Podstawowe pojęcia i wzory

III. ANALIZA MATEMATYCZNA

GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

• GRANICA FUNKCJI

Definicja Heinego granicy funkcji (ciągowa)

Dla funkcji
i
liczba rzeczywista q jest granicą funkcji f w x₀,

/symbolicznie: „
” /

wtedy, gdy dla każdego ciągu
,takiego, że:
, to

Inaczej:

Definicja Cauchy'ego granicy funkcji

Liczba q jest granicą funkcji f w x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy:

dla każdej liczby rzeczywistej
> 0 istnieje liczba rzeczywista
> 0 taka, że

dla każdego
:

jeśli

, to

Inaczej:

f(x)

x

f(x)

x

Definicja 1

Funkcja f ma w punkcie x₀ granicę
, jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej
istnieje taka liczba
(dobrana do ε), że dla wszystkich
spełniających warunek
zachodzi nierówność
co zapisujemy:

Analogicznie definiujemy granicę równą
.

Definicja 2

Funkcja f ma granicę równą g przy x zmierzającym do
jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej
istnieje P<0 takie, że dla wszystkich x spełniających warunek x<P zachodzi nierówność
, co zapisujemy:

Analogicznie zdefiniujemy granicę funkcji przy x zmierzającym do
.

Twierdzenie 1

Jeżeli
i
, to

przy dodatkowym założeniu, że

Twierdzenie 2

Jeżeli
i
, to

jeżeli
lub
gdy

Analogicznie będziemy liczyć granicę, w przypadku, gdy
.

Twierdzenie 3

Jeżeli
i
, to

jeżeli
lub
, gdy

Twierdzenie 4

Jeżeli
i
oraz
, to

Twierdzenie 5 (o trzech funkcjach)

Jeżeli
oraz
w pewnym otoczeniu punktu x₀

to

Definicja 3

Liczbę g nazywamy lewostronną [prawostronną] granicą funkcji w punkcie x₀, jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej
istnieje taka liczba
(dobrana do ε), że dla wszystkich
spełniających warunek
[
] zachodzi nierówność
.

Zatem możemy to zapisać symbolicznie:

Przykłady ważniejszych granic

1. Rozważmy przypadki:

1. n = m

.

2. n < m

c)n > m

2. 
   ;

3. 
   

4. 
   

• CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Definicja 4

Funkcja rzeczywista f jest ciągła w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy gdy:

.

Korzystając z dwóch definicji granicy funkcji otrzymujemy dwie równoważne definicje ciągłości.

Definicja Heinego ciągłości funkcji

Funkcja rzeczywista f jest ciągła w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicja Cauchy'ego ciągłości funkcji

Funkcja rzeczywista f jest ciągła w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy

Y

y=f(x)

X

Twierdzenie 6

1. Suma, różnica oraz iloczyn funkcji ciągłych

w pewnym punkcie jest funkcją ciągłą w tym punkcie.

2. Jeżeli funkcje
   i
   są ciągłe w punkcie
   

i
, to iloraz
/
jest także funkcją ciągłą w tym punkcie.

3. Funkcja stała
   oraz funkcja tożsamościowa
   są ciągłe w każdym punkcie
   

Wniosek

Każdy wielomian W
jest funkcją ciągłą w dowolnym punkcie
.

Funkcja wymierna jest więc ciągła w każdym punkcie swej dziedziny naturalnej, którą jest zbiór R z wyjątkiem pierwiastków wielomianu znajdującego się w mianowniku.

Funkcje trygonometryczne, funkcja wykładnicza oraz logarytmiczna są ciągłe w swoich dziedzinach.

Definicja 5

Funkcja jest ciągła w zbiorze, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Definicja 6

Funkcja rzeczywista f jest prawostronnie ciągła w punkcie x₀ jeżeli spełniony jest warunek

gdzie
oznacza granicę prawostronną funkcji f w punkcie x₀.

Funkcja rzeczywista f jest lewostronnie ciągła w punkcie x₀ jeżeli spełniony jest warunek

.

gdzie
oznacza granicę lewostronną funkcji f w punkcie x₀.

