Wojciech Patryas, Elementy logiki dla prawników, Ars boni et aequi, Poznań 1994, s. 128-190 (Rozdział V Język i Rozdział VI Definicje).

V. JĘZYK

1. Reguły formowania

Na co dzień wszyscy posługujemy się językiem polskim. Wiemy, że istnieje także język angielski, język niemiecki, język francuski, język rosyjski itd. Mówi się również o języku arytmetyki, języku geometrii, języku algebry itp. Na każdy język można spojrzeć z perspektywy lingwistycznej bądź też z perspektywy logicznej. Badania prowadzone z perspektywy lingwistycznej zmierzają do wyjaśnienia rozmaitych zjawisk językowych. Badania prowadzone z perspektywy logicznej zmierzają do rekonstrukcji języka jako środka komunikacji poprzez odtworzenie rozmaitych typów konstytuujących go reguł. Wypracowana w tym względzie koncepcja stanowi tak zwaną logiczną teorię języka. Przedstawimy tu jej podstawowe ustalenia.

Sekwencja „Basia tańczy z ojcem Marianny” jest wyrażeniem języka polskiego, a w szczególności jest jego zdaniem. Nie są natomiast wyrażeniami języka polskiego sekwencje „gmondu jest zielony” oraz „protli abru kirbo”. W pierwszej z nich występuje bowiem wyraz „gmondu”, a w drugim wyrazy „protli”, „abru” oraz „kirbo”, które nie są słowami języka polskiego. Wskazuje to, iż każdy język w pierwszym rzędzie konstytuują reguły wyznaczające jego podstawowe wyrażenia zwane słowami. Ponieważ ogół słów danego języka stanowi jego słownik, dlatego reguły te nazywamy regułami ustalającymi słownik danego języka. Jedną z reguł ustalających słownik języka polskiego okazuje się wiec reguła kwalifikująca wyraz „Basia” jako jego słowo. Podobnie, do reguł ustalających słownik języka polskiego należą reguły kwalifikujące wyrazy: „tańczy”, „z”, „ojciec”, „Marianna”, „jest”, „zielony” jako słowa tego języka. Pośród reguł ustalających słowniK języka polskiego nie ma natomiast reguł, które kwalifikowałyby wyrazy „gmondu”, „protli”, „abru” oraz „kirbo” jako jego słownik. [128/129]

Jak już zaznaczono, sekwencja „Basia tańczy z ojcem Marianny” składa się wyłącznie ze słów języka polskiego i jest jego wyrażeniem. Sekwencje „myśli Wisła na o Poznań patrzy” oraz „do Jurek idzie” też są zbudowane wyłącznie ze słów języka polskiego, a jednak nie są jego wyrażeniami. Wskazuje to, że oprócz reguł ustalających słownik danego języka inne jeszcze reguły interweniują przy budowie jego wyrażeń. Nazywamy je regułami gramatycznymi. Dzielą się one na reguły ustalające kategorie gramatyczne i reguły ustalające sposób budowania wyrażeń złożonych z wyrażeń o określonych kategoriach gramatycznych.

Przyjrzyjmy się najpierw regułom pierwszego typu. Zauważmy, że gdy w zdaniu „Basia tańczy z ojcem Marianny” słowo „Basia” zastąpimy słowem „Krysia”, to uzyskamy nowe zdanie „Krysia tańczy z ojcem Marianny”. Gdy w tym zdaniu słowo „Krysia” zastąpimy słowem „Warta”, to uzyskamy jeszcze inne fałszywe zdanie „Warta tańczy z ojcem Marianny”. Gdy w zdaniu tym słowo „Warta” zastąpimy wyrażeniem „ojciec Marianny”, to uzyskamy zdanie „ojciec Marianny tańczy z ojcem Marianny”, które skądinąd jest fałszywe, bo nie można tańczyć z samym sobą. Gdy w zdaniu wyjściowym słowo „ojciec” zastąpimy słowem „matka”, to uzyskamy zdanie „Basia tańczy z matką Marianny”. Gdy w zdaniu tym zastąpimy słowo „tańczy” słowem „pracuje”, to uzyskamy zdanie „Basia pracuje z matką Marianny”. Gdy w zdaniu tym zastąpimy słowo „z” słowem „obok”, to - po stosownym dopasowaniu końcówek gramatycznych - uzyskamy zdanie „Basia pracuje obok matki Marianny”. Gdy jednak w zdaniu wyjściowym słowo „tańczy” zastąpimy słowem „Warta”, to otrzymamy sekwencję „Basia Warta z ojcem Marianny”, która nie jest wyrażeniem języka polskiego. Podobnie gdy w zdaniu wyjściowym słowo „Basia” zastąpimy słowem „myśli”, to otrzymamy sekwencję „myśli tańczy z ojcem Marianny” nie będącą wyrażeniem języka polskiego.

Jak widać, wyrażenia danego języka dzielą się na zbiory wyrażeń wzajemnie wymienialnych w zdaniu. Na przykład, słowo „Basia” jest wymienialne ze słowami „Krysia”, „Warta”, „Poznań”, „9”, a także z wyrażeniami „ojciec Marianny”, „Rektor UAM”, „najwyższy student pierwszego roku prawa” itp. Natomiast nie jest ono wymienialne z takimi słowami, jak „tańczy”, „z” czy „ojciec”, ani z takimi wyrażeniami, jak „tańczy z”, „patrzy na” czy „jest większa od”. Z kolei wyrażenie „tańczy” jest wymienialne z takimi wyrażeniami, jak „pracuje” oraz [129/130] „gaworzy”, a nie jest wymienialne z takimi wyrażeniami, jak „Warta” „z” czy „ojciec”. Natomiast wyrażenie „tańczy z” jest wymienialne z takimi wyrażeniami, jak „sąsiaduje z”, „patrzy na”, „jest starsza od”, „zna”, „wita” itp. Zbiór tych wszystkich wyrażeń określonego języka, które pozwalają się wzajemnie zastępować w dowolnym zdaniu owego języka, dając w efekcie zdanie tego języka, nazywamy kategorią gramatyczną danego języka. Zatem zbiór obejmujący wyrażenia „Basia”, „Krysia”, „ojciec Marianny”, „najwyższy student pierwszego roku prawa” i inne z nimi wymienialne stanowi jedną kategorię gramatyczną analizowanego tu języka. Z kolei zbiór obejmujący wyrażenia „wita”, „zna”, „tańczy z”, „jest wyższy od” i inne z nimi wymienialne stanowi inną kategorię gramatyczną tego języka.

Kategorią gramatyczną tego języka jest więc np. zbiór obejmujący wszystkie jego terminy jednostkowe. Inną kategorią gramatyczną danego języka jest zbiór obejmujący wszystkie jego funktory jednoargumentowe. Jeszcze inną kategorią gramatyczną danego języka jest zbiór obejmujący wszystkie jego funktory dwuargumentowe. Kolejnymi kategoriami gramatycznymi danego języka są zbiory wszystkich jego funktorów trójargumentowych, predykatów jednoargumentowych, predykatów dwuargumentowych, spójników, kwantyfikatorów itd. Kategorią gramatyczną danego języka jest także zbiór obejmujący wszystkie jego zdania. Reguły ustalające kategorie gramatyczne kwalifikują właśnie poszczególne słowa oraz złożone wyrażenia danego języka jako elementy określonych jego kategorii gramatycznych.

Obok reguł ustalających kategorie gramatyczne drugą grupę reguł gramatycznych tworzą reguły ustalające sposób budowania wyrażeń złożonych z wyrażeń o określonych kategoriach gramatycznych. Reguły te ustalają sposób łączenia wyrażeń prostszych w wyrażenia bardziej złożone. Na przykład reguła, wedle której jest wyrażeniem danego języka sekwencja powstała po stosownym dołączeniu do funktora jednoargumentowego terminu jednostkowego, pozwala z wyrażeń „ojciec” i „Marianna” utworzyć wyrażenie „ojciec Marianny”. Ta sama reguła pozwala też tworzyć takie wyrażenia, jak „ojciec ojca Marianny”, „matka Marianny”, „matka Bogdana”, „ojciec matki Bogdana”, „matka ojca ojca ostatniego króla Polski” itp. Z kolei reguła, wedle której jest wyrażeniem danego języka sekwencja powstała po stosownym dołączeniu do predykatu dwuargumentowego dwóch terminów [130/131] jednostkowych, pozwala z wyrażeń „tańczy z”, „Basia” i „ojciec Marianny” utworzyć wyrażenie złożone „Basia tańczy z ojcem Marianny”. Ta sama reguła pozwala też tworzyć takie wyrażenia, jak „Piotr jest wyższy od Pawła”, „Poznań leży nad Wartą” oraz „Poznań leży nad Bałtykiem”. Reguły ustalające kategorie gramatyczne zaliczają wszystkie te wyrażenia do zbioru zdań. Jak już wskazano, reguły ustalające kategorie gramatyczne oraz reguły ustalające sposób budowania wyrażeń złożonych są regułami gramatycznymi. Z kolei reguły gramatyczne oraz reguły ustalające słownik tworzą łącznie reguły formowania. Wprawdzie przedmiotem naszych rozważań nie są pytania ani normy, ale warto na marginesie zauważyć, że są reguły formowania, które służą także do budowania wyrażeń tych rodzajów. Daje się bowiem wyróżnić kategoria gramatyczna operatorów pytajnych, do której należą takie wyrażenia, jak „dlaczego”, „czy”, „kiedy”, „jak” itp. Połączenie operatorów pytajnych ze zdaniami daje w efekcie pytania. Na przykład, zdanie „Basia tańczy z ojcem Marianny” w połączeniu z powyższymi operatorami pytajnymi daje pytania: „Dlaczego Basia tańczy z ojcem Marianny?”, „Czy Basia tańczy z ojcem Marianny?”, „Kiedy Basia tańczy z ojcem Marianny?”, „Jak Basia tańczy z ojcem Marianny?” itp. Można także wyróżnić kategorię gramatyczną operatorów normatywnych, do której należą takie wyrażenia, jak: „nakazuje się”, „niechaj”, „niech”, „zakazuje się”, itp. Połączenie operatorów normatywnych ze zdaniami o określonej budowie daje w efekcie normy. Na przykład, zdanie „Kasia w piątek myje korytarz” w połączeniu z operatorami normatywnymi daje normy: „Nakazuje się, aby Kasia w piątek myła korytarz”, „Niechaj Kasia w piątek myje korytarz”, „Niech Kasia w piątek myje korytarz”, „Zakazuje się, aby Kasia w piątek myła korytarz” itp.

2. Reguły dedukcyjne

Język w pierwszym rzędzie pełni rolę komunikacyjną. Stąd też kluczową rolę zajmują w nim zdania jako wyrażenia spełniające to zadanie w najwyższym stopniu. Reguły formowania każdego języka pozwalają budować rozmaite zdania, tak prawdziwe, jak [131/132] i fałszywe. Zarówno zdanie „Poznań leży nad Wartą”, jak i zdanie „Mieszko I został ochrzczony w 1000 r.” są zdaniami języka polskiego. Ograniczając się do zdań prawdziwych danego języka, skonstatujemy, że nie wszystkie z nich mają w nim ten sam status. Zauważmy, że zachodzi zasadnicza różnica między prawdziwym zdaniem „Poznań leży nad Wartą” a prawdziwym zdaniem „Każdy kawaler jest nieżonaty”. Inaczej potraktujemy bowiem osobę, która nie uznaje pierwszego z tych zdań, a inaczej osobę, która nie uznaje drugiego z nich. Kto nie uznaje pierwszego zdania, ten po prostu wykazuje luki w wiedzy geograficznej. Powiemy o nim, że wprawdzie zna on język polski_v ale nie zna geografii Polski. Kto natomiast nie uznaje drugiego z tych zdań, ten wykazuje nieznajomość języka polskiego. Powiemy o nim, że nie zna on należycie tego języka.

Ten odmienny status rozmaitych zdań prawdziwych danego języka jest spowodowany oddziaływaniem określonych reguł konstytuujących ów język. Zróżnicowania tego nie wprowadzają jednak reguły formowania, które w ogóle nie nawiązują do wartości logicznej budowanych wedle nich zdań. Wskazuje to więc, że obok reguł formowania każdy język konstytuują jeszcze i takie reguły, które wyróżniają pewne jego zdania jako zdania prawdziwe. Zdanie tak wyróżnione jest prawdziwe nie dlatego, że trafnie opisuje rzeczywistość, ale dlatego właśnie, że zostało wyróżnione przez stosowną regułę. O ile zdanie „Poznań leży nad Wartą” jest prawdziwe, gdyż trafnie opisuje nadwarciańskie położenie Poznania, o tyle zdanie „Każdy kawaler jest nieżonaty” jest prawdziwe, ponieważ stosowna reguła wyróżnia je jako prawdziwe. Obliguje to osoby posługujące się językiem polskim do takiego pojmowania cechy bycia kawalerem i cechy bycia nieżonatym, przy którym pierwszą z nich orzeka się tylko o takich podmiotach, o których daje się orzec drugą z tych cech. Reguły wyróżniające pewne zdania określonego języka jako zdania prawdziwe nazywamy regułami dedukcyjnymi. Same zaś tak wyróżnione zdania nazywamy tezami danego języka.

Reguły dedukcyjne danego języka dzielą się na reguły aksjomatyczne i reguły inferencyjne. Reguły aksjomatyczne wyróżniają pewne zdania jako prawdziwe niezależnie od wartości logicznej jakichkolwiek innych zdań. Przypuśćmy, że język polski konstytuuje reguła aksjomatyczna, wedle której każde zdanie powstałe z wyrażenia „jeżeli x jest starszy od y, to y jest młodszy [132/133] od x” przez wstawienie w miejsce zmiennych dowolnych terminów jednostkowych jest tezą języka polskiego. Zatem tezami tego języka są na przykład zdania: „Jeżeli Bolek jest starszy od Lolka, to Lolek jest młodszy od Bolka”, „Jeżeli Poznań jest starszy od Łodzi, to Łódź jest młodsza od Poznania”, „Jeżeli Zamek na Wawelu jest starszy od Pałacu w Rogalinie, to Pałac w Rogalinie jest młodszy od Zamku na Wawelu”. Jak widać, jedna reguła aksjomatyczna może wyznaczać wiele tez. Przypuśćmy, że język polski konstytuuje też reguła aksjomatyczna, wedle której zdanie powstałe z wyrażenia „jeżeli x jest starszy od y oraz y jest starszy od z, to z jest młodszy od x” przez wstawienie w miejsce zmiennych dowolnych terminów jednostkowych jest tezą języka polskiego. Przeto tezami tego języka są na przykład zdania „Jeżeli Robert jest starszy od Janki oraz Janka jest starsza od Bożenki, to Bożenka jest młodsza od Roberta” i „Jeżeli Kalisz jest starszy od Poznania oraz Poznań jest starszy od Śremu, to Śrem jest młodszy od Kalisza”. Zdania wyróżnione jako tezy przez reguły aksjomatyczne nazywamy aksjomatami danego języka. Zatem wszystkie podane wyżej przykłady tez byłyby aksjomatami języka polskiego.

Z kolei reguły inferencyjne wyróżniają pewne zdania jako prawdziwe pod warunkiem, że wyróżnione są jako prawdziwe określone inne zdania danego języka. Reguła inferencyjna stanowi więc, że jeśli takie a takie zdania są tezami danego języka, to i takie a takie zdanie jest tezą tego języka. Przypuśćmy, że język polski konstytuuje reguła inferencyjna, wedle której tezą jest zdanie powstałe przez wstawienie predykatu „zaistnieć wcześniej niż” w miejsce predykatu „być starszym od” występującego w tezie języka polskiego. Skoro więc zdanie „Jeżeli Bolek jest starszy od Lolka, to Lolek jest młodszy od Bolka” jest tezą języka polskiego, to - na podstawie powyższej reguły - tezą tego języka jest też zdanie „Jeżeli Bolek zaistniał wcześniej niż Lolek, to Lolek jest młodszy od Bolka”. Podobnie, skoro tezą języka polskiego jest zdanie „Jeżeli Kalisz jest starszy od Poznania oraz Poznań jest starszy od Śremu, to Śrem jest młodszy od Kalisza”, to - na podstawie powyższej reguły - tezą tego języka jest też zdanie „Jeżeli Kalisz zaistniał wcześniej od Poznania oraz Poznań jest starszy od Śremu, to Śrem jest młodszy od Kalisza. Skoro zaś to zdanie jest tezą języka polskiego, to - na podstawie powyższej reguły - jego tezą jest też zdanie „Jeżeli Kalisz zaistniał wcześniej [133/134] niż Poznań oraz Poznań zaistniał wcześniej niż Śrem, to Śrem jest młodszy od Kalisza”.

Przypuśćmy, że język polski konstytuuje także reguła inferencyjną, wedle której jego tezą jest zdanie powstałe przez wstawienie predykatu „zaistnieć później niż” w miejsce predykatu „być młodszym od” występującego w tezie języka polskiego. Skoro więc zdanie „Jeżeli Bolek jest starszy od Lolka, to Lolek jest młodszy od Bolka” jest tezą języka polskiego, to - na podstawie powyższej reguły - tezą tego języka jest też zdanie „Jeżeli Bolek jest starszy od Lolka, to Lolek zaistniał później niż Bolek”. Skoro zaś tezami języka polskiego są zdania podane wyżej, to - na podstawie powyższej reguły - jego tezami są również zdania „Jeżeli Bolek zaistniał wcześniej niż Lolek, to Lolek zaistniał później niż Bolek”, „Jeżeli Kalisz jest starszy od Poznania oraz Poznań jest starszy od Śremu, to Śrem zaistniał później niż Kalisz”, „Jeżeli Kalisz zaistniał wcześniej niż Poznań oraz Poznań jest starszy od Śremu, to Śrem zaistniał później niż Kalisz” itd.

Zdanie zakwalifikowane jako teza w wyniku jednokrotnego zastosowania jednej reguły inferencyjnej do określonej tezy stanowi bezpośrednią konsekwencję inferencyjną danej tezy. Zdanie zakwalifikowane jako teza w wyniku wielokrotnego zastosowania jednej reguły inferencyjnej lub zastosowania wielu reguł inferencyjnych do określonej tezy stanowi pośrednią konsekwencję inferencyjną danej tezy. Bezpośrednie oraz pośrednie konsekwencje inferencyjne danej tezy są konsekwencjami inferencyjnymi danej tezy.

Rozważmy sekwencję zdań: „Jeżeli Kalisz jest starszy od Poznania oraz Poznań jest starszy od Śremu, to Śrem jest młodszy od Kalisza”, „Jeżeli Kalisz zaistniał wcześniej niż Poznań oraz Poznań jest starszy od Śremu, to Śrem jest młodszy od Kalisza”, „Jeżeli Kalisz zaistniał wcześniej niż Poznań oraz Poznań zaistniał wcześniej niż Śrem, to Śrem jest młodszy od Kalisza”, „Jeżeli Kalisz zaistniał wcześniej niż Poznań oraz Poznań zaistniał wcześniej niż Śrem, to Śrem zaistniał później niż Kalisz”. Przyjęliśmy, że wszystkie te zdania są tezami języka polskiego. Na gruncie sformułowanych tu reguł dedukcyjnych pierwsze z nich jest aksjomatem tego języka. Drugie zdanie jest bezpośrednią konsekwencją inferencyjną pierwszego. Trzecie zdanie jest bezpośrednią konsekwencją inferencyjną drugiego oraz pośrednią konsekwencją inferencyjną pierwszego. Czwarte [134/135] zdanie jest bezpośrednią konsekwencją inferencyjną trzeciego oraz pośrednią konsekwencją inferencyjną pierwszego i drugiego. Drugie, trzecie i czwarte zdania są więc konsekwencjami inferencyjnymi pierwszego. Z kolei trzecie i czwarte zdania są konsekwencjami inferencyjnymi drugiego. Wreszcie czwarte zdanie jest konsekwencją inferencyjną trzeciego, bo jest jego bezpośrednią konsekwencją inferencyjną.

Rozważmy teraz zdanie „Marcin jest studentem pierwszego roku prawa lub nie jest tak, że Marcin jest studentem pierwszego roku prawa”. Zdanie to jest tezą języka polskiego. Przeto język polski konstytuuje reguła dedukcyjna kwalifikująca owo zdanie jako jego tezę. Porównując je z tezą „Każdy kawaler jest nieżonaty”, dostrzegamy między nimi pewną różnicę. Zdanie „Każda dziewczyna jest blondynką” zbudowane tak, jak druga z porównywanych tu tez, nie jest tezą języka polskiego, bo nawet nie jest zdaniem prawdziwym. Tedy nie wszystkie zdania o budowie analogicznej ze zdaniem „Każdy kawaler jest nieżonaty” są tezami języka polskiego. Natomiast zdania „Zosia idzie na wykład lub nie jest tak, że Zosia idzie na wykład”, „Ryby umieją fruwać lub nie jest tak, że ryby umieją fruwać” oraz „Bitwa pod Grunwaldem była w 1410 r. lub nie jest tak, że bitwa pod Grunwaldem była w 1410 r. ” zbudowane tak, jak pierwsza z porównywanych tu tez, są tezami języka polskiego. Wskazuje to, że wszystkie zdania o budowie analogicznej z budową zdania „Marcin jest studentem pierwszego roku prawa lub nie jest tak, że Marcin jest studentem pierwszego roku prawa” są tezami języka polskiego. Łatwo zauważyć, że wszystkie te zdania powstają z zasady wyłączonego środka „p ლ ~ p” przez wstawienie za zmienną „p” określonych zdań. Zatem rzeczona reguła dedukcyjna kwalifikuje wszystkie zdania powstałe z zasady wyłączonego środka jako tezy języka polskiego. Zauważmy, że także zdania powstałe z innych tez rachunku zdań lub tez rachunku predykatów są tezami języka polskiego. Na przykład, zdanie „Jeżeli Poznań jest miastem, to Poznań jest miastem lub Francja jest rzeką” powstałe z prawa addycji „p → (p ლ q)” jest tezą języka polskiego. Podobnie zdanie „Jeżeli każdy student pierwszego roku prawa zdał maturę, to pewien student pierwszego roku prawa zdał maturę” powstałe z prawa zastępowania dużego kwantyfikatora przez mały kwantyfikator „/\_x(A) → \/_x (A)” też [135/136] jest tezą języka polskiego. Rzeczona reguła dedukcyjna kwalifikuje więc wszystkie zdania powstałe z tez rachunku zdań oraz tez rachunku predykatów jako tezy języka polskiego. Zauważmy przy tym, że owe zdania są kwalifikowane jako tezy niezależnie od tego, czy tezami są jakiekolwiek inne zdania. Przeto owa reguła kwalifikuje wszystkie te zdania jako aksjomaty języka polskiego.

Zdania powstałe z tez rachunku zdań oraz tez rachunku predykatów nazywamy tautologiami. Ogół aksjomatów określonego języka dzieli się na tautologie i aksjomaty nie będące tautologiami. Na przykład, zdanie „Marcin jest studentem pierwszego roku prawa lub nie jest tak, że Marcin jest studentem pierwszego roku prawa jest tautologią. Natomiast zdanie „Każdy kawaler jest nieżonaty” jest aksjomatem języka polskiego nie będącym tautologią. Aksjomaty danego języka wespół z ich konsekwencjami inferencyjnymi tworzą ogół tez tego języka. Wyznaczające te tezy reguły dedukcyjne wraz z regułami formowania stanowią reguły składniowe danego języka.

Zaprzeczenia tez danego języka nazywamy kontrtezami danego języka. Z kolei zaprzeczenia tautologii nazywamy kontrtautologiami. Na przykład, zdanie „Nie jest tak, że każdy kawaler jest nieżonaty” jest kontrtezą języka polskiego, gdyż jest zaprzeczeniem jego tezy. Zdanie „Nie jest tak, że (Marcin jest studentem pierwszego roku prawa lub nie jest tak, że Marcin jest studentem pierwszego roku prawa) ” jest zaś kontrtautologią, gdyż jest zaprzeczeniem tautologii. Oczywiście jako zaprzeczenia zdań prawdziwych wszystkie kontrtezy danego języka są zdaniami fałszywymi.

3. Reguły semantyczne

Kto zna reguły składniowe danego języka, ten potrafi budować wyrażenia złożone, a w szczególności zdania, oraz potrafi wyróżnić tezy owego języka, a więc również jego kontrtezy. Nie wie jednak, co zbudowane przez niego zdania komunikują, gdyż nie wie, do czego odnoszą się występujące w nich wyrażenia składowe. Język ukonstytuowany jedynie przez reguły składniowe [136/137] stanowi tak zwany czysty rachunek, który wymaga dopiero stosownego zinterpretowania. Dokonują tego konstytuujące go reguły semantyczne, które dzielą się na reguły odniesienia przedmiotowego i reguły prawdziwościowe.

Reguły odniesienia przedmiotowego dzielą się z kolei na reguły ustalające uniwersum danego języka oraz reguły denotowania. Zauważmy więc, że każdy język odnosi się do pewnego zbioru obiektów, których właściwości i wzajemne powiązania opisuje. Zbiór ten nazywamy uniwersum danego języka. Wyznacza go reguła - niekiedy kilka uzupełniających się reguł - zwana regułą ustalającą uniwersum tego języka. Na przykład, język arytmetyki ma służyć do opisywania właściwości liczb i zachodzących między nimi związków. Uniwersum tego języka stanowi więc zbiór liczb wyznaczonych przez konstytuującą ów język regułę omawianego tu typu. Gdybyśmy skonstruowali język służący wyłącznie do opisu studentów pierwszego roku prawa, to reguła ustalająca jego uniwersum wskazałaby właśnie zbiór składający się z tych osób. Dokładne sprecyzowanie uniwersum języka polskiego prowadzi do rozmaitych komplikacji, o czym będzie jeszcze mowa w ostatnim punkcie tego rozdziału. Dla celów dydaktycznych przyjmijmy, że jego uniwersum stanowi zbiór wszystkich przedmiotów materialnych.

Gdy już dane jest uniwersum języka, to jego reguły denotowania przyporządkowują poszczególnym wyrażeniom określone obiekty, czyli wskazują, co poszczególne wyrażenia oznaczają. I tak, terminom jednostkowym przyporządkowane zostają przedmioty indywidualne, funktorom jednoargumentowym funkcje jednoargumentowe, funktorom dwuargumentowym funkcje dwuargumentowe, predykatom jednoargumentowym cechy, predykatom dwuargumentowym relacje dwuczłonowe itd. Na przykład język polski konstytuuje reguła denotowania przyporządkowująca imieniu własnemu „Poznań” miasto, w którym Ty, czytelniku, studiujesz prawo. Inna reguła denotowania języka polskiego przyporządkowuje imieniu własnemu „Warta” rzekę, którą można zobaczyć, idąc od centrum tego miasta w kierunku Rataj. Jeszcze inna reguła denotowania przyporządkowuje funktorowi „ojciec” funkcję bycia ojcem. Kolejna reguła denotowania przyporządkowuje predykatowi „być studentem pierwszego roku prawa” cechę bycia studentem pierwszego roku prawa posiadaną przez niemal każdego czytelnika niniejszej książki. Pośród [137/138] reguł denotowania języka polskiego jest i taka reguła, która predykatowi „być wyższym od” przyporządkowuje relację zachodzącą między dwoma obiektami wtedy, gdy pierwszy z nich jest wyższy od drugiego.

Zauważmy, że nie jest konieczne przyporządkowanie każdemu terminowi jednostkowemu określonego przedmiotu indywidualnego przez odrębną regułę denotowania. Wystarczy, że przyporządkowanie takie jest przeprowadzone dla każdego imienia własnego. Deskrypcjom określone przedmioty indywidualne zostają przyporządkowane przez reguły denotowania dla stosownych imion własnych i funktorów. Na przykład, denotację terminu jednostkowego „ojciec Adama Mickiewicza” wyznaczają reguły denotowania imienia własnego „Adam Mickiewicz” i reguła denotowania funktora „ojciec”. Podobnie, denotację deskrypcji „stolica Polski” wyznaczają reguła denotowania imienia własnego „Polska i reguła denotowania funktora „stolica”. Przypomnijmy też, że funkcje są szczególnego typu relacjami. Przeto reguły denotowania przyporządkowują zarówno funktorom, jak i predykatom określone relacje, z tym że funktorom przyporządkowują relacje szczególnego rodzaju, a mianowicie funkcje.

Obok reguł odniesienia przedmiotowego drugą grupę reguł semantycznych tworzą reguły prawdziwościowe. Określają one warunki, pod jakimi poszczególne zdania danego języka są zdaniami prawdziwymi. Na przykład, język polski konstytuuje reguła prawdziwościowa, wedle której zdanie atomowe postaci „P(a)” jest prawdziwe tylko wtedy, gdy obiekt oznaczony imieniem własnym „a” posiada cechę stanowiącą denotację predykatu „P”. Na podstawie tej reguły zdanie „Marcin jest studentem pierwszego roku prawa” jest prawdziwe, gdy przedmiot oznaczony imieniem własnym „Marcin” posiada cechę bycia studentem pierwszego roku prawa. Język polski konstytuuje też reguła prawdziwościowa, wedle której zdanie atomowe postaci P(a,b)” jest prawdziwe wtedy, gdy między przedmiotami oznaczonymi przez terminy jednostkowe „a” oraz „b” zachodzi relacja będąca denotacją dwuargumentowego predykatu „P”. Na podstawie tej reguły prawdziwe jest zdanie „Poznań leży nad Wartą”, gdyż między obiektami oznaczonymi terminami jednostkowymi „Poznań” oraz „Warta” zachodzi relacja stanowiąca denotację predykatu „leżeć nad”. Ta sama reguła prawdziwościowa nie [138/139] pozwala zakwalifikować jako prawdziwego zdania „Warszawa jest starsza od Krakowa”, gdyż między obiektem oznaczonym przez termin jednostkowy „Warszawa” a obiektem oznaczonym przez termin jednostkowy „Kraków” nie zachodzi relacja będąca denotacją predykatu „być starszym od”.

Na szczególną uwagę zasługują reguły prawdziwościowe odnoszące się do zdań zawierających kwantyfikatory. Gdyby przyjąć, jak to uczyniliśmy wyżej, że uniwersum języka polskiego stanowi zbiór obiektów materialnych, to język ten konstytuowałaby reguła prawdziwościowa, wedle której zdanie postaci „/\_x[P(x)]” jest prawdziwe wtedy, gdy cecha denotowana przez jednoargumentowy predykat „P” przysługuje każdemu elementowi uniwersum, czyli każdemu obiektowi materialnemu. Na jej podstawie byłoby więc prawdziwe zdanie „/\_x(x zajmuje pewną część przestrzeni)”, gdy każdy obiekt materialny ma cechę zajmowania pewnej części przestrzeni. Zdanie to byłoby też prawdziwe w języku, którego uniwersum stanowiłby zbiór studentów pierwszego roku prawa, ponieważ każdy element tego zbioru również zajmuje pewną część przestrzeni. Natomiast zdanie „/\_x(x zdał maturę)” byłoby prawdziwe w drugim z tych języków, bo każdy student pierwszego roku prawa zdał maturę, ale fałszywe jest w języku polskim, bo nie każdy obiekt materialny przeszedł egzamin dojrzałości. Język polski konstytuuje też reguła prawdziwościowa, wedle której zdanie postaci „/\_x /\_y[P(x,y)]” jest prawdziwe wtedy, gdy między wszelkimi dwoma elementami uniwersum, czyli obiektami materialnymi, zachodzi relacja denotowana przez dwuargumentowy predykat „P”. Na jej podstawie prawdziwe jest zdanie „/\_x/\_y(x grawituje ku y)”, bo - jak wiadomo - wszelkie dwa obiekty materialne grawitują ku sobie. Natomiast reguła ta nie pozwala zakwalifikować jako prawdziwego zdania „/\_x/\_y(x zna y)” bo nie jest tak, że między dwoma dowolnymi obiektami materialnymi zachodzi relacja znania. Zauważmy, że reguły prawdziwościowe dla zdań złożonych zawierających spójniki są ukryte w matrycach dla tychże spójników. Skoro wedle matrycy negacji zdanie będące negacją jest prawdziwe, gdy jego argument jest fałszywy, to wskazuje to, że [139/140] określona reguła prawdziwościowa uzależnia prawdziwość takiego zdania od fałszywości jego argumentu. Podobnie, w matrycy koniunkcji ukryta jest reguła prawdziwościowa kwalifikująca jako prawdziwe te zdania będące koniunkcjami, których oba czynniki są prawdziwe. Zauważmy też, że zbędne byłyby odrębne reguły prawdziwościowe dla zdań z małym kwantyfikatorem. Ponieważ zdania tego rodzaju są równoważne stosownym negacjom zdań z dużym kwantyfikatorem, dlatego o ich prawdziwości przesądzają reguły prawdziwościowe dla zdań z dużym kwantyfikatorem oraz reguły prawdziwościowe dla zdań będących negacjami.

Jak widać, każdy język konstytuuje wiele różnych rodzajów reguł. Ujmuje je następujące zestawienie:

4. Równoznaczność wyrażeń

Reguły językowe, a ściślej mówiąc, reguły dedukcyjne, przesądzają też o równoznaczności wyrażeń danego języka. Określmy najpierw równoznaczność zdań. Otóż, zdanie Z₁ danego języka jest równoznaczne ze zdaniem Z₂ tego języka wtedy, gdy tezą owego języka jest implikacja, której poprzednik stanowi zdanie Z₁, a następnik stanowi zdanie Z₂, oraz tezą owego języka jest [140/141] implikacja, której poprzednik stanowi zdanie Z₂, a następnik stanowi zdanie Z₁. Innymi słowy, dwa zdania Z₁ i Z₂ danego języka są równoznaczne, gdy zdania postaci „Z₁ → Z₂ oraz „Z₂ → Z₁” są tezami tego języka.

Jako przykład niech posłużą zdania „Kasia idzie na wykład i Zosia idzie na wykład” oraz „Zosia idzie na wykład i Kasia idzie na wykład”, które są równoznaczne w języku polskim. Aby to wykazać, zauważmy, że pierwsze z tych zdań ma postać „p კ q”, zaś drugie z nich ma postać „q კ p”. Wyrażenia „(p კ q) → (q კ p)” oraz „(q კ p) → (p კ q)” są tezami rachunku zdań. Zatem powstałe z nich zdania „Jeśli Kasia idzie na wykład i Zosia idzie na wykład, to Zosia idzie na wykład i Kasia idzie na wykład” oraz „Jeśli Zosia idzie na wykład i Kasia idzie na wykład, to Kasia idzie na wykład i Zosia idzie na wykład” są tezami języka polskiego. Przesądza to o równoznaczności omawianych tu zdań. Z kolei zdanie „Istnieje taki x, że x jest studentem i x jest sportowcem” jest równoznaczne w języku polskim ze zdaniem „Istnieje taki x, że x jest sportowcem i x jest studentem”. Zauważmy bowiem, że pierwsze z tych zdań ma postać „V(A კ B)”, zaś drugie z nich ma postać „\/_x(B კ A) ”. Wyrażenia „\/_x(A კ B) → \/_x(B კ A)” oraz „\/_x(B კ A) → \/_x(A კ B)” są tezami rachunku predykatów. Stąd też powstałe z nich zdania „Jeżeli istnieje taki x, że x jest studentem i x jest sportowcem, to istnieje taki x, że x jest sportowcem i x jest studentem” oraz „Jeżeli istnieje taki x, że x jest sportowcem ł x jest studentem, to istnieje taki x, że x jest studentem i x jest sportowcem” są tezami języka polskiego. Przesądza to o równoznaczności omawianych tu zdań. Także zdanie „Jarocin jest większy od Śremu” jest równoznaczne w języku polskim ze zdaniem „Śrem jest mniejszy od Jarocina”, bo zdania „Jeśli Jarocin jest większy od Śremu, to Śrem jest mniejszy od Jarocina” oraz „Jeśli Śrem jest mniejszy od Jarocina, to Jarocin jest większy od Śremu” są tezami języka polskiego.

Równoznaczność innych, niezdaniowych wyrażeń uzależniona jest od równoznaczności zawierających je zdań. Otóż niezdaniowe wyrażenie W₁ jest równoznaczne w danym języku z niezdaniowym wyrażeniem W₂ wtedy, gdy wszelkie dwa zdania tego języka tym się tylko różniące, że w jednym z nich występuje wyrażenie W_l, a w drugim występuje wyrażenie W₂, są równoznaczne. [141/142] Innymi słowy, dwa niezdaniowe wyrażenia są równoznaczne, gdy każda para zdań różniących się tylko tymi dwoma wyrażeniami, a identycznych w pozostałych swych fragmentach, jest parą zdań równoznacznych. Przeto dwa nie będące zdaniami wyrażenia nie są w danym języku równoznaczne, gdy w języku tym istnieje chociażby jedna para zdań, które różnią się między sobą tylko owymi wyrażeniami, a jednak nie są równoznaczne. Jak widać, na gruncie powyższego ujęcia równo-znaczność wyrażeń niezdaniowych wyznaczona jest przez równoznaczność zawierających je zdań.

Jako przykład niech posłuży wyrażenie „ojciec”, które jest w języku polskim równoznaczne z wyrażeniem „bezpośredni męski ascendent”. Dwa zdania „Wojtek jest ojcem Stasia” i „Wojtek jest bezpośrednim męskim ascendentem Stasia”, różniące się tylko omawianymi tu wyrażeniami, są równoznaczne. A są one równoznaczne, bo tezami języka polskiego są zdania „Jeżeli Wojtek jest ojcem Stasia, to Wojtek jest bezpośrednim męskim ascendentem Stasia” oraz „Jeżeli Wojtek jest bezpośrednim męskim ascendentem Stasia, to Wojtek jest ojcem Stasia”. Równoznaczne są też zdania „Ojciec najszybszego studenta pierwszego roku prawa lubi zbierać grzyby” i „Bezpośredni męski ascendent najszybszego studenta pierwszego roku prawa lubi zbierać grzyby”. Równoznaczne są także zdania „Ewelina wie, kto był ojcem Adama Mickiewicza” oraz „Ewelina wie, kto był bezpośrednim męskim ascendentem Adama Mickiewicza”. Słowem, wszelkie dwa zdania języka polskiego, różniące się tylko tym, że w jednym z nich występuje wyrażenie „ojciec”, a w drugim występuje wyrażenie „bezpośredni męski ascendent”, są równoznaczne. Przeto zgodnie z przyjętym tu określeniem równoznaczności owe dwa wyrażenia są równoznaczne.

Podobnie, wyrażenie „być studentem” jest równoznaczne w języku polskim z wyrażeniem „być uczniem szkoły wyższej”. Zdania „Marcin jest studentem” oraz „Marcin jest uczniem szkoły wyższej” różniące się tylko analizowanymi tu wyrażeniami, a identyczne w pozostałych swych fragmentach, są równoznaczne. Także zdania „Każdy, kto jest studentem, ma indeks” oraz „Każdy, kto jest uczniem szkoły wyższej, ma indeks” są równoznaczne. Również zdania „Kto nie zdał uprzednio matury, ten nie jest studentem” oraz „Kto nie zdał uprzednio matury, ten nie jest uczniem szkoły wyższej” są równoznaczne. Słowem, wszelkie dwa zdania języka polskiego, różniące się tylko tym, że [142/143] w jednym z nich występuje wyrażenie „być studentem”, zaś w drugim występuje wyrażenie „być uczniem szkoły wyższej”, a identyczne w pozostałych swych fragmentach, są równoznaczne. Zatem owe wyrażenia też są równoznaczne.

Także wyrażenia „ważyć więcej niż” oraz „być cięższym od” są w języku polskim równoznaczne. Zdania „Edek waży więcej niż Bożenka” oraz „Edek jest cięższy od Bożenki” są równoznaczne. Również zdania „Nikt nie waży więcej niż mistrzowie sumo” oraz „Nikt nie jest cięższy od mistrzów sumo” są równoznaczne. Podobnie, zdania „Jeśli Krzyś będzie zjadał podwójny obiad, to Krzyś będzie ważył więcej niż jego starszy brat” oraz „Jeśli Krzyś będzie zjadał podwójny obiad, to Krzyś będzie cięższy od swego starszego brata” są równoznaczne. A więc wszelkie dwa zdania języka polskiego, różniące się tylko tym, że w jednym z nich występuje wyrażenie „ważyć więcej niż”, zaś w drugim występuje wyrażenie „być cięższym od”, są równoznaczne. Przeto owe dwa wyrażenia też są równoznaczne.

Natomiast wyrażenia „macocha” oraz „żona ojca” nie są w języku polskim równoznaczne. Świadczą już o tym zdania „Królowa Bona była żoną ojca Zygmunta Augusta” oraz „Królowa Bona była macochą Zygmunta Augusta”, które różnią się tylko owymi wyrażeniami, a jednak nie są równoznaczne, bo nawet nie mają tej samej wartości logicznej. Również wyrażenia „patrzeć na” oraz „myśleć o” nie są równoznaczne w języku polskim. Przekonują o tym chociażby zdania „Franek patrzy na góry” i „Franek myśli o górach”, które nie są równoznaczne.

5. Znaczenie wyrażeń

Łatwo zauważyć, że równoznaczność jest relacją zachodzącą między wyrażeniami określonego języka. Unaocznimy, że relacja ta jest w zbiorze wyrażeń danego języka zwrotna, symetryczna i przechodnia. Przypomnijmy więc, że tautologie są tezami w poszczególnych językach. Zauważmy też, że jedną z reguł dedukcyjnych poszczególnych języków jest reguła stanowiąca, iż jeśli zdanie postaci „Z₁ → Z₂” oraz zdanie postaci „Z₁” są tezami danego języka, to również zdanie postaci „Z₂” jest tezą [143/144] tego języka. Zwrotność, symetryczność i przechodniość relacji równoznaczności unaocznimy na przykładzie języka polskiego.

Zacznijmy od zwrotności tejże relacji. Należy więc przypomnieć, że wyrażenie „p → p” jest tezą rachunku zdań. Przeto zdanie „Jeśli Poznań leży nad Wartą, to Poznań leży nad Wartą” jest tezą języka polskiego. Zatem na gruncie przyjętego tu określenia równoznaczności zdań zdanie „Poznań leży nad Wartą” jest równoznaczne z samym sobą. Rozumując podobnie, można wykazać, że każde inne zdanie języka polskiego jest równoznaczne z samym sobą. Weźmy teraz dowolne niezdaniowe wyrażenie języka polskiego, na przykład wyrażenie „leżeć nad”. Dwa zdania zawierające to wyrażenie, a identyczne w pozostałych swych fragmentach, są ze sobą w całości identyczne. Nie różnią się one bowiem w tym fragmencie, który stanowi wyrażenie „leżeć nad” i nie różnią się w pozostałych swych fragmentach. Ponieważ każde zdanie jest równoznaczne z samym sobą, dlatego i te dwa zdania - jako z sobą identyczne - też są równoznaczne. Z tego samego powodu równoznaczne są także wszelkie inne dwa zdania zawierające wyrażenie „leżeć nad”, a identyczne w pozostałych swych fragmentach. Zatem na gruncie przyjętego tu określenia równoznaczności wyrażeń niezdaniowych wyrażenie „leżeć nad” jest równoznaczne z samym sobą. Rozumując podobnie, można wykazać, że każde inne niezdaniowe wyrażenie języka polskiego jest równoznaczne z samym sobą. Ponieważ każde zdanie języka polskiego jest równoznaczne z samym sobą i każde niezdaniowe wyrażenie jest równoznaczne z samym sobą, dlatego relacja równoznaczności jest zwrotna w zbiorze wyrażeń tego języka.

Unaocznimy teraz symetryczność relacji równoznaczności. Jak wiadomo, zdanie „Joasia jest wyższa od Basi” jest równoznaczne w języku polskim ze zdaniem „Basia jest niższa od Joasi”. Przeto tezami języka polskiego są zdania „Jeśli Joasia jest wyższa od Basi, to Basia jest niższa od Joasi” oraz „Jeśli Basia jest niższa od Joasi, to Joasia jest wyższa od Basi”. Zgodnie tedy z przyjętym tu określeniem równoznaczności zdań także zdanie „Basia jest niższa od Joasi” jest równoznaczne ze zdaniem „Joasia jest wyższa od Basi”. Rozumując podobnie, można wykazać, że między wszelkimi innymi dwoma zdaniami języka polskiego zachodzi taka zależność, że pierwsze z nich jest równoznaczne z drugim wtedy, gdy drugie jest równoznaczne z pierwszym. Przechodząc do wyrażeń niezdanłowych, zauważmy, że [144/145] wyrażenie „ojciec” jest równoznaczne w języku polskim z wyrażeniem „bezpośredni męski ascendent”. Wskazuje to, iż dowolne dwa zdania języka polskiego różniące się tylko owymi wyrażeniami są równoznaczne. Zgodnie tedy z przyjętym tu określeniem równoznaczności wyrażeń niezdaniowych także wyrażenie „bezpośredni męski ascendent” jest równoznaczne z wyrażeniem „ojciec”. Rozumując podobnie, możemy wykazać, że między wszelkimi innymi dwoma niezdaniowymi wyrażeniami języka polskiego zachodzi taka zależność, że pierwsze z nich jest równoznaczne z drugim wtedy tylko, gdy drugie jest równoznaczne z pierwszym. Ponieważ równoznaczność jednego zdania z drugim zdaniem języka polskiego przesądza o równoznaczności drugiego z pierwszym oraz równoznaczność jednego niezdaniowego wyrażenia z drugim niezdaniowym wyrażeniem języka polskiego przesądza o równoznaczności drugiego z pierwszym, dlatego relacja równoznaczności jest symetryczna w zbiorze wyrażeń tego języka.

Obecnie unaocznimy przechodniość relacji równoznaczności. Zacznijmy od równoznaczności zdań. Jak wiadomo, zdanie „Kalisz jest starszy od Poznania” jest równoznaczne w języku polskim ze zdaniem „Poznań jest młodszy od Kalisza”. Tezami tego języka są więc zdania „Jeśli Kalisz jest starszy od Poznania, to Poznań jest młodszy od Kalisza” oraz „Jeśli Poznań jest młodszy od Kalisza, to Kalisz jest starszy od Poznania”. Z kolei zdanie „Poznań jest młodszy od Kalisza” jest równoznaczne w języku polskim ze zdaniem „Poznań zaistniał później niż Kalisz”. Tezami tego języka są więc zdania „Jeśli Poznań jest młodszy od Kalisza, to Poznań zaistniał później niż Kalisz” oraz „Jeśli Poznań zaistniał później niż Kalisz, to Poznań jest młodszy od Kalisza”. Przypomnijmy, że wyrażenie „(p → q) → [(q → r) → (p → r)]” jest tezą rachunku zdań. Przeto zdania „Jeżeli (jeśli Kalisz jest starszy od Poznania, to Poznań jest młodszy od Kalisza), to [jeżeli (jeśli Poznań jest młodszy od Kalisza, to Poznań zaistniał później niż Kalisz), to (jeśli Kalisz jest starszy od Poznania, to Poznań zaistniał później niż Kalisz) ” oraz „Jeżeli (jeśli Poznań zaistniał później niż Kalisz, to Poznań jest młodszy od Kalisza), to [jeżeli (jeśli Poznań jest młodszy od Kalisza, to Kalisz jest starszy od Poznania), to (jeśli Poznań zaistniał później niż Kalisz, to Kalisz jest starszy od Poznania)]” są tezami języka polskiego. Na podstawie wskazanej uprzednio [145/146] reguły inferencyjnej tezami tego języka są więc również zdania „Jeżeli (jeśli Poznań jest młodszy od Kalisza, to Poznań zaistniał później niż Kalisz), to (jeśli Kalisz jest starszy od Poznania, to Poznań zaistniał później niż Kalisz)” oraz „Jeżeli (jeśli Poznań jest młodszy od Kalisza, to Kalisz jest starszy od Poznania), to (jeśli Poznań zaistniał później niż Kalisz, to Kalisz jest starszy od Poznania) ”. Zatem - na podstawie tej samej reguły inferencyjnej - tezami języka polskiego są również zdania „Jeśli Kalisz jest starszy od Poznania, to Poznań zaistniał później niż Kalisz” oraz „Jeśli Poznań zaistniał później niż Kalisz, to Kalisz jest starszy od Poznania”. Przeto na gruncie przyjętego tu określenia równoznaczności zdań zdanie „Kalisz jest starszy od Poznania” jest równoznaczne w języku polskim ze zdaniem „Poznań zaistniał później niż Kalisz”. Rozumując podobnie, można wykazać, że miedzy wszelkimi trzema zdaniami języka polskiego zachodzi taka zależność, że gdy pierwsze z nich jest równoznaczne z drugim, a drugie z trzecim, to i pierwsze jest równoznaczne z trzecim.

Przechodząc do wyrażeń niezdaniowych, zauważmy, że wyrażenie „być teściową” jest równoznaczne w języku polskim z wyrażeniem „być matką małżonki”, które z kolei jest w tym języku równoznaczne z wyrażeniem „być bezpośrednią żeńską ascendentką małżonki”. Rozważmy dwa zdania „Grażyna jest teściową Wiesia” oraz „Grażyna jest bezpośrednią żeńską ascendentką małżonki Wiesia”. Ponieważ wyrażenie „być teściową” jest równoznaczne z wyrażeniem „być matką małżonki”, dlatego zdanie „Grażyna jest teściową Wiesia” jest równoznaczne ze zdaniem „Grażyna jest matką małżonki Wiesia”. Ponieważ wyrażenie „być matką małżonki” jest równoznaczne z wyrażeniem „być bezpośrednią żeńską ascendentką małżonki”, dlatego zdanie „Grażyna jest matką małżonki Wiesia” jest równoznaczne ze zdaniem „Grażyna jest bezpośrednią żeńską ascendentką małżonki Wiesia”. Wyżej unaoczniliśmy, że gdy pierwsze zdanie jest równoznaczne z drugim, a drugie z trzecim, to i pierwsze zdanie jest równoznaczne z trzecim. Skoro więc zdanie „Grażyna jest teściową Wiesia” jest równoznaczne ze zdaniem „Grażyna jest matką małżonki Wiesia”, a to zdanie jest równoznaczne ze zdaniem „Grażyna jest bezpośrednią żeńską ascendentką małżonki Wiesia”, to i zdanie „Grażyna jest teściową Wiesia” jest równoznaczne ze zdaniem „Grażyna jest bezpośrednią żeńską ascendentką małżonki Wiesia”. Rozumując podobnie, można [146/147] wykazać, że wszelkie inne dwa zdania języka polskiego tym tylko się różniące, że w jednym z nich występuje wyrażenie „być teściową”, a w drugim występuje wyrażenie „być bezpośrednią żeńską ascendentką małżonki”, są równoznaczne. Przeto na gruncie przyjętego tu określenia równoznaczności wyrażeń niezdaniowych wyrażenie „być teściową” jest równoznaczne w języku polskim z wyrażeniem „być bezpośrednią żeńską ascendentką małżonka”. Rozumując podobnie, można wykazać, iż między wszelkimi innymi trzema niezdaniowymi wyrażeniami języka polskiego zachodzi taka zależność, że jeśli pierwsze z nich jest równoznaczne z drugim, a drugie z trzecim, to i pierwsze jest równoznaczne z trzecim.

Jeśli więc jedno zdanie języka polskiego jest równoznaczne z drugim, a drugie z trzecim, to i pierwsze zdanie jest równoznaczne z trzecim. Podobnie, jeśli jedno niezdaniowe wyrażenie języka polskiego jest równoznaczne z drugim, a drugie z trzecim, to i pierwsze wyrażenie jest równoznaczne z trzecim. Zatem relacja równoznaczności jest przechodnia w zbiorze wyrażeń języka polskiego. Rozumując podobnie, można wykazać, że relacja ta jest zwrotna, symetryczna i przechodnia w zbiorze wyrażeń dowolnego innego języka spełniającego wymogi podane na początku niniejszego punktu.

Skoro relacja równoznaczności jest zwrotna, symetryczna i przechodnia w zbiorze wyrażeń danego języka, to jest ona w tym zbiorze relacją równościową. Pozwala zatem podzielić ów zbiór na powstałe od niej klasy abstrakcji. Innymi słowy, zbiór wyrażeń danego języka dzieli się na klasy abstrakcji od relacji równoznaczności. Do klasy abstrakcji od zdania „Jarocin jest większy od Śremu” ze względu na relację równoznaczności należy to właśnie zdanie oraz wszystkie inne zdania języka polskiego z nim równoznaczne. Do klasy abstrakcji od funktora „ojciec” należy ten funktor oraz wszystkie inne funktory języka polskiego z nim równoznaczne. Do klasy abstrakcji od predykatu „ważyć więcej niż” należy ten predykat oraz wszystkie inne predykaty języka polskiego z nim równoznaczne.

Można teraz sprecyzować, co stanowi znaczenie określonego wyrażenia w danym języku. Otóż znaczeniem określonego wyrażenia w danym języku nazywamy własność przysługującą temu wyrażeniu oraz wszystkim wyrażeniom owego języka z nim równoznacznym. Inaczej mówiąc, znaczeniem określonego wyrażenia [147/148] w danym języku nazywamy własność przysługującą wszystkim elementom klasy abstrakcji od tego wyrażenia ze względu na relację równoznaczności. Znaczeniem wyrażenia „Jarocin jest większy od Śremu” jest więc własność przysługująca temu wyrażeniu oraz wszystkim zdaniom języka polskiego z nim równoznacznym. Znaczeniem wyrażenia „ojciec” jest własność przysługująca temu wyrażeniu oraz wszystkim funktorom jednoargumentowym języka polskiego z nim równoznacznym. Zaś znaczeniem wyrażenia „ważyć więcej niż” jest własność przysługująca temu wyrażeniu oraz wszystkim dwuargumentowym predykatom języka polskiego z nim równoznacznym.

6. Wynikanie logiczne

Reguły językowe, a ściśle rzecz biorąc, reguły dedukcyjne, przesądzają też o ważnym związku między zdaniami danego języka, jakim jest wynikanie logiczne. Rozważmy dwa zdania: „Poznań leży nad Wartą” oraz „Karpie umieją tańczyć”. Zdania te różnią się zarówno treścią, jak i wartościami logicznymi, bo pierwsze z nich jest prawdziwe, a drugie fałszywe. Stąd też utworzona z nich implikacja „Jeżeli Poznań leży nad Wartą, to karpie umieją tańczyć” jest zdaniem fałszywym. Natomiast prawdziwa jest implikacja „Jeżeli Września była pierwszą stolicą Polski, to maj ma 30 dni”, bo zarówno jej poprzednik, jak i następnik są zdaniami fałszywymi. A jednak i tu nie można się dopatrzyć żadnego związku treściowego między owymi zdaniami, poza tym że mają taką samą wartość logiczną. Inaczej rzecz się ma ze zdaniami „W 1410 r. Krzyżacy zostali pokonani pod Grunwaldem” oraz „W XV wieku malała rola zakonu krzyżackiego”. Oba te zdania są prawdziwe, a nadto łączą się treściowo. Zbudowana z nich implikacja „Jeżeli w 1410 r. Krzyżacy zostali pokonani pod Grunwaldem, to w XV wieku malała rola zakonu krzyżackiego” jest więc zdaniem prawdziwym, które w dodatku opisuje związek między pewnymi faktami. Związek ten ma jednak charakter empiryczny, nie zaś logiczny. Stąd też powyższa implikacja jest jakimś twierdzeniem, ale nie jest tezą języka polskiego. [148/149]

Rozważmy teraz zdania „Szczepan jest wyższy od Joli” oraz „Jola jest niższa od Szczepana”. Zdania te mają taką samą wartość logiczną, bo albo oba są prawdziwe, albo też oba są fałszywe. Przede wszystkim zaś - co tu najistotniejsze - powstała z nich implikacja „Jeżeli Szczepan jest wyższy od Joli, to Jola jest niższa od Szczepana” jest tezą języka polskiego. Powiemy więc, że z pierwszego z tych zdań wynika drugie. Ogólnie, ze zdań Z₁, Z₂,..., Z_k wynika w danym języku zdanie Z_n wtedy i tylko wtedy, gdy implikacja, której poprzednik tworzy koniunkcja zdań Z₁, Z₂,..., Z_k, a następnik stanowi zdanie Z_n, jest tezą tego języka. Na przykład ze zdań „Francja jest większa od Szwecji”, „Szwecja jest większa od Polski” i „Polska jest większa od Węgier” wynika w języku polskim zdanie „Francja jest większa od Węgier”. Tezą języka polskiego jest bowiem implikacja „Jeżeli Francja jest większa od Szwecji i Szwecja jest większa od Polski i Polska jest większa od Węgier, to Francja jest większa od Węgier”, której poprzednik tworzy koniunkcja trzech wskazanych wyżej zdań, zaś jej następnikiem jest zdanie porównujące Francję z Węgrami. Podobnie, ze zdań „Jeśli 15 V 1993 r. w Poznaniu padał deszcz, to 15 V 1993 r. w Poznaniu ulice były mokre” oraz „15 V 1993 r. w Poznaniu padał deszcz” wynika w języku polskim zdanie „15 V 1993 r. w Poznaniu ulice były mokre”. Tezą języka polskiego jest bowiem implikacja „Jeżeli (jeśli 15 V 1993 r. w Poznaniu padał deszcz, to 15 V 1993 r. w Poznaniu ulice były mokre) i 15 V 1993 r. w Poznaniu padał deszcz, to 15 V 1993 r. w Poznaniu ulice były mokre”, której poprzednik tworzy koniunkcja dwóch wskazanych wyżej zdań, zaś jej następnik stanowi zdanie konstatujące, iż rzeczonego dnia poznańskie ulice były mokre. Podobnie, ze zdania „Franek jest karnistą” wynika zdanie „Franek jest prawnikiem”. Tezą języka polskiego jest bowiem implikacja „Jeżeli Franek jest karnistą, to Franek jest prawnikiem”, której poprzednikiem jest pierwsze, a następnikiem drugie ze wskazanych zdań. Wracając do wskazanego wyżej zestawu zdań Z₁, Z₂, ..., Z_k, gdy k = 1, można powiedzieć, że ze zdania Z, wynