aeromechanik

ę

, to znaczy mechanik

ę

 gazu. Ponadto mechanik

ę

 płynów dzieli si

ę

 na: 

 

  - statyk

ę

; 

- kinematyk

ę

;  

- dynamik

ę

. 

Statyka  płynów  jest  nauk

ą

  o  zjawiskach  zachodz

ą

cych  podczas  spoczynku  cieczy  

i gazów. 

Kinematyka  płynów  zajmuje  si

ę

  analiz

ą

  ruchu  w  oderwaniu  od  wyst

ę

puj

ą

cych  sił. 

Dynamika płynów, czyli dynamika cieczy (hydrodynamika) i dynamika gazów (aerodynamika), 

jest nauk

ą

 o ruchu cieczy i gazów w powi

ą

zaniu z wyst

ę

puj

ą

cymi siłami. 

Istnieje  równie

ż

  inny  podział  mechaniki  płynów,  a  mianowicie  w  oparciu  o  własno

ś

ci 

dyssypatywne  płynów.  Bior

ą

c  za  podstaw

ę

  wła

ś

ciwo

ś

ci  takie  jak  lepko

ść

  i  przewodno

ść

 

ciepln

ą

  mo

ż

na  podzieli

ć

  mechanik

ę

  płynów  na  tak  zwan

ą

  mechanik

ę

  płynów  doskonałych 

opart

ą

  o  model  płynu  nielekkiego  i  nie  przewodz

ą

cego  ciepła  i  na  mechanik

ę

  płynów 

rzeczywistych. 

Z  podziałem  mechaniki  płynów  wi

ąż

e  si

ę

  poj

ę

cie  hydrauliki.  Jest  ona  najstarszym 

historycznie  działem  mechaniki  cieczy  i  opiera  si

ę

  na  modelu  jednowymiarowego  przepływu 

cieczy  lepkiej  i  nie

ś

ci

ś

liwej.  Model  ten  polega  na  stosowaniu  empirycznych  współczynników 

ujmuj

ą

cych  straty  tarcia  w  przepływie  cieczy.  Przez  mechanik

ę

  płynów  rozumiemy  nauk

ę

, 

zajmuj

ą

c

ą

 si

ę

 badaniem ruchów płynów ( cieczy i gazów b

ę

d

ą

cych pod działaniem sił ). 

W  obliczeniach  stosuje  si

ę

  przybli

ż

one  modele  dotycz

ą

ce  idealnych,  cieczy 

rzeczywistych, gazów pół-doskonałych i rzeczywistych. 

Prekursorami  w  dziedzinie  mechaniki  płynów  byli  Newton,  który  sformułował  pojecie 

lepko

ś

ci,  Euler  jako  pierwszy  napisał  ró

ż

niczkowe  równania  cieczy  i  Archimedes  staro

ż

ytny 

konstruktor,  który  zbudował  maszyn

ę

,  na  jego  cz

ęść

  nazwan

ą

  "  Spiral

ą

  Archimedesa  "  , 

słu

żą

c

ą

 do wymuszania przepływu cieczy. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Klasyfikacja płynów 

 

Płyn nielepki i nie

ś

ci

ś

liwy - zwany idealnym. 

 

Jego definicja wynika wprost z definicji cieczy idealnej 

Mówimy, 

ż

e  płyn  jest  nie

ś

ci

ś

liwy,  je

ś

li  jego  współczynnik 

ś

ci

ś

liwo

ś

ci  k  równa  si

ę

  zero. 

Współczynnik 

ś

ci

ś

liwo

ś

ci oznacza si

ę

 wzorem. 

dp

d

k

σ

=

 

Wyra

ż

a on zmian

ę

 g

ę

sto

ś

ci 

σσσσ

 pod wpływem zmiany ci

ś

nienia p 

Jak  wiemy  ciecze  s

ą

  nieznacznie 

ś

ci

ś

liwe,  to  znaczy,  ich  współczynnik 

ś

ci

ś

liwo

ś

ci  jest 

bardzo  mały,  podobnie  zachowuj

ą

  si

ę

  równie

ż

  gazy  przy  małych  pr

ę

dko

ś

ciach.  Opisuj

ą

c 

przepływ  cieczy,  oraz  przepływ  gazu  przy  małych  pr

ę

dko

ś

ciach,  mo

ż

emy  przyj

ąć

  stał

ą

 

warto

ść

 g

ę

sto

ś

ci. 

Ten typ płynu opisuje równanie Eulera 

gradp

p

F

dt

dv

1

−

−

=

 

Definicja lepko

ś

ci znajduje si

ę

 w dalszej cz

ęś

ci rozprawki. 

 

Płyn lepki i nie

ś

ci

ś

liwy 

 

Modelem płynu lepkiego i nie

ś

ci

ś

liwego badamy przepływy w warstwie przy

ś

ciennej.  

dn

dv

 

Warstwa  przy

ś

cienna  charakteryzuje  si

ę

  tym, 

ż

e  gradienty  pr

ę

dko

ś

ci  przepływu,  s

ą

  

w  niej  bardzo  du

ż

e,  oddalaj

ą

c  si

ę

  od 

ś

cianek  w  gł

ą

b  strumienia  pr

ę

dko

ś

ci  te  gwałtownie 

rosn

ą

. Poza warstw

ą

 przy

ś

cienn

ą

 gradienty pr

ę

dko

ś

ci s

ą

 bardzo małe.  

 

υ

υ

2

∇

+

−

=

gradp

F

dt

dv

 

 

2

2

2

2

2

2

2

dz

v

d

dy

v

d

dx

v

d

+

+

=

∇

υ

 

W  obszarze  warstwy  przy

ś

ciennej  napr

ęż

enia  styczne,  uzyskuj

ą

  znaczne  warto

ś

ci, 

niezale

ż

nie od lepko

ś

ci płynu jest niewielka, ze wzgl

ę

dem na gradienty pr

ę

dko

ś

ci napr

ęż

enia 

styczne s

ą

 pomijalnie małe. Ten typ płynu opisuje równanie: 

 

 

Płyn nielepki i 

ś

ci

ś

liwy 

 

Modelem  tego  płynu  posługujemy  si

ę

  w  dynamice  gazów.  Jest  to  nauka  zajmuj

ą

ca  si

ę

 

przepływami z du

ż

ymi pr

ę

dko

ś

ciami. 

Poniewa

ż

 zachodz

ą

 wyra

ź

ne zmiany g

ę

sto

ś

ci s nale

ż

y uwzgl

ę

dni

ć

 zale

ż

no

ść

 p od ci

ś

nienia  

i temperatury. Tymi zale

ż

no

ś

ciami zajmuje si

ę

 termodynamika. Powi

ą

zania z termodynamik

ą

 

mog

ą

  by

ć

  daleko  bardziej  id

ą

ce  np.:  w  przepływach  w  których  doprowadzamy  lub 

odprowadzamy  ciepło  lub  prac

ę

.  Gazy  s

ą

  płynami  ekspansywnymi,  to  znaczy  zajmuj

ą

  cał

ą

 

woln

ą

 przestrze

ń

, w której s

ą

 zamkni

ę

te. 

 

Płyn lepki i 

ś

ci

ś

liwy 

 

Charakteryzuje si

ę

 lepko

ś

ci

ą

 i niewielk

ą

 

ś

ci

ś

liwo

ś

ci

ą

, jest modelem płynów rzeczywistych 

wyst

ę

puj

ą

cych  w  przyrodzie.  Na  tym  modelu  bazuj

ą

  najbardziej  ogólne  i 

ś

cisłe  rozwi

ą

zania. 

Jednak

ż

e  przy  rozwi

ą

zywaniu  równa

ń

  opisuj

ą

cych  ten  typ  płynu  napotykamy  na  ogromne 

trudno

ś

ci,  głównie  natury  matematycznej,  ze  wzgl

ę

du  na  du

ż

y  stopie

ń

  skomplikowania  tych 

równa

ń

. 

Obserwuj

ą

c  zjawisko  przepływu  płynów  zauwa

ż

amy, 

ż

e  jest  ono  ogromnie 

skomplikowane.  Opisanie  tak  zło

ż

onych  zjawisk  nie  jest  łatwe.  Dlatego  te

ż

  ze  wzgl

ę

du  na 

trudno

ś

ci  w  ich  rozwi

ą

zywaniu  staramy  si

ę

  je  nieco  upro

ś

ci

ć

,  pomijaj

ą

c  te  wielko

ś

ci  które  

w stosunku do pozostałych s

ą

 bardzo małe. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Poj

ę

cie lepko

ś

ci. Miary lepko

ś

ci. Jednostki 

 

Hipoteza Newtona 

 

Płyny  rzeczywiste  wykazuj

ą

  zdolno

ść

  przenoszenia  napr

ęż

e

ń

  stycznych,  przy  czym 

napr

ęż

enia 

powstaj

ą

 

mi

ę

dzy 

s

ą

siednimi 

warstwami 

płynu 

poruszaj

ą

cymi 

si

ę

  

z  ró

ż

nymi  pr

ę

dko

ś

ciami.  Napr

ęż

enia  styczne  powstaj

ą

  równie

ż

  pomi

ę

dzy  poruszaj

ą

cym  si

ę

 

płynem  i  ciałem  stałym,  nie  wyst

ę

puj

ą

  natomiast  w  czasie  spoczynku,  lub  w  płynie 

poruszaj

ą

cym  si

ę

  z  wyrównan

ą

  pr

ę

dko

ś

ci

ą

  przepływu  w  całym  przekroju.  Zgodnie  

z  hipotez

ą

  Newtona,  napr

ęż

enia  styczne  i  wyst

ę

puj

ą

ce  mi

ę

dzy  s

ą

siednimi  warstwami,  lub 

elementami  płynu  s

ą

  proporcjonalne  do  przyrostu  pr

ę

dko

ś

ci  w  kierunku  normalnym  do 

kierunku przepływu. Sytuacje t

ą

 przedstawia rysunek numer 1, oraz opisuje poni

ż

szy wzór. 

y

v

∂

∂

=

η

τ

 

gdzie:  

τ

 - napr

ęż

enia styczne; 

η

- współczynnik lepko

ś

ci dynamicznej, zwany lepko

ś

ci

ą

 dynamiczn

ą

. 

 

 

Rys.1. Ilustracja do równania opisuj

ą

cego hipotez

ę

 Newtona 

 

 

 

 

Pojecie lepko

ś

ci dynamicznej 

 

Lepko

ść

  dynamiczna 

η

  jest  funkcj

ą

  temperatury,  ci

ś

nienia  i  rodzaju  płynu.  Zale

ż

no

ść

 

lepko

ś

ci  płynu  od  ci

ś

nienia  jest  nieznaczna,  i  ro

ś

nie  bardzo  wolno  wraz  z  jego  wzrostem,  

a jedynym wyj

ą

tkiem jest woda, która w zakresie poni

ż

ej 32°C maleje ze wzrostem ci

ś

nienia. 