Twierdzenie 7

Jeżeli funkcja
jest ciągła w punkcie
, to jest w tym punkcie lewo- i prawostronnie ciągła, a także na odwrót.

Definicja 7

Funkcja rzeczywista f jest ciągła w przedziale domkniętym [a;b] jeżeli spełnia następujące warunki:

• jest ciągła w przedziale
  

• prawostronnie ciągła w punkcie a,

• lewostronnie ciągła w punkcie b.

Definicja 8

Jeżeli funkcja
nie jest ciągła w punkcie
, to
nazywamy punktem nieciągłości tej funkcji.

Rodzaje nieciągłości

Nieciągłość pierwszego rodzaju - funkcja ma obydwie granice jednostronne właściwe (skończone).

Nieciągłość drugiego rodzaju - pozostałe przypadki

Definicja 9

Skok funkcji f w punkcie
definiujemy jako:

.

• WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH

Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej

Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej i rosnącej (malejącej) jest ciągła i rosnąca (malejąca).

Twierdzenie o ciągłości funkcji złożonej

Jeżeli funkcja
jest ciągła w punkcie
i funkcja
jest ciągła w punkcie
, to funkcja złożona
jest ciągła w punkcie
.

POCHODNA FUNKCJI

Definicja 10

Otoczeniem otwartym punktu a o promieniu ε nazywamy dowolny przedział postaci (a- ε, a+ε)

Sąsiedztwem punktu a o promieniu δ nazywamy zbiór (a-δ, a+δ)-{a}

Definicja 11

Punkt x₀ nazywamy punktem skupienia zbioru X, jeżeli każde sąsiedztwo tego punktu ma niepuste przecięcie ze zbiorem X.

Uwaga Punkt skupienia nie musi należeć do zbioru X.

Załóżmy, że funkcja
jest określona w przedziale
i
jest ustalonym punktem tego przedziału. Niech
oznacza taką liczbę różną od zera, że
Z przyjętych założeń wynika, że
może być zarówno liczbą dodatnią, jak i ujemną. Rozpatrzmy teraz funkcję
, która liczbie
przyporządkowuje liczbę

Zatem

Wobec tego
jest ilorazem różnicowym funkcji
odpowiadającym przyrostowi argumentu
o liczbę
Interesować nas będzie granica
a więc granica

Definicja 12

Jeśli funkcja
jest określona w przedziale

i istnieje skończona granica
to granicę tę nazywamy pochodną funkcji
w punkcie
i oznaczamy symbolem

O funkcji
, która ma pochodną w punkcie
mówimy również, że jest różniczkowalna w tym punkcie. Jeżeli funkcja
ma pochodną w każdym punkcie przedziału
to funkcję
nazywamy różniczkowalną w przedziale

Twierdzenie 8

Pochodna funkcji f w punkcie
jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji f, poprowadzonej w punkcie
.

Definicja 13

Styczną do wykresu funkcji f, poprowadzoną w punkcie
nazywać będziemy prostą o równaniu

.

Definicja 14

Pochodną funkcji f nazywać będziemy funkcję, która każdemu argumentowi
funkcji f, w którym istnieje pochodna tej funkcji, przyporządkowuje wartość pochodnej funkcji w tym punkcie , tzn. liczbę
.

Twierdzenie 9

Jeżeli funkcja f posiada pochodną w punkcie
, to jest w tym punkcie ciągła.

Twierdzenie 10

Jeżeli funkcje f, g posiadają pochodne w punkcie x, to funkcje
posiadają pochodne w tym punkcie oraz zachodzą równości

Jeżeli dodatkowo
, to funkcja
posiada pochodną w punkcie x oraz

Twierdzenie 11

Jeżeli funkcja
posiada pochodną w punkcie
, a funkcja
posiada pochodną w punkcie
, to funkcja złożona
posiada pochodną w punkcie
oraz

.

Twierdzenie 12

Jeżeli funkcja f jest monotoniczna i ciągła na przedziale
oraz posiada pochodną w punkcie
, różną od zera
, to funkcja odwrotna
posiada pochodną w punkcie
oraz

Definicja 15

Różniczką funkcji f w punkcie
dla przyrostu
nazywamy wyrażenie

Tablica pochodnych funkcji elementarnych:

Pochodne		Zakres zmienności x
		W zależności od
		,
		,

EKSTREMA LOKALNE FUNKCJI, ASYMPTOTY FUNKCJI.

Definicja 16

Mówimy, że funkcja f osiąga w punkcie
maksimum lokalne (minimum lokalne), jeżeli istnieje takie otoczenie U punktu
, że dla każdego punktu
spełniona jest nierówność

Liczbę
nazywamy wówczas odpowiednio maksimum lokalnym (minimum lokalnym).

Twierdzenie 13 (Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej)

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie
i posiada w punkcie
ekstremum, to
.

Uwaga. Warunek ten nie jest dostateczny.

Twierdzenie 14 (Warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w pewnym otoczeniu U punktu
, jest różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie tego punktu oraz dla
zachodzi jeden z warunków:

• 
  dla
  i
  dla
  

• 
  dla
  i
  dla
  ,

to funkcja f osiąga w punkcie
odpowiednio maksimum (minimum lokalne).

Definicja 17

Pochodną drugiego rzędu (drugą pochodną) funkcji f nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji

Analogicznie określamy pochodne wyższych rzędów.

Definicja 18

Mówimy, że funkcja f jest wypukła (wklęsła) na pewnym zbiorze A, jeżeli dla dowolnych
punkty wykresu funkcji f w przedziale
leżą poniżej (powyżej) siecznej, przechodzącej przez punkty
oraz
.

Uwaga. Jeżeli funkcja f różniczkowalna na zbiorze A, to wypukłość (wklęsłość) można zastąpić warunkiem, by w każdym punkcie x zbioru A wykres funkcji f leżał nad (pod) styczną, poprowadzoną do wykresu tej funkcji w punkcie

Twierdzenie 15

Jeżeli funkcja f posiada na przedziale
ciągłe pochodne pierwszego i drugiego rzędu oraz

dla
, to funkcja f jest na tym przedziale wypukła (wklęsła).

Definicja 18

Mówimy, że punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji f, jeżeli w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu
funkcja f jest wklęsła, a w pewnym prawostronnym sąsiedztwie tego punktu jest wypukła lub na odwrót.

Twierdzenie 16 (Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia funkcji różniczkowalnej)

Jeżeli funkcja f posiada w otoczeniu punktu
pochodne pierwszego i drugiego rzędu oraz punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji f, to
.

Twierdzenie 17 (Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia)

Jeżeli funkcja f posiada w otoczeniu punktu
pochodne pierwszego i drugiego rzędu oraz

• 
  

• w lewostronnym sąsiedztwie punktu
  druga pochodna jest dodatnia, a w prawostronnym sąsiedztwie jest ujemna (lub na odwrót),

to punkt
jest punktem przegięcia krzywej
.

Definicja 19

Jeżeli
jest punktem skupienia dziedziny funkcji f oraz istnieje granica jednostronna

i jest niewłaściwa, to prostą
nazywamy asymptotą pionową lewostronną (prawostronną) funkcji f.

Definicja 20

Jeżeli funkcja f jest określona co najmniej w przedziale

oraz istnieje prosta o równaniu
taka, że

, to prostą
nazywamy asymptotą ukośną lewostronną (prawostronną) funkcji f.

W szczególnym przypadku, gdy
, asymptota ukośna jest asymptotą poziomą (ma to miejsce wtedy, gdy funkcja ta ma w
lub w
skończoną granicę).

Badanie przebiegu zmienności funkcji:

• Dziedzina funkcji.

• Granice funkcji na brzegu dziedziny.

• Asymptoty funkcji.

• Ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji: pierwsza pochodna funkcji, jej miejsca zerowe i punkty nieróżniczkowalności, znak pierwszej pochodnej.

• Wklęsłość i wypukłość funkcji oraz jej punkty przegięcia: pochodna drugiego rzędu, jej miejsca zerowe i znak.

• Zebranie wyników w tabelce.

• Narysowanie wykresu funkcji.

1

a- ε a a+ ε

a-δ a a+δ

---