Zale

ż

no

ść

 lepko

ś

ci 

η

 od temperatury jest natomiast bardzo znaczna i zupełnie odmienna dla 

cieczy  i  gazów.  Zale

ż

no

ść

  t

ą

  ilustruje  rysunek  2  .  lepko

ść

  dynamiczna 

η

  cieczy  maleje  ze 

wzrostem  temperatury.  Wynika  z  tego, 

ż

e  w  cieczach  ruch  molekuł  jest  stosunkowo  mało 

intensywny,  wobec  czego  napr

ęż

enia  styczne  powstaj

ą

  głównie  w  skutek  molekularnych  sil 

spójno

ś

ci; przy wzro

ś

cie temperatury rosn

ą

 odległo

ś

ci pomi

ę

dzy molekułami, a zatem malej

ą

 

siły spójno

ś

ci. W gazach, jak mo

ż

emy wnioskowa

ć

 z rysunku jest na odwrót. 

 

 

Rys.2. Zale

ż

no

ść

 lepko

ś

ci od temperatury 

Jednostka lepko

ś

ci dynamicznej 

η

 w układzie SI wynika z równania Newtona: 









s

m

kg

*

1

 

Pojecie lepko

ś

ci kinematycznej 

 

Współczynnik lepko

ś

ci kinematycznej, zwany lepko

ś

ci

ą

 kinematyczn

ą

, okre

ś

lony jest 

wzorem:  

ρ

η

υ

=

 

 

Jednostk

ą

 lepko

ś

ci kinematycznej jest: 

1stokes [1St]=

s

m

2

4

10

−

 

W u

ż

yciu s

ą

 stosowane jednostki mniejsze, takie jak: 

1centistokes [1cSt] 

Poza układem SI dla okre

ś

lenia lepko

ś

ci u

ż

ywa si

ę

 szeregu innych jednostek, takich 

-  stopie

ń

 Eulera [E]; 

-  sekunda Redwood'a [R sek];  

-  i inne. 

Jednostki te wynikaj

ą

 ze sposobu pomiaru i rodzaju u

ż

ytej aparatury. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Metody pomiaru ci

ś

nienia. 

Manometry, barometry, wakuometry. Jednostki ci

ś

nienia

 

 

Przyrz

ą

dy do pomiaru ci

ś

nie

ń

 

 

Przyrz

ą

dy  do  pomiaru  ci

ś

nienia  mierz

ą

  nie  jego  warto

ść

  lecz  ró

ż

nice  tej  warto

ś

ci  

i warto

ś

ci ci

ś

nienia odniesienia. Ci

ś

nieniem odniesienia najcz

ęś

ciej jest: 

- pró

ż

nia absolutna (bezwzgl

ę

dna); 

- ci

ś

nienie panuj

ą

ce aktualnie w miejscu i czasie pomiaru. 

Ogólnie  przyrz

ą

dy  do  pomiaru  ci

ś

nie

ń

  nazywaj

ą

  si

ę

  ci

ś

nieniomierzami.  Przyrz

ą

dy  do 

pomiaru  ci

ś

nie

ń

  absolutnych  nazywaj

ą

  si

ę

  barometrami  i  ci

ś

nieniomierzami  ci

ś

nienia 

absolutnego, nad ci

ś

nie

ń

 - manometrami, a podci

ś

nie

ń

 wakuometrami. Poza tym wyró

ż

nia si

ę

 

jeszcze  ci

ś

nieniomierze  (manometry)  ró

ż

nicowe  -  do  pomiaru  ró

ż

nicy  ci

ś

nie

ń

.  Poni

ż

szy 

rysunek przedstawia wy

ż

ej wymienione zale

ż

no

ś

ci w sposób graficzny. 

 

Rys.3. Rodzaje ci

ś

nie

ń

 

Manometry  

Dzielimy je na: 

- hydrostatyczne ( cieczowe ) 

- pr

ęż

ne ( rurkowe lub przeponowe ) 

- przeponowe 

 

Elementem  pr

ęż

nym  tego  manometru  jest  przepona  (0)  płaska  lub  falista.  Pod  wpływem 

ci

ś

nienia p przepona ulega odkształceniu. Odkształcenie to przenosi si

ę

 przez przekładni

ę

(S) 

na wskazówk

ę

 (W) 

Poni

ż

szy rysunek przedstawia zasad

ę

 działania manometru. 

 

 

Metoda  pomiaru manometrem 

Manometr (1) mierzy ci

ś

nienie statyczne ps płynu (wektor pr

ę

dko

ś

ci w płynie jest styczny do 

otworu wlotowego manometru). Je

ż

eli otwór wlotowy manometru jest prostopadły do wektora 

pr

ę

dko

ś

ci  w,  to  manometr  (2)  wska

ż

e  wzrost  ci

ś

nienia.  Wzrost  ten  jest  wywołany  zmian

ą

 

energii  kinetycznej  płynu  o  pr

ę

dko

ś

ci  w  i  g

ę

sto

ś

ci  p  na  energi

ę

  potencjaln

ą

,  jest  ci

ś

nieniem 

kinematycznym i zwyczajowo nazywamy je ci

ś

nieniem dynamicznym 

 

Barometr 

 

Barometr  -  przyrz

ą

d  do  pomiaru  ci

ś

nienia  atmosferycznego.  Pierwszy  tak  zwany  barometr 

rt

ę

ciowy  został  wynaleziony  w  roku  1643  przez  E.  Torricellego  w  zwi

ą

zku  z  jego  badaniami 

nad  ci

ś

nieniem  sferycznym.  Barometr  rt

ę

ciowy  został  ulepszony  w  1665  przez  R.  Hook'ea 

który wprowadził podziałk

ę

 umo

ż

liwiaj

ą

c

ą

 bezpo

ś

rednie odczytywanie wielko

ś

ci. 

 

Poni

ż

szy rysunek przedstawia zasad

ę

 działania barometru. 

 

Barometr 

wykorzystuje 

si

ę

 

do 

pomiaru 

ci

ś

nie

ń

 

barometrycznych.  

Do  zbiorniku  (1)  wstawiona  jest  szklana  rurka  manometryczna  (2),  z  której  uprzednio 

wypompowano  cale  powietrze,  do  stanu  pró

ż

ni  absolutnej.  W  przestrzeni  pomi

ę

dzy  jej 

górnym  zamkni

ę

tym  ko

ń

cem,  a  meniskiem  rt

ę

ci  panuje  pró

ż

nia  Torrcelleogo  (3)  pró

ż

nia 

bezwzgl

ę

dna Poło

ż

enie słupka rt

ę

ci okre

ś

la ci

ś

nienie barometryczne (otoczenia) pb. 

Wynaleziony 

barometr 

odegrał 

podstawowe 

znaczenie 

dla 

rozwoju 

metrologii.  

B.  Pascal  powtarzaj

ą

c  i  kontynuuj

ą

c  badania  Torricellego,  zauwa

ż

ył, 

ż

e  ci

ś

nienie 

atmosferyczne  zale

ż

y  nie  tylko  od  wysoko

ś

ci  miejsca,  w  którym  przyrz

ą

d  si

ę

  znajduje,  ale 

tak

ż

e od stanu pogody. 

 

Wakuometr 

 

Wakuometr jest ci

ś

nieniomierzem słu

żą

cym do pomiaru podci

ś

nie

ń

. Zasada działania i 

budowa  nie  ró

ż

ni

ą

  si

ę

  od  manometrów  pr

ęż

nych  i  hydrostatycznych.  Cz

ę

sto  wykonuje  si

ę

 

manometry  pr

ęż

ne,  które  mog

ą

  słu

ż

y

ć

  do  pomiaru  nadci

ś

nie

ń

  i  podci

ś

nie

ń

.  Nazywamy  je 

mano-wakuometrami. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jednostki ci

ś

nienia. 

 

W  układzie  jednostek  miar  SI  główn

ą

  jednostk

ą

  ci

ś

nienia  jest  Pascal  (  Pa  )  czyli  niuton  na 

metr kwadratowy 

2

2

*

1

1

1

s

m

kg

m

N

Pa

=

=

 

Pascal jest jednostk

ą

 mał

ą

, dlatego w praktyce stosuje si

ę

 megapascal 

1MPa =10

6

 Pa 

oraz bar 

1bar =10

5

 Pa 

Dawniej  manometry  skalowano  w  atmosferach  technicznych,  czyli  kilogramach  siły  na 

centymetr kwadratowy. 

Pa

cm

kG

at

4

2

10

*

80665

,

9

1

1

=

=

 

Cz

ę

sto mierzy si

ę

 ci

ś

nienie za pomoc

ą

 wysoko

ś

ci słupa cieczy 

Przy małych ci

ś

nieniach wzgl

ę

dnych cz

ę

sto mierzy si

ę

 ci

ś

nienie za pomoc

ą

 wysoko

ś

ci słupa 

wody:  

Pa

m

kG

O

mmH

80665

,

9

1

1

2

2

=

=

 

Przy  wi

ę

kszych  ci

ś

nieniach  wzgl

ę

dnych  cz

ę

sto  mierzy  si

ę

  ci

ś

nienie  za  pomoc

ą

  wysoko

ś

ci 

słupa rt

ę

ci ( Hg ) 

Tor  (  Tr  )  jest  jednostk

ą

  ci

ś

nienia  równ

ą

  ci

ś

nieniu  wywieranemu  w  pró

ż

ni  przez  słup  rt

ę

ci  

o wysoko

ś

ci 1 mm i temperaturze 0°C przy normalnym przyspies zeniu ziemskim. 

g

n

 = 9,8066









2

s

m

 

1 Tr = 1 mm Hg = 133,3224 Pa 

Jako normalne ci

ś

nienie fizyczne przyj

ę

to ci

ś

nienie jednej atmosfery fizycznej 

Pn = 1 atm = 760 Tr = 101325 Pa 

 

Wnioski 

Nauka  mechaniki  płynów  skłania  nas  do  rozwa

ż

a

ń

  nad  procesami  zachodz

ą

cymi  obok  nas,  

a  nawet  w  nas.  Układ  krwiono

ś

ny  jest  takim  specyficznym  układem  hydrodynamicznym. 

Układ  krwiono

ś

ny  jest  takim  specyficznym  układem  hydrodynamicznymi,  w  którym  zachodzi 

wiele przemian. Wiemy ze ci

ś

nienie jaki temperatura krwi nie jest stała a co si

ę

 z tym wi

ąż

e 

jej  g

ę

sto

ść

  jest  zmienna.  St

ą

d  te

ż

  wyznaczenie  relacji  krew  -  zastawki  jest  ogromnie 

skomplikowane, ale ciekawe. 

Wchodz

ą

c  w  XXI  wiek  coraz  bardziej  modne  staje  si

ę

  pozyskiwanie  energii  

w  sposób  ekologiczny.  Jednym  ze  sposobów  pozyskiwania  energii  ekologicznej  jest 

budowanie  elektrowni  wodnych,  zarówno  szczytowo  -  pompowych  jak  i  zaporowych. 

Dziedzina  hydroenergetyki  wi

ąż

e  si

ę

 

ś

ci

ś

le  z  mechanik

ą

  płynów.  Projektowanie  tych 

elektrowni  wymaga  bowiem  znajomo

ś

ci  praw  rz

ą

dz

ą

cych  cieczami,  jak  na  przykład:  prawa 

naporu  hydrostatycznego,  i  innych,  bez  których  wykorzystanie  energii  tkwi

ą

cej  

w cieczach byłoby niemo

ż

liwe. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 i 6. Warunek równowagi , równowaga wzgl

ę

dna, powierzchnie stałego 

potencjału 

 

W  hydrostatyce  modele  cieczy  lepkiej  i  idealnej  s

ą

  równowa

ż

ne  sobie.  Rozpatruj

ą

c 

równowag

ę

 ciała płynnego poddanego działaniu sił powierzchniowych mo

ż

emy okre

ś

li

ć

 jego 

stan  napi

ę

cia  przy  pomocy  tensora  napr

ęż

enia,  podstawiaj

ą

c  w  nim  zerowe  warto

ś

ci 

napr

ęż

e

ń

 stycznych. 

zx

yz

xy

τ

τ

τ

=

=

 





















=

z

y

x

ij

δ

δ

δ

δ

0

0

0

0

0

0

 

i,j=x,y,z    

δ

=

δ

ij

 e

i

 e

j

 

W przypadku cieczy w której nie uwzgl

ę

dniamy sił masowych , tensor napr

ęż

e

ń

 tworzy 

przynale

ż

n

ą

 mu struktur

ę

 , poniewa

ż

 wszystkie składowe tensora s

ą

 sobie równe. 

δ

xx

=

δ

yy

=

δ

zz

=p 

Otrzymali

ś

my  w  ten  sposób  twierdzenie  które  w  hydrostatyce  nosi  nazw

ę

  prawa 

Pascala. Ustalmy element płynu P(x,y,z) za pomoc

ą

 prostopadło

ś

cianu o wymiarach dx,dy,dz 

i 

ś

cianach  zorientowanych  równolegle  do  osi  układu  współrz

ę

dnych,  a  ponadto  funkcja 

ci

ś

nienia p(x,y,z) jest niewiadom

ą

. 

 

Układamy warunki równowagi na kolejne osie układu współrz

ę

dnych 

0

)

(

:

=

−

+

dydz

dx

dx

dp

p

pdydz

XdV

X

ρ

 

0

)

(

:

=

−

+

dxdz

dy

dy

dp

p

pdxdz

YdV

Y

ρ

 

0

)

(

:

=

−

+

dxdy

dz

dz

dp

p

pdxdy

ZdV

X

ρ

 

Po podstawieniu otrzymujemy 

0

=

−

dx

dp

X

ρ

 

0

=

−

dy

dp

Y

ρ

 

0

=

−

dZ

dp

Z

ρ

 

Otrzymali

ś

my w ten sposób równanie równowagi płynu pozostaj

ą

cego w spoczynku lub 

ogólnie warunki równowagi płynów 

Powy

ż

sze równania mo

ż

na zast

ą

pi

ć

 równaniem wektorowym 

−

+

+

)

(

k

j

i

Z

Y

X

ρ

 

i

dx

dp

−

 

j

dy

dp

−

 

k

dz

dp

−

= 0 

 

(1) 

0

=

−

gradp

F

ρ

 

 

Skalarne  pole  ci

ś

nie

ń

  mo

ż

na  wyznaczy

ć

  całkuj

ą

c  te  równania,  otrzymamy  wtedy 

szukan

ą

  funkcj

ę

  p(x,y,z).  Je

ś

li  funkcja  ta  jest  stała  to  otrzymujemy  powierzchni

ę

  stałego 

ci

ś

nienia nazywane powierzchniami izobarycznymi. Stwierdzamy ,

ż

e wektor siły obj

ę

to

ś

ciowej 

jest prostopadły w ka

ż

dym punkcie powierzchni izobarycznej prostopadły do niej. 

 

Na podstawie (1) mo

ż

na wyprowadzi

ć

 prawo Pascala : 

dx

dp

 

dy

dp

=

 

0

=

=

dz

dp

 

Je

ś

li (1) pomno

ż

y

ć

 przez przyrost wektora promienia , to otrzymamy  

r

gradpd

r

Fd

=

ρ

 

 

            (2) 

dp

r

Fd

=

ρ

 

Niech  F  b

ę

dzie  sił

ą

  potencjaln

ą

.  Wtedy  musi  istnie

ć

  takie  U(x,y,z)  , 

ż

e  F=-gradU  (3). 

Uwzgl

ę

dniaj

ą

c ( 1 ) i (2) otrzymujemy 

dp

gradUdr

=

−

ρ

 

0

=

+

dp

dU

ρ

 

Je

ś

li p=const , to mo

ż

emy to scałkowa

ć

 i otrzymamy  

const

p

U

=

+

ρ

 

Jedynie  siły  masowe  s

ą

  w  stanie  wywoła

ć

  równowag

ę

  cieczy  nie

ś

ci

ś

liwej.  

W  szczególnym  przypadku  gdy  p=const  (  dp=0  )  ,  to  pdU=0  ~  U=const.  Czyli  powierzchnie 

stałego ci

ś

nienia s

ą

 równie

ż

 powierzchniami ekwipotencjalnymi. 

 

Wyra

ż

enie w nawiasie jest równe zupełnej dU, st

ą

d 

dp=

ξ

*dU 

Z  równania  tego  wynika, 

ż

e  dla  dp=0  jest  dU=0.  Oznacza  to, 

ż

e  powierzchnie  jednakowego 

ci

ś

nienia  (dp=0,  p=const),  czyli  powierzchnie  izobaryczne,  s

ą

  w  polu  sił  masowych 

jednocze

ś

nie  powierzchniami  stałego  potencjału  (dU=0,  U=const),  czyli  powierzchniami 

ekwipotencjalnymi. 

Powierzchnie  ekwipotencjalne  z  natury  rzeczy  nie  mog

ą

  si

ę

  wzajemnie  przecina

ć

  

i  ka

ż

da  z  nich  jest  albo  powierzchni

ą

  zamkni

ę

t

ą

,  albo  ko

ń

czy  si

ę

  na 

ś

cianie  zbiornika 

(naczynia).  Swobodne  powierzchnie  cieczy,  czyli  powierzchnie  oddzielaj

ą

ce  cieczy  od  gazu, 

s

ą

 oczywi

ś

cie powierzchniami ekwipotencjalnymi. 

 

Dla  powierzchni  ekwipotencjalnych  (dU=0)  z  równania  wy

ż

ej  wynika, 

ż

e  siły  masowe  przy 

przesuni

ę

ciu wzdłu

ż

 tych powierzchni nie wykonuj

ą

 

ż

adnej pracy (X*dx=Y*dy=Z*dz=0). 

 

Parcie cieczy na powierzchnie 

ś

cian 

 
 

Parcie  jest  to  siła,  jak

ą

  wywiera  ciecz  w  spoczynku  na  dowolnie  zorientowan

ą

 

powierzchni

ę

. Rozwa

ż

ania obejm

ą

 parcie na powierzchnie płask

ą

 i zakrzywion

ą

. 

Powierzchnia  płaska  lub 

ś

ciana  płaska  jest  w  ogólnym  przypadku  nazywana 

płaszczyzn

ą

  pochylon

ą

  pod  k

ą

tem 

α

  wzgl

ę

dem  poziomu  (rys.  4)  za

ś

  w  szczególnych 

przypadkach – płaszczyzn

ą

 pionow

ą

 lub poziom

ą

. 

)

(

dz

z

U

dy

y

U

dx

x

U

dp

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

ς

)

(

dz

z

U

dy

y

U

dx

x

U

dp

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

ς

dz

Z

dy

Y

dx

X

dU

*

*

*

+

+

=

 

 

Rys 4. Parcie cieczy na 

ś

cian

ę

 płask

ą

 

 

W  przypadku  zbiornika  (naczynia)  otwartego,  ci

ś

nienie  atmosferyczne  P

a

  nie  jest 

uwzgl

ę

dniane,  gdy

ż

    działa  ono  jednocze

ś

nie  tak

ż

e  na  zewn

ę

trzn

ą

  stron

ę

 

ś

ciany.  

W  przypadku  zbiornika  (naczynia)  zamkni

ę

tego  nale

ż

y  uwzgl

ę

dni

ć

  ewentualn

ą

  ró

ż

nic

ę

 

ci

ś

nie

ń

, jaka istnieje pomi

ę

dzy czynnikami gazowymi wewn

ą

trz i na zewn

ą

trz.  

Parcie  F  na  płaszczyzn

ę

  pochyła  A,  o 

ś

rodku  ci

ęż

ko

ś

ci  S  i  współrz

ę

dnych 

ś

rodka 

ci

ęż

ko

ś

ci Xs, Ys, Zs, wynosi 

 

gdzie 

∫∫

z*dA=z

S

*A – moment statyczny powierzchni A wzgl

ę

dem powierzchni cieczy 

 

p

S 

– ci

ś

nienie hydrostatyczne na gł

ę

boko

ś

ci z

S

 

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci S. 

 

 

Powierzchnie zakrzywione 

 

Parcie na powierzchnie zakrzywione sprowadza si

ę

 w ogólnym przypadku do skr

ę

tnika, 

tzn.  parcia  wypadkowego  i  pary  sił,  wzgl

ę

dnie  do  dwóch  sił  sko

ś

nych.  Tak  wi

ę

c  utrzymanie 

zakrzywionej powierzchni w równowadze wymaga przyło

ż

enia nie tylko siły przeciwnej parciu, 

ale i pary sił o odpowiednim momencie. 

Znalezienie  parcia  polega  praktycznie  na  znalezieniu  jego  rzutów  na  kierunki  osi 

współrz

ę

dnych.  W  tym  celu  zostanie  przyj

ę

ty  układ  współrz

ę

dnych  prostok

ą

tnych,  

w którym osie X, Y le

żą

 na swobodnej powierzchni cieczy, a o

ś

 z skierowania jest na dół (rys. 

5).  Element  dA  stanowi  cz

ęść

  powierzchni  cylindrycznej  o  tworz

ą

cych  prostopadłych  do 

płaszczyzny yz. 

 

 

 

 

∫∫

∫∫

=

=

=

=

A

A

S

S

A

p

A

z

g

dA

z

g

dA

p

F

*

*

*

*

*

*

*

ξ

ξ

Rys 5. Parcie cieczy na element powierzchni zakrzywionej 

dF=

ξ

*g*z*dA 

 

Paradoks hydrostatyczny 

 

Składowa pozioma F

y

 parcia na powierzchni

ę

 zakrzywion

ą

 A równa si

ę

 zatem parciu na 

powierzchni

ę

 A

y

, która jest rzutem powierzchni A na płaszczyzn

ę

 pionow

ą

. Tak samo oblicza 

si

ę

 poziom

ą

 składow

ą

 parcia na płaszczyzn

ę

 pochyl

ą

. Sposób obliczania poziomej skł

ą

dowej 

parcia nie ró

ż

ni si

ę

 jak wida

ć

, od sposobu obliczania parcia na płaszczyzn

ę

 pionow

ą

. 

gdzie V, m, G – obj

ę

to

ść

, masa i ci

ęż

ar słupa cieczy nad powierzchni

ą

 zakrzywion

ą

 

gdzie 

M

X

=Z

S

*A 

W  przypadku  płaszczyzn  poziomych  (

α

=0),  zale

ż

no

ś

ci  upraszczaj

ą

  si

ę

. 

Ś

rodek  parcia 

le

ż

y w 

ś

rodku ci

ęż

ko

ś

ci płaszczyzny dna naczynia lub zbiornika. 

 

Rys.6. Paradoks hydrostatyczny 

∫∫

∫∫∫

∫∫

=

=

=

=

=

=

Z

Z

A

V

A

Z

Z

Z

G

g

m

V

g

dV

g

dA

z

g

dF

F

*

*

*

*

*

*

ξ

ξ

ξ

a

a

z

z

y

x

z

y

x

p

gz

p

p

c

z

c

gz

p

c

gz

p

gdz

p

d

dz

f

p

d

g

f

f

f

dz

f

dy

f

dx

f

dp

+

=

=

⇒

=

+

⇒

+

=

=













=













=

=

=

+

+

=

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

'

0

'

/*

0

1

 

Jak wida

ć

 z powy

ż

szego równania ci

ś

nienie na dnie zbiornika , a wi

ę

c i napór na jego dno 

nie  zale

ż

y  od  kształtu  zbiornika  ,  ale  od  wysoko

ś

ci  słupa  cieczy.  To  zjawisko  okre

ś

la  si

ę

 

mianem paradoksu hydrostatycznego. 

Moment siły naporu 

Moment siły naporu wzgl

ę

dem dowolnego punktu definiujemy nast

ę

puj

ą

co: 

(

)

*

S

L

r pn dS

= −

∫

                                                                          (4) 

Gdzie  r  jest  promieniem  ł

ą

cz

ą

cym  punkt,  wzgl

ę

dem  którego  liczymy  moment,   

z  elementem powierzchni dS. 

Tak  wi

ę

c  siły    hydrostatyczne  sprowadzaj

ą

  si

ę

  do  naporu    hydrostatycznego   

i momentu  hydrostatycznego. Jak wiadomo ze statyki, taki układ przestrzennych sił daje si

ę

 

sprowadzi

ć

 do wypadkowej siły wtedy i tylko,wtedy, kiedy 

N 

⊥

⊥⊥

⊥

 L.                                                                     (5) 

Prostopadło

ść

  momentu  i  naporu  jest  oczywista  dla  płaskich 

ś

cian.  Wówczas   

wektorem r

n

 mo

ż

na okre

ś

li

ć

 poło

ż

enie  linii działania siły naporu 

r

n

*N = L.                                                           (6) 

Punkt przebicia 

ś

ciany lini

ą

   działania siły naporu nazywamy 

ś

rodkiem naporu. 

Je

ż

eli obliczone s

ą

 ju

ż

 N i L to równanie (6) staje si

ę

 równaniem dla trzech składowych 

r

x

, r

y

, r

z

  wektora r

n

 

0

0

0

x

z y

y z

x

z x

y

x z

y

y x

x y

z

z

r

N r

N r

L

N r

r

N r

L

N r

N r

r

L

+

−

=

−

+

+

=

−

+

=

  

(7) 

7 i 8. Napór hydrostatyczny na 

ś

ciany płaskie i zakrzywione Współrz

ę

dne 

ś

rodka naporu 

 

Pole sił masowych  

k

g

f

=

 

∫ ∫

=

=

=

→

A

pdA

p

A

pd

p

d

dA

n

A

d

dA

,

,

,

0

 

∫

∫ ∫

∫

−

=

+

=

+

=

pomijamy

p

gzdA

p

dA

p

gz

p

p

gz

p

a

A

a

A

a

,

,

)

(

,

ρ

ρ

ρ

 

∫ ∫

=

dA

n

gz

p

A

ρ

 

k

k

n

j

j

n

i

i

n

n

)

,

cos(

)

,

cos(

)

,

cos(

+

+

=

 

 Po podstawieniu i uporz

ą

dkowaniu otrzymujemy  

k

p

j

p

i

p

p

z

y

x

+

+

=

 

∫ ∫

=

Ax

x

gzdA

p

,

ρ

 

∫ ∫

=

Ay

y

gzdA

p

,

ρ

 

∫ ∫

=

Az

z

gzdA

p

,

ρ

 

Dla p

X

 , p

y

 obliczamy sił

ę

 naporu 

∫ ∫

=

=

Ax

x

gzdA

p

ρ

 

x

sx

Ax

A

gz

zdA

g

ρ

ρ

∫ ∫

=

 

Analogicznie  

y

sy

y

A

gz

p

ρ

=

 

z

sx

 , z

sy

, -współrz

ę

dne 

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci rzutu powierzchni w kierunku osi x i y.  

A

x

, A

y

 -pola powierzchni rzutów w kierunku osi x i y. 

Warto

ść

 p

Z

 wyliczamy w sposób odmienny. 

∫ ∫

=

=

z

Az

z

gV

zdA

g

p

ρ

ρ

 

V

z

 -obj

ę

to

ść

 słupa cieczy nad poziomym rzutem powierzchni. 

 

 

 

Ś

rodek naporu 

 

]

,

,

[

n

n

n

n

z

y

x

r

=

 

Sumaryczny moment od naporów elementarnych wynosi  

∫ ∫

×

p

d

r

A

 

Moment od wypadkowej 

dA

n

r

gz

p

d

r

A

n

)

(

×

=

×

∫ ∫

ρ

 

 

x

x

x

AX

x

AX

nx

AX

x

nx

x

x

x

x

sx

x

x

AX

x

nx

M

J

M

dA

z

gM

dA

gz

z

dA

gz

gM

z

gzdA

dp

gM

A

gz

p

zdp

p

z

=

=

=

=

=

=

=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

2

2

2

*

,

*

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

 

J

x

  - moment bezwładno

ś

ci 

M

x

 - moment statyczny 

 

x

xy

x

Ax

nx

Ax

x

nx

x

Ax

x

nx

M

J

M

yzdA

y

gyzdA

gM

y

ydp

p

y

=

=

=

=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

ρ

ρ

;

*

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Zjawisko wyporu. Odkrycie Archimedesa (czas, epoka, miejsce) 

 

Je

ż

eli ciało jest zanurzone w płynie (rys.4.4),wypór hydrostatyczny jest okre

ś

lony wzorem: 

∫

−

=

S

pndS

N

                                                                 (9.1)

 

 

W  takim  przypadku  całk

ę

  zawart

ą

  w  powy

ż

szym  wzorze  mo

ż

na  przekształci

ć

  

na całk

ę

 obj

ę

to

ś

ciow

ą

: 

∫

−

=

S

gradpd

N

τ

 

(9.2) 

a po uwzgl

ę

dnieniu równania równowagi powy

ż

sze wyra

ż

enie przyjmuje posta

ć

: 

∫

∫

−

=

−

=

S

S

d

gk

fd

N

τ

τ

τ

ρ

τ

ρ

                                               (9.3)

 

Ale 

∫

=

)

(

)

(

s

S

d

τ

τ

τ

 

Jest obj

ę

to

ś

ci

ą

 ciała zanurzonego w płynie. St

ą

d siła wyporu 

N= - 

ρρρρ

gk=-G                                                     

(9.4) 

jest  równa  ci

ęż

arowi  cieczy  wypartej  przez  zanurzone  ciało  i  skierowana  jest  przeciwnie  do 

zwrotu siły ci

ęż

ko

ś

ci. Tak wi

ę

c otrzymali

ś

my znane prawo Archimedesa. 

Siła  wyporu  N  przechodzi  przez 

ś

rodek  ci

ęż

ko

ś

ci  obj

ę

to

ś

ci  płynu  zajmowanej  przez 

zanurzone ciało, i wyra

ż

a si

ę

 wzorem: 

N

r

G

r

L

n

n

××××

====

−−−−

××××

====

)

(

                                                     (9.5)

 

 

 

 
 
 
 

 

Archimedes 

 

Jeden  z  najwybitniejszych  greckich  matematyków  i  fizyków  staro

ż

ytno

ś

ci,  odkrył  wiele  praw 

matematycznych  i  fizycznych,  sformułował  wa

ż

ne  zasady  mechaniczne.  Archimedes  urodził 

si

ę

 w 287 roku przed Chrystusem w Syrakuzach; a o jego 

ż

yciu opowiadaj

ą

 Livius, Polibius. 

Nie sprawował 

ż

adnego urz

ę

du, oddaj

ą

c si

ę

 wył

ą

cznie nauce. Przebywał przez pewien czas 

w  sławnej  akademii  Aleksandryjskiej,  jako  ucze

ń

  matematyka  Konona,  z  którym  utrzymywał 

pó

ź

niej  tak

ż

e  korespondencj

ę

.  Zgin

ą

ł  tragicznie  w  roku  212  przy  zdobywaniu  Syrakuz  przez 

Rzymian pod wodz

ą

 Marcellusa ( podczas drugiej wojny Punickiej ) 

 

Prawo Archimedesa 

 

Ka

ż

de  ciało  zanurzone  w  cieczy  traci  pozornie  na  ci

ęż

arze  tyle,  ile  wynosi  ci

ęż

ar  cieczy 

wypartej  przez  to  ciało  tzn.  ciało  zanurzone  w  cieczy  doznaje  ze  strony  tej  cieczy  parcia  do 

góry, równego co do warto

ś

ci ci

ęż

arowi cieczy wypartej przez to ciało. 

 

Z  czasem  prawo  to  uogólniono  na  gazy  (  i  ciała  sypkie  spełniaj

ą

ce  okre

ś

lone  warunki) 

Jak głosi legenda, Hieron II zamówił dla siebie koron

ę

 z czystego złota. Władca nie dowierzał 

jednak    złotnikowi.  Pos

ą

dzał  go  to, 

ż

e  koron

ę

  wykonał  ze  srebra  i  z  zewn

ą

trz  tylko  pozłocił. 

Zwrócił  si

ę

  wtedy  do  przebywaj

ą

cego  na  jego  dworze  Archimedesa,  aby  ten  sprawdził  jego 

przypuszczenie, nie niszcz

ą

c pi

ę

knej korony. 

Archimedes  długo  my

ś

lał  nad  tym  zadaniem,  niestety  bez  skutku.  Zastanawiał  si

ę

  nad 

tym  nawet  w  k

ą

pieli.  Siedz

ą

c  kiedy

ś

  w  wannie  zauwa

ż

ył, 

ż

e  ciała  zanurzone  

w cieczy wydaj

ą

  si

ę

 l

ż

ejsze. W tym momencie przyszło na

ń

 ol

ś

nienie. Z okrzykiem eureka! 

(ła

ć

.  znalazłem)  Archimedes  pono

ć

  wyskoczył  z  wanny  i  w  stroju  mocno  niekompletnym 

pobiegł przez miasto do swego króla, aby mu zakomunikowa

ć

 o rozwi

ą

zaniu problemu. Je

ś

li 

wi

ę

c  wierzy

ć

  legendzie,  to  dzi

ę

ki  zadaniu  króla  Hierona  Archimedes  odkrył  wa

ż

ne  prawo, 

zwane dzi

ś

 prawem Archimedesa, które stanowi podstaw

ę

 teorii pływania ciał. 

Je

ż

eli  rzeczywi

ś

cie  Archimedes  odkrył  to  prawo  w  wannie,  to  trudno  si

ę

  dziwi

ć

, 

ż

e  był 

zaskoczony  prostot

ą

  metody,  jak

ą

  nale

ż

ało  zastosowa

ć

,  aby  rozwi

ą

za

ć

  postawione  mu 

zadanie.  Srebro  ma  bowiem  g

ę

sto

ść

  prawie  dwa  razy  mniejsz

ą

  ni

ż

  złoto.  Fałszywa  korona 

musiałaby  wi

ę

c  mie

ć

  znacznie  wi

ę

ksz

ą

  obj

ę

to

ść

  ni

ż

  korona  z  czystego  złota  o  tej  samej 

masie  i  -  co  za  tym  idzie  -  wypierałaby  wi

ę

cej  wody,  a  zatem  wi

ę

cej  "  traciłaby  pozornie  na 

ci

ęż

arze  ".  Inaczej  fałszywa  korona  byłaby  w  wodzie  znacznie  l

ż

ejsza  ni

ż

  próbka  czystego 

złota o tej  samej masie. 

Prawo  Archimedesa  jest  najwa

ż

niejszym,  lecz  bynajmniej  nie  jedynym  osi

ą

gni

ę

ciem 

Archimedesa  w  zakresie  hydrostatyki.  Jego  badania  i  spostrze

ż

enia  dotycz

ą

ce  warunków 

równowagi  cieczy  i  warunków  pływania  ciał  legły  u  podstaw  rozwoju  tej  dziedziny.  Oprócz 

praw  fizyki  i  matematyki  Archimedes  odkrył  równie

ż

  podstawow

ą

  zasad

ę

  mechaniki  ciał 

płynnych, zwi

ęź

le sformułowana brzmi: ciało zanurzone w cieczy ulega parciu do góry i traci 

pozornie  na  ci

ęż

arze  tyle,  ile  wa

ż

y  wyparta  prze  ze

ń

  ciecz.  Z  tej  zasady  korzysta  si

ę

  przy 

wyznaczaniu  ci

ęż

aru  wła

ś

ciwego,  mianowicie  dzieli  si

ę

  ci

ęż

ar  bezwzgl

ę

dny  przez  obj

ę

to

ść

, 

równ

ą

  liczbowo  ci

ęż

arowi  wypartej  wody.  Wszystkie  przyrz

ą

dy,  słu

żą

ce  do  pomiaru  ci

ęż

aru 

wła

ś

ciwego,  jak  piknometr,  waga  hydrostatyczna,  wolumometr,  a  dla  cieczy  areometr, 

opieraj

ą

 si

ę

 na zasadzie Archimedesa. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Stan stateczno

ś

ci pływania. Metacentrum i odległo

ść

 metacentryczna 

 

Na ciało zanurzone w cieczy działa ci

ęż

ar ciała G

1

 i wypór W. Je

ż

eli potraktuje si

ę

 wypór 

W jako wypór ciała całkowicie zanurzonego, to mo

ż

liwe s

ą

 trzy przypadki: 

•

  G

1

<W, siła (w-G

1

) wypiera ciało do góry powoduj

ą

c jego cz

ęś

ciowe wynurzenie; stan 

równowagi  zostaje  osi

ą

gni

ę

ty  wtedy,  gdy  ci

ęż

ar  ciała  b

ę

dzie  równy  wyporowi 

zanurzonej cz

ęś

ci ciała; w tym stanie równowagi ciało pływa 

•

  G

1

=W, ciało jest całkowicie zanurzone na dowolnej gł

ę

boko

ś

ci 

•

  G

1

>W, ciało tonie. 

Stateczno

ść

 pływania jest to zdolno

ść

 powrotu ciała pływaj

ą

cego wychylonego ze stanu 

równowagi do pierwotnego poło

ż

enia. 

 

rys.7. Stateczno

ść

 ciała całkowicie zanurzonego: a) równowaga stała, b) chwiejna,  

c) oboj

ę

tna 

 

Pływanie ciała całkowicie zanurzonych. Na ciało całkowicie zanurzone działaj

ą

 dwie siły; 

wypór  W  i  ci

ęż

ar  G

1

  (rys.  wy

ż

ej).  Punkt  S  oznacza 

ś

rodek  ci

ęż

ko

ś

ci  ciała  zanurzonego  

i  w  ogólnym  przypadku  nie  musi  pokrywa

ć

  si

ę

  ze 

ś

rodkiem  wyporu  N,  który  le

ż

y  w 

ś

rodku 

geometrycznym  ciała.  Równowaga  pływania,  jak  wiadomo,  zachodzi  wówczas  gdy  W=  G

1  

i  gdy  W  i  G

1

  le

żą

  wzdłu

ż

  tej  samej  osi  pionowej,  czyli  wzdłu

ż

  osi  pływania.  Mo

ż

liwe  s

ą

  trzy 

przypadki: 

•

  Punkt S le

ż

y poni

ż

ej punktu N, 

•

  Punkt S le

ż

y powy

ż

ej punktu N 

•

  Punkt S i N pokrywaj

ą

 si

ę

 

Mo

ż

na zatem stwierdzi

ć

, 

ż

e: 

1)  równowaga stała – 

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci S le

ż

y poni

ż

ej 

ś

rodka wyporu N, 

2)  równowaga chwiejna – S le

ż

y powy

ż

ej N, 

3)  równowaga oboj

ę

tna – punkt S i N pokrywaj

ą

 si

ę

. 

Bardziej zło

ż

onym zagadnieniem jest stateczno

ść

 pływania ciał cz

ęś

ciowo zanurzonych. 

Dowolne wychylenie ciała jest, ogólnie bior

ą

c, wypadkow

ą

 trzech przesuni

ęć

 i trzech obrotów 

wzgl

ę

dem osi X, Y, Z., przy czym o

ś

 x jest prostopadła do płaszczyzny. Przy takim poło

ż

eniu 

ś

rodka  ci

ęż

ko

ś

ci  mo

ż

liwe  jest  zachowanie  stateczno

ś

ci  pływania,  co  było  wykluczone  

w przypadku ciała pływaj

ą

cego całkowicie zanurzonego. 

 Ciało  jest  stateczne,  czyli  posiada  równowag

ę

  stał

ą

,  przy  przesuni

ę

ciu  wzdłu

ż

  osi  z. 

Przy  takiej  wymuszonej  zmianie  gł

ę

boko

ś

ci  zanurzenia  zostaje  naruszona  równowaga 

pomi

ę

dzy  ci

ęż

arem  ciała  G

1 

i  wyporem  W,  co  prowadzi  do  zmiany  zanurzenia  i  powrotu  do 

stanu  pocz

ą

tkowego.  Równowaga  oboj

ę

tna  ma  miejsce,  natomiast,  podczas  przesuni

ęć

 

równoległych  do  zwierciadła  cieczy,  czyli  podczas  przesuni

ęć

  wzdłu

ż

  osi  x  i  y  oraz  podczas 

obrotu wokół osi z.. 

Te  rozwa

ż

ania  mo

ż

na  uzupełni

ć

,  wprowadzaj

ą

c  poj

ę

cia  punktu  M.,  zwanego 

metacentrum, czyli punkt przeci

ę

cia linii działania wyporu chwilowego W i pionowej osi ciała 

pływaj

ą

cego.  Odległo

ść

  punktu  M  od 

ś

rodka  ci

ęż

ko

ś

ci  ciała  S  nosi  nazw

ę

  odległo

ś

ci

ą

 

(wysoko

ś

ci

ą

)  metacentrycznej  m.  Dla  informacji  mo

ż

na  poda

ć

, 

ż

e  minimalna  odległo

ść

 

metacentryczna statków wynosi m = 0,5

÷

4,5 m. 

Odległo

ść

  metacentryczna  m.  mo

ż

na  wyrazi

ć

  przez  parametry  geometryczne  ciała 

pływaj

ą

cego. Przy wychyleniu o mały k

ą

t 

ϕ

, wypór chwilowy W jest równy sumie algebraicznej 

wyporu pocz

ą

tkowego W i wyporów W

k

 obj

ę

to

ś

ci klinowych. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Kinematyka płynów. Cele, zadania, parametry kinematyczne. 

 

DWIE METODY OPISU STANU PŁYNU 

 

Wprowadzaj

ą

c omówion

ą

 we Wst

ę

pie cech

ę

 ci

ą

gło

ś

ci, mo

ż

emy traktowa

ć

 płyn wypełniaj

ą

cy 

rozwa

ż

any  przez  nas  obszar  jako  kontinuum  materialne.  Ka

ż

demu  punktowi  tego  obszaru 

przyporz

ą

dkowujemy pewne jego otoczenie, o wymiarach małych w porównaniu z wymiarami 

ciał  opływanych  lub  wymiarami  obszaru,  a  du

ż

ych  w  porównaniu  z  odległo

ś

ciami  mi

ę

dzy 

molekułami.  Otoczenie  takie  nazywamy  elementem  płynu,  a  przestrze

ń

  traktujemy  jako 

wypełnion

ą

 tymi elementami w sposób ci

ą

gły. Posługiwanie si

ę

 poj

ę

ciem elementu płynu jest 

bardzo  dogodne  —  mo

ż

emy  uto

ż

sami

ć

  go  z  punktem  któremu  przypisane  s

ą

  wszystkie 

parametry  charakteryzuj

ą

ce  płyn  lub  te

ż

  traktowa

ć

  go  jako  sko

ń

czon

ą

  obj

ę

to

ść

  o  cechach 

kontinuum materialnego. 

Stan  płynu  zajmuj

ą

cego  okre

ś

lony  obszar  przestrzeni  mo

ż

emy  opisa

ć

  w  dwojaki  sposób. 

Pierwszy z nich polega na okre

ś

leniu parametrów w ka

ż

dym punkcie przestrzeni zajmowanej 

przez  płyn.  Parametry  te  mog

ą

  si

ę

  zmienia

ć

  zarówno  w  przestrzeni  (mog

ą

  by

ć

  funkcj

ą

 

współrz

ę

dnych przestrzeni), jak i w czasie. Metoda ta nosi nazw

ę

 metody Eulera albo metody 

lokalnej. 

Omawiaj

ą

c  drugi  sposób,  wyobra

ź

my  sobie, 

ż

e  wyodr

ę

bnili

ś

my  element  płynu  

i 

ś

ledzimy  jego  zachowanie  si

ę

  w  czasie.  Znaj

ą

c  wszystkie  interesuj

ą

ce  nas  parametry 

dowolnych  elementów  płynu,  mamy  opisany  stan  płynu  w  całym  zajmowanym  przez  niego 

obszarze.  

Ta metoda nosi nazw

ę

 metody Lagrange^a lub metody w

ę

drownej. 

 

KINEMATYCZNY PODZIAŁ PRZEPŁYWÓW 

 

Je

ż

eli  parametry  opisuj

ą

ce  stan  płynu  s

ą

  niezale

ż

ne  od  czasu  f,  to  d/dt  =  O  i  stan  taki 

nazywamy  stanem  stacjonarnym  (ustalanym).  Je

ż

eli  za

ś

  parametry  te  zale

żą

  jawnie  od 

czasu,  

to przepływ nazywamy przepływem niestacjonarnym (nieustalonym}. 

Z  punktu  widzenia  kinematycznego  b

ę

dziemy  rozró

ż

niali  przepływy  jednowymiarowe,  

w których mamy tylko jedn

ą

 składow

ą

 wektora pr

ę

dko

ś

ci

 

 

przepływy dwuwymiarowe 

 

oraz przepływy trójwymiarowe 

 

W  ka

ż

dym  z  tych  przypadków  składowe  wektora  pr

ę

dko

ś

ci  mog

ą

  by

ć

  funkcj

ą

  dowolnej 

kombinacji  zmiennych  niezale

ż

nych  x,  y,  z,  t.  Tak  na  przykład,  mo

ż

emy  mie

ć

  przepływ 

jednowymiarowy niestacjonarny, w którym 

u

x

 = u

x

(x,f), 

lub przepływ dwuwymiarowy stacjonarny 

u

x

 = u

x

 (x,y), u

y

 = u

y

 (x,y) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. Metoda Eulera i Lagrange’a w kinematyce płynów 

 

 

METODA EULERA 

 

Je

ż

eli  wybrany  zostanie  układ  współrz

ę

dnych  odniesienia,  to  obszar  zajmowany  przez 

płyn  b

ę

dzie  opisany  promieniem  wodz

ą

cym  r.  W  najprostszym  przypadku,  je

ż

eli  układ 

współrz

ę

dnych b

ę

dzie układem kartezja

ń

sktm, to 

 

Wówczas  parametry  opisuj

ą

ce  stan  płynu  b

ę

d

ą

  funkcjami  promienia  wodz

ą

cego  r 

i czasu t. Ka

ż

demu poło

ż

eniu elementu płynu w chwili r, które jest okre

ś

lone współrz

ę

dnymi 

x,  y,  z,  odpowiada

ć

  b

ę

dzie  poło

ż

enie  *„,  y

(i

,  z<>  w  chwili  poprzedzaj

ą

cej  t

t

,.  Zapisujemy  t

ę

 

odpowiednio

ść

 w nast

ę

puj

ą

cej postaci: 

                                          (12.1) 

W metodzie Eulera mamy nast

ę

puj

ą

cy zapis dla wektora pr

ę

dko

ś

ci: 

 

co oznacz,a, 

ż

e wektor pr

ę

dko

ś

ci mo

ż

e by

ć

 przedstawiony nast

ę

puj

ą

co: 

            (12.2)                  

lub w skrócie

: 

 

Nie  tylko  składowe  wektora  pr

ę

dko

ś

ci  s

ą

  funkcjami  współrz

ę

dnych  przestrzennych  i  czasu, 

ale i inne parametry, takie jak: ci

ś

nienie, g

ę

sto

ść

, temperatura 

                                              (12.3) 

Je

ś

li posługujemy si

ę

 t

ą

 metod

ą

 opisu parametrów płynu, to w dowolnym miejscu układu 

współrz

ę

dnych  i  w  dowolnym  czasie  powinny  by

ć

  okre

ś

lone  powy

ż

sze  funkcje  czterech 

zmiennych x, y, z, t. 

Istotnym  poj

ę

ciem  dla  metody  Eulera  jest  poj

ę

cie  pochodnej  substancjalnej,  oznaczonej  dla 

dowolnej funkcji f (x, y, z, t) symbolem d//dr. 

Pochodn

ą

 substancjaln

ą

 buduje si

ę

 bior

ą

c za punkt wyj

ś

cia poj

ę

cie ró

ż

niczki zupełnej funkcji 

wielu zmiennych. W tym przypadku

 

k

z

j

y

i

x

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

                            (12.4) 

W wyra

ż

eniu tym przyrosty dx, dy i dz s

ą

 przyrostami dowolnymi w przestrzeni ryz. Je

ż

eli na 

przyrosty te nało

ż

ymy ograniczenia 

                                                    (12.5) 

co oznacza, 

ż

e s

ą

 one wybierane wzdłu

ż

 kierunku ruchu cz

ą

stki, to wyra

ż

enie (12.4) mo

ż

na 

zapisa

ć

 nast

ę

puj

ą

co: 

                                 (12.6) 

Odnosz

ą

c przyrost d/ do przyrostu czasu dt, z (12.6) otrzymujemy 

                            (12.7) 

Zapis ten mo

ż

e by

ć

 zastosowany do dowolnej funkcji/. Istotny jest jedynie operator typu: 

    (12.8) 

Ze sposobu budowania operatora pochodnej substancjalnej wynika nast

ę

puj

ą

ca interpretacja 

fizyczna poszczególnych wyra

ż

e

ń

: 

d/df oznacza zmian

ę

 danej wielko

ś

ci w czasie z punktu widzenia obserwatora poruszaj

ą

cego 

si

ę

 wraz z elementem płynu, 

d/dt oznacza zmian

ę

 w czasie danej wielko

ś

ci w danym punkcie przestrzeni (przy ustalonym 

x, y, z) — jest to pochodna lokalna,

 

 

oznacza zmian

ę

 danej wielko

ś

ci w przestrzeni w danym 

ustalonym czasie t — jest to pochodna konwekcyjna (cz

ę

sto tak

ż

e zwana adwekcyjn

ą

). 

Tak    wi

ę

c      pochodna    substancjalna  jest      sum

ą

    pochodnej      lokalnej      i    pochodnej 

konwekcyjnej (adwekcyjnej). 

Mo

ż

na  łatwo  zauwa

ż

y

ć

,   

ż

e  pochodna konwekcyjna jest  iloczynem   skalarnym 

wektora pr

ę

dko

ś

ci u i operatora gradient (nabla) grad =

  

                                  (12.9) 

Stosuj

ą

c  operator  ró

ż

niczkowania  substancjalnego  do  składowych  wektora  pr

ę

dko

ś

ci, 

otrzymujemy przyspieszenie substancjalne 

      (12.10; 12.11; 12.12) 

Po  pomno

ż

eniu  powy

ż

szych  równa

ń

  przez  wektory  i,  j,  k  oraz  ich  zsumowaniu  mo

ż

emy 

relacje (1.10)—(1.12) zapisa

ć

 w sposób zwarty 

    (12.13) 

Podobnie, stosuj

ą

c operator (1.8) do innych parametrów, otrzymujemy 

       (12.14; 12.15; 12.16) 

Z  powy

ż

szych  wzorów  wida

ć

,  i

ż

  zmiana  parametru  w  elemencie  płynu  okre

ś

lona  jest 

zmienno

ś

ci

ą

  w  czasie  i  zmienno

ś

ci

ą

  w  przestrzeni,  co  wymaga  znajomo

ś

ci  pola  pr

ę

dko

ś

ci. 

Ponadto  człony  okre

ś

laj

ą

ce  pochodn

ą

  konwekcyjn

ą

  s

ą

  członami  nieliniowymi  typu  iloczynu 

pr

ę

dko

ś

ci i pochodnej danego parametru. 

Nieliniowo

ść

 ta, pojawiaj

ą

ca si

ę

 w podstawowych relacjach mechaniki płynów, jest przyczyn

ą

 

znacznych trudno

ś

ci w rozwi

ą

zywaniu problemów przepływowych. 

 

METODA LAGRANGE'A 

 

W  metodzie  tej  opisujemy  histori

ę

  zmiany  danego  parametru,  zwi

ą

zanego  z  wybranym 

elementem  płynu.  Oznaczamy  wybrany  element  płynu  w  chwili  f

(l

  współrz

ę

dnymi  x

0

,  Y

0

,  Z

0

.  

Z  czasem  b

ę

dzie  si

ę

  zmieniało  jego  poło

ż

enie  i  inne  parametry.  Zapisujemy  ten  fakt 

nast

ę

puj

ą

co: 

                                     (12.17) 

lub w zapisie wektorowym 

 

Dla ci

ś

nienia, g

ę

sto

ś

ci i temperatury mamy 

                                             (12.18) 

Pr

ę

dko

ś

ci  i  przyspieszenia  w  metodzie  Lagrange'a  otrzymujemy  przez  ró

ż

niczkowanie 

współrz

ę

dnych poło

ż

enia elementu płynu wzgl

ę

dem czasu. Tak wi

ę

c dla pr

ę

dko

ś

ci 

                              (12.19) 

lub w zapisie wektorowym 

 

a dla przyspiesze

ń

 

                          (12.20) 

W dalszym ci

ą

gu posługiwa

ć

 si

ę

 b

ę

dziemy przewa

ż

nie metod

ą

 Eulera. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.Pochodna w

ę

drowna. Operator Stokesa, przy

ś

pieszenie elementu 

płynu. 

 

 

Je

ś

li  wezmiemy  pod  uwag

ę

  dowoln

ą

  wielko

ść

  fizyczn

ą

  f,  skalarn

ą

  lub  wektorow

ą

, 

zwi

ą

zan

ą

  z  poruszaj

ą

cym  si

ę

  elementem  płynu,  to  wyra

ż

enie  zmian  tej  wielko

ś

ci  w  czasie 

przy  u

ż

yciu  zmiennych  Eulera  napotka  na  pewne  trudno

ś

ci.  Mamy  wyrazi

ć

  zmiany  f, 

zwi

ą

zane  z  poruszaj

ą

cym  si

ę

po  swym  torze  elementem  płynu,  przy  pomocy  wielko

ś

ci 

zwi

ą

zanych  z  wybranym  punktem  przestrzeni  x,y,z  i  wybran

ą

  chwil

ę

  czasu  t.  Mamy  zatem 

obliczy

ć

 dla elementu płynu 

 

Chc

ą

c  to  wyrazi

ć

  za  pomoc

ą

  operacji  ró

ż

niczkowania  wzgl

ę

dem  x,y,z,t  musimy  x,y,z  w 

powy

ż

szym  wzorzepotraktowa

ć

  jako  równanie  parametryczne  toru  elementu  płynu 

przechodz

ą

cego przez wybranu punkt przestrzeni, a wi

ę

c jako: 

 

Uwzgl

ę

dniaj

ą

c to piszemy 

 

Korzystaj

ą

c ze zwi

ą

zków dla toru elementu płynu otrzymujemy 

 

Przy u

ż

yciu operatora mo

ż

emy ten wzór zapisa

ć

 nast

ę

puj

ą

co 

 

Wyra

ż

enie 

 uwa

ż

amy formalnie za iloczyn skalarny 

 i wektora pr

ę

dko

ś

ci 

 

Wynik tej operacji traktujemy jako operator, którym działamy na dowoln

ą

 wielko

ś

c skalarn

ą

 

np. 

 lub wektorow

ą

 np. 

 

 

Gdy podstawimy 

to równanie oznacza przy

ś

pieszenie elementu płynu 

 

 

Składowe przy

ś

pieszenia w układzie współrz

ę

dnych kartezja

ń

skich s

ą

 okre

ś

lone wzorami 

 

Pochodn

ą

 df/dt dowolnej wielko

ś

ci f nazywamy pochodn

ą

 substancjaln

ą

. Ma to okre

ś

lony 

sens fizyczny, gdy

ż

 d/dt oznacza zmiany dla tego samego poruszaj

ą

cego si

ę

 elementu płynu, 

czyli zmiany zwi

ą

zane z jego „substancj

ą

’’. 

 

We  współrz

ę

dnych  Eulera  zmiany  dotycz

ą

ce  poruszaj

ą

cego  so

ę

  elementu  trzeba 

wyrazi

ć

 przy pomocy pochodnych cz

ą

stkowych wzgl

ę

dem czasu i pkt. Przestrzeni. Pochodna 

substancjalna  jest  sum

ą

  pochodnej  lokalnej 

∂

f  / 

∂

t  wyra

ż

aj

ą

cej  zmiany  wielko

ś

ci  f  w  czasie 

lecz  w  tym  samym  punkcie  przestrzeni  i  pochodnej  konwekcyjnej. 

wyra

ż

aj

ą

cej 

zmiany wielko

ś

ci f przy przej

ś

ciu z pkt. X,y,z do jego najbli

ż

szego otoczenia, co zwi

ą

zane jest 

z polem pr

ę

dko

ś

ci.

 

 

14.Poj

ę

cie cyrkulacji. Interpretacja fizyczna i analogia. 

 
 
 
Cyrkulacja  pr

ę

dko

ś

ci  wzdłu

ż

  odcinka  BC  krzywej  s  w  ogólnej  krzywej  przestrzennej,  jest  to 

całka liniowa z iloczynu skalarnego 

i skierowanego elementu tej lini 

czyli

 

 

Cyrkulacja pr

ę

dko

ś

ci wyra

ż

ona równaniem wcze

ś

niejszym mo

ż

e by

ć

 równie

ż

 przedstawiona 

w nast

ę

puj

ą

cy sposób: 

 

gdzie 

- rzut wektora 

na kierunek 

 

W  przypadku  całki  liniowej  po  krzywej  zamkni

ę

tej  s  ,  czyli  całki 

  cyrkulacja  pr

ę

dko

ś

ci 

 wynosi: 

 

Jako dodatni kierunek obchodu zamkni

ę

tej linii konturowej przy obliczaniu całki przyjmiejmy  

kierunek przeciwny do ruch wskazówek zegara. 

 

Poj

ę

cie cyrkulacji pr

ę

dko

ś

ci wyst

ę

puje w zagadnieniach opływu ciał, profili, łopatek itd. 

Poj

ę

cie to jest podobne do poj

ę

cia pracy z tym, 

ż

e zamiast wektora siły wyst

ę

puje wektor 

pr

ę

dko

ś

ci. 

  

 

 

 

 

Cyrkulacja pr

ę

dko

ś

ci wzdłu

ż

 zewn

ę

trznej lini konturowej równa si

ę

 sumie cyrkulacji wzdłu

ż

 

konturów składowych. Zilustrowano to na rys. gdzie lini

ę

 konturow

ą

 s podzielono odcinkiem 

BD na dwie linie konturowe. Zatem mo

ż

na napisa

ć

 

ż

e: 

 

 

 

gdy

ż

 cyrkulacja wzdłu

ż

 BD znosz

ą

 si

ę

 z uwagi na przeciwne znaki. 

 

W teorii pola dowodzi si

ę

 tw. Stokesa, Które dotyczy zwi

ą

zku mi

ę

dzy całk

ą

 liniow

ą

 i 

powierzchniow

ą

. Dla ró

ż

niczkowalnych pól wektorowych 

ma ono posta

ć

: 

 

 

gdzie 

 oznacza elementarny skierowany odcinek zamkni

ę

tej lini s stanowi

ą

cej lini

ę

 

konturow

ą

 powierzchni A. 

 

Inaczej tw. Stokesa mo

ż

na napisa

ć

: 

       

 

Twierdzenie  formułowane  w  kategoriach  kinematycznych  mówi 

ż

e  cyrkulacja  pr

ę

dko

ś

ci 

wzdłu

ż

 zamkni

ę

tej krzywej s równa si

ę

 strumieniowi wirowa

ń

 (rotacji) przechodz

ą

cemu przez 

powierzchni

ę

 A, której brzegiem jest krzywa s. 

 

15.Równania toru i lini pr

ą

du, rurka i powierzchnia pr

ą

du, struga. 

 

Linia pr

ą

du jest to linia pola wektorowego pr

ę

dko

ś

ci. Je

ś

li mamy pole pr

ę

dko

ś

ci 

 

o składowych w układzie Kartezja

ń

skim 

       

 

oraz  element  linii  pr

ą

du 

o  skł.  Dx,  dy,  dz  to  warunek  równoległo

ś

ci 

  w  ka

ż

dym 

punkcie pola dla dowolnej chwili czasu mo

ż

emy napisa

ć

 w postaci  

 

czyli 

  

 

 

ka

ż

da składowa tego iloczynu musi by

ć

 równa zeru i st

ą

d otrzymujemy równanie lini pr

ą

du 

   

 

W równaniu tym czas wyst

ę

puje jako parametr, od którego zale

żą

 warto

ś

ci Vx, Vy, Vz ale nie 

jest on zmienn

ą

 niezale

ż

n

ą

. W ruchu nieustalonym obraz linii pr

ą

du ma charakter chwilowy, 

zale

ż

ny od warto

ś

ci t. W ruchu ustalonym obraz linii pr

ą

du dla danego przepływu jest 

niezmienny w czasie, tzn. kształt ka

ż

dej linii pr

ą

du dla przepływu ustalonego nie zmienia si

ę

 

w czasie. 

 

Powierzchnia pr

ą

du jest to powierzchnia utworzona z linii pr

ą

du przecinaj

ą

cych 

dowoln

ą

 lini

ę

 l nie b

ę

d

ą

c

ą

 lini

ą

 pr

ą

du. Je

ś

li linia jest zamkni

ę

ta, powierzchnia pr

ą

du 

nazywana jest rurk

ą

 pr

ą

du. 

Zbiór linii pr

ą

du wypełniaj

ą

cych w sposób ci

ą

gły rurk

ę

 pr

ą

du nazywamy włoknem pr

ą

du lub 

strug

ą

 pr

ą

du. 

 

 

 

 

 

Torem elementu płynu nazywamy lini

ę

, po której porusza si

ę

 Element płynu dV traktowany 

jako pkt materialny. Gdy elementarny odcinek toru oznaczymy przez 

o składowych dx, 

dy, dz a elementarny odcinek czasu przez dt, to równanie ró

ż

niczkowe toru jest nast

ę

puj

ą

ce: 

 

Równania skalarne toru elementu wynikaj

ą

ce ze wzoru to: 

 

 

     

 

Czas odgrywa tu rol

ę

 zmiennej niezale

ż

nej. Ostatnie równanie ró

ż

niczkowe toru wyra

ż

ona za 

pomoc

ą

 składowych mal

ą

 posta

ć

: 

 

16.Przepływy potencjalne. 

 

 

Prawie  zawsze  mo

ż

na  potraktowa

ć

  w  przybli

ż

eniu  ka

ż

dy  przepływ  przestrzenny  jako 

przepływ  dwuwymiarowy  (płaski  lub  osiowo  –  symetrycznu).  Takie  uproszczenie  jest 
niezmiernie  korzystne  ze  wzgl

ę

dów  matematycznych,  gdy

ż

  pozwala  stosowa

ć

  bardzo 

dogodn

ą

  i  dobrze  opracowan

ą

  teori

ę

  funkcji  zmiennej  zespolonej.  W  niniejszych 

rozwa

ż

aniach b

ę

d

ą

 omawiane tylko płaski przepływy potencjalne.\ 

 

Mimo, 

ż

e  poj

ę

cie  potencjału  ma  charakter  abstrakcyjny,  to  przy  jego  pomocy 

rozwi

ą

zuje  si

ę

  szereg  wa

ż

nych  zagadnie

ń

  praktycznych.  W  dalszej  tre

ś

ci  b

ę

d

ą

  podane 

przykłady takich rozwi

ą

za

ń

. 

Zale

ż

no

ś

ci podstawowe. 

 

Niektóre podst. poj

ę

cia przepływów potencjalnych, jak potencjał pr

ę

dko

ś

ci 

Φ

 i 

równanie Laplace’a, zostały podane przy opisie pola bezwirowego. 

 

Równania Laplace’a, tj. równanie dla układu płaskiego ma nast

ę

puj

ą

c

ą

 posta

ć

: 

 

Jak wiadomo, wa

ż

n

ą

 cech

ą

 równania Laplace’a jest jego liniowo

ść

, co jest wykorzystywane 

przy superpozycji, czyli nakładaniu przepływów. Zagadnienie superpozycji b

ę

dzie omawiane 

w dalszej cz

ęś

ci tre

ś

ci. 

 

Przyrost potencjału pr

ę

dko

ś

ci mo

ż

e by

ć

 wyra

ż

ony jako ró

ż

niczka zupełna: 

 

 

 

 

17.Przepływy elementarne. Superpozycja przepływów 

 

1. Przepływy elementarne. 

a. Przepływ jednostajny.

 

 

W 

ogólnym 

przypadku, 

jednostajny 

przepływ 

potencjalny 

odbywa 

si

ę

  

z 

pr

ę

dko

ś

ci

ą

 

v 

skierowan

ą

 

pod 

k

ą

tem 

a 

wzgl

ę

dem 

jednej 

z 

osi 

układu,  

np. wzgl

ę

dem osi x. Składowe pr

ę

dko

ś

ci v

x

 i v

y

 wynikaj

ą

 z zale

ż

no

ś

ci trygonometrycznych. 

 

 

Potencjał pr

ę

dko

ś

ci 

Φ

 obliczymy z równania 

Otrzymuj

ą

c 

dy

y

dx

x

d

∂

Φ

∂

+

∂

Φ

∂

=

Φ

∫













∂

Φ

∂

+

∂

Φ

∂

=

Φ

dy

y

dx

x

 

 

Z równa

ń

 

ν

X 

=

x

∂Φ

∂

 

ν

y

= 

y

∂Φ

∂

   jak i rysunku wynika: 

* cos

x

x

ν

α

∂Φ =

∂

 

* sin

y

y

ν

α

∂Φ =

∂

 

st

ą

d 

Funkcj

ę

 pr

ą

du obliczymy z równania 

d

dx

dy

x

y

∂Ψ

∂Ψ

Ψ =

+

∂

∂

 

w

i

edz

ą

c, 

ż

e 

,

y

x

x

y

∂Ψ ∂Φ

∂Ψ ∂Φ

=

−

=

∂

∂

∂

∂

, otrzymamy  

(

)

* sin

* cos

x

y

ν

α

α

Ψ = −

+

 

Podstawiaj

ą

c do równania 

( )

f x

i

= Φ + Ψ

 otrzymuje si

ę

 warto

ść

 potencjału zespolonego 

( ) (

)

(

)

(

)(

)

* cos

*

sin

*

cos

sin

* *

i

f z

x i y

i x y

x i y

i

z e

α

ν

α

α ν

α

α ν

−





=

+

+ − +

=

+

−

=





(17.1)

 

Potencjał zespolony wyra

ż

ony równaniem ( ) ma zatem posta

ć

 

f(z)=a*z 

 

 

 

 

 

(17.2) 

gdzie a jest liczb

ą

 zespolon

ą

. 

Jest to potencjał zespolony przepływu jednostajnego.  

 

b. 

Ż

ródlo płaskie. 

 

Ź

ródło  płaskie  mo

ż

e  by

ć

  dodatnie,  lub  ujemne. 

Ź

ródło  dodatnie  nazywane  jest  po 

prostu 

ź

ródłem,  za

ś

 

ź

ródło  ujemne  nosi  nazw

ę

  upustu.  Potencjał  zespolony  wyra

ż

a  si

ę

 

równaniem 

f(z)=a*lnz                        

 

 

(a) 

V gdzie: a 

=

2

V

Π

 - liczba rzeczywista

,

 

V-wydajno

ść

 

ź

ródła, lub upustu płaskiego.  

(

) (

)

α

α

ν

α

ν

α

ν

sin

*

cos

*

sin

*

*

cos

*

y

x

dy

dx

+

=

+

=

Φ

∫

W  układzie  współrz

ę

dnych  biegunowych  potencjał  zespolony,  przy  wykorzystaniu 

równania z = r * e

i

ϕ

 przyjmie posta

ć

: 

    

( )

* ln

ln( *

)

(ln *

)

2

2

i

V

V

f z

i

a

z

r e

r i

ϕ

ϕ

= Φ + Ψ =

=

=

Π

Π

             

(17.3)  

Potencjał pr

ę

dko

ś

ci jako cz

ęść

 rzeczywista wynosi 

ln

2

V

r

Φ =

Π

 

Linie 

stałego 

potencjału 

pr

ę

dko

ś

ci 

s

ą

 

okr

ę

gami 

współ

ś

rodkowymi, 

gdy

ż

 

dla  

Φ

 = const jest r = const. 

Funkcja pr

ą

du jako cz

ęść

 urojona wynosi 

ln( *

)

2

i

V

r e

ϕ

Π

 

gdzie 

ϕ

 -k

ą

t(współrz

ę

dna biegunowa). 

Linie  pr

ą

du  (

Ψ

  =  const)  s

ą

  ortogonalne  do  linii 

Φ

  =  const,  a  wi

ę

c  s

ą

  prostymi 

wychodz

ą

cymi z pocz

ą

tku układu współrz

ę

dnych (

ϕ

 = const). 

W 

ź

ródle i upu

ś

cie istnieje tylko pr

ę

dko

ść

 promieniowa 

ν

r

 gdy

ż

 pr

ę

dko

ść

 obwodowa V

u

 

jest równa zero. Zwrot pr

ę

dko

ś

ci 

ν

r

 w 

ź

ródle i upu

ś

cie jest odwrotny, przy czym przyjmuje si

ę

, 

ż

e  w  niesko

ń

czenie  bliskim  otoczeniu  punktu 

ś

rodkowego  płynu  pojawia  si

ę

  lub  przestaje 

istnie

ć

. 

Warto

ść

 pr

ę

dko

ś

ci 

ν

r

 mo

ż

na znale

źć

 w nast

ę

puj

ą

cy sposób. Ró

ż

niczkuj

ą

c równanie (a)  

i wykorzystuj

ą

c równania z=r*e

i

ϕ

 i 

( )

1

*

2

i

df z

V

e

dz

r

ϕ

=

Π

otrzymujemy kolejno 

( )

1

1

*

*

2

2

i

i

df z

V

V

e

e

dz

r

r

ϕ

ϕ

−

=

=

Π

Π

 

( )

1

*

2

i

df z

V

e

dz

r

ϕ

=

Π

 

Pr

ę

dko

ść

 

ν

r

 jako rzeczywista równania wynosi 

1

*

2

V

Vr

r

=

Π

, 

Pr

ę

dko

ść

 

ν

u

 jest równa zero gdy

ż

 cz

ęść

 urojona pr

ę

dko

ś

ci zespolonej nie istnieje. 

 

 

 

 

c. Wir płaski potencjalny. 

 

W  ruchu  cieczy  nazywamy  kołowym,  płaskim  wirem  potencjalnym(swobodnym)  cyrkulacja 

pr

ę

dko

ś

ci  po  dowolnej  krzywej  nie  obejmuj

ą

cej 

ś

rodka  wiru  jest  równa  zero-st

ą

d  wir 

potencjalny. Cyrkulacja po krzywej jeden raz obejmuj

ą

cej 

ś

rodek wiru jest równa F. 

Dla kołowego wiru płaskiego warto

ść

 potencjału zespolonego wynosi 

f(z)=-i*a*lnz,                                                     (17.4) 

gdzie: a=

2

V

Π

 -liczba rzeczywista, 

Γ

 - cyrkulacja pr

ę

dko

ś

ci. 

W  układzie  współrz

ę

dnych  biegunowych  potencjał  zespolony,  uwzgl

ę

dniaj

ą

c  powy

ż

sze 

warunki przyjmie posta

ć

 

ƒ

( )

+

Φ

=

z

i

Ψ

(

)

(

)

r

i

i

r

i

e

r

i

z

a

i

i

ln

*

2

2

ln

2

*

ln

2

ln

*

*

π

ϕ

π

ϕ

π

π

ϕ

Γ

−

Γ

=

+

Γ

−

=

Γ

−

=

−

=

   (17.5) 

Potencjał pr

ę

dko

ś

ci jako cz

ęść

 rzeczywista wynosi  

ϕ

π

2

Γ

=

Φ

   

 

Linie  stałego  potencjału  pr

ę

dko

ś

ci  s

ą

  prostymi  wychodz

ą

cymi  z  pocz

ą

tku  układu 

współrz

ę

dnych, gdy

ż

 dla 

Φ

 = const jest 

φ

 = const 

Funkcja pr

ą

du jako cz

ęść

 urojona wynosi : 

r

1

*

2

π

Γ

=

Φ

 

 

Linie  pr

ą

du  s

ą

  okr

ę

gami  współ

ś

rodkowymi,  gdy

ż

  dla  Y  =  const  jest  r  =  const.  

Role 

φ

 i 

Ψ

 s

ą

 dla 

ź

ródła i wiru zamienne. W zwi

ą

zku z tym, pr

ę

dko

ść

 promieniowa jest równa 

zett| a pr

ę

dko

ść

 obwodowa wynosi : 

r

u

1

*

2

π

ν

Γ

=

    

 

 

 

 

(17.6) 

Ogólnie  mo

ż

na  powiedzie

ć

, 

ż

e  zamiana  ról 

Φ

  i 

Ψ

  zachodzi  w  tzw.  Przepływach 

sprz

ęż

onych, którymi s

ą

 w danym przypadku 

ź

ródło i wir płaski.  

 

d. Dipol. 

 

Dipol,  lub 

ź

ródło  podwójne  płaskie  ma  miejsce  wówczas,  gdy  odległo

ść

  

/  pomi

ę

dzy 

ź

ródłem  i  upustem  wynosi  l 

→

 

∞

  .Obowi

ą

zuje  przy  tym  taka  zale

ż

no

ść

, 

ż

e 

odległo

ść

  l  maleje  w  takim  stopniu,  w  jaki  wzrasta  strumie

ń

  obj

ę

to

ś

ci  V 

ź

ródła  

i  upustu,  czyli  l 

→

  O,  V 

→

 

∞

  ,  przy  czym  l*V=M  =  const.  Moment  dipola  M.  zostaje  stały  

i ró

ż

ny od zera. 

Potencjał zespolony dipola wynosi 

z

a

z

f

=

)

(

 

 

 

 

 

 

(17.7) 

gdzie 

π

2

M

a

=

 

Po  uwzgl

ę

dnieniu  równania  z=x+z  *  y  i  pomno

ż

eniu  licznika  i  mianownika  przez  

(x-i * y) otrzymuje si

ę

 : 

)

(

2

)

*

(

)

*

(

2

)

*

(

)

(

2

2

2

2

2

y

x

y

i

x

M

y

i

x

y

i

x

M

z

f

+

−

=

−

−

=

π

π

  

 

 

 

(17.8) 

Potencjał pr

ę

dko

ś

ci jako cz

ęść

 rzeczywista potencjału zespolonego wynosi : 

 

)

(

2

*

2

2

y

x

x

M

+

=

Φ

π

 

 

 

 

 

 

 

(17.9) 

 

Funkcja pr

ą

du jako cz

ęść

 urojona wynosi  

)

(

2

*

2

2

y

x

x

M

+

=

Ψ

π

  

 

 

 

 

 

 

(17.10) 

Z tych zale

ż

no

ś

c

i

 wynika, 

ż

e linie pr

ą

du ( 

Ψ

 = const ) stanowi

ą

 rodzin

ę

 okr

ę

gów stycznych do 

osi  x  w  pocz

ą

tku  układu,  za

ś

  linie 

Φ

 

=

  const  s

ą

  tak

ż

e  okr

ę

gami,  lecz  stycznymi  w  pocz

ą

tku 

układu do osi y. 

Okr

ę

gi   

Φ

 

=  const  i 

Ψ

  =  const  s

ą

  wzajemnie  ortogonalne.  Osi

ą

  dipola  jest  wspólna 

styczna okr

ę

gów  

Ψ

 =  const

.

 Jej zwrot jest zgodny z kierunkiem przepływu. 

 

 

 

2. Superpozycja przepływów. 

 

Wa

ż

n

ą

  cech

ą

  równania  Laplace'a  jest  jego  liniowo

ść

  wykorzystywana  przy 

superpozycji, 

czyli 

nakładaniu 

dwóch, 

lub 

wi

ę

cej 

przepływów 

potencjalnych.  

W przypadku dwóch przepływów mo

ż

na zapisa

ć

 

1

1

1

*

)

(

Ψ

+

Φ

=

i

z

f

 

2

2

2

*

)

(

Ψ

+

Φ

=

i

z

f

  

 

 

                        (17.11) 

sk

ą

d 

)

(

*

)

(

*

)

(

2

2

1

1

z

f

k

z

f

k

z

f

+

=

   

           (17.12) 

gdzie k

1

 , k

2  

- dowolne współczynniki. 

 

 

 

W  wyniku  superpozycji  został  otrzymany  nowy  przepływ  o  potencjale  zespolonym 

f(z), którego cz

ęś

ci

ą

 rzeczywist

ą

 i urojon

ą

 s

ą

 odpowiednio 

Φ

 i 

Ψ

 

2

2

1

1

*

*

Φ

+

Φ

=

Φ

k

k

 

2

2

1

1

*

*

Ψ

+

Ψ

=

Ψ

k

k

    

 

 

 

    (17.13) 

Superpozycja 

mo

ż

e 

by

ć

 

wykonywana 

metod

ą

 

analityczn

ą

,

 

lub 

wykre

ś

ln

ą

.  

W  metodzie  analitycznej  zadanie  sprowadza  si

ę

  do  znalezienia  wypadkowego                                                                         

(sumarycznego)  potencjału  zespolonego,  a  zwłaszcza  cz

ęś

ci  urojonej  tego  potencjału. 

W metodzie wykre

ś

lnej natomiast nale

ż

y nanie

ść

 linie 

Ψ

1

,

Ψ

2

=const, zachowuj

ą

c mi

ę

dzy nimi 

takie  odleg

ł

o

ś

ci,  jakie  wynikaj

ą

  z  równo

ś

ci  strumieni  obj

ę

to

ś

ci  obu  przepływów,  

a wi

ę

c : 

2

1

V

V

∆

=

∆

 

 

 

 

 

 

(17.14) 

Utworzona w ten sposób siatka linii pr

ą

du mo

ż

e by

ć

 oznakowana w sposób umowny. 

 

 

Zagadnienie  superpozycji  sprowadza  si

ę

  wła

ś

ciwie  do  sumowania  wektorów 

pr

ę

dko

ś

ci. 

Szczególne  znaczenie  w  aerodynamice  posiadaj

ą

  przypadki  superpozycji  przepływu 

jednostajnego i 

ź

ródła, lub układu 

ź

ródeł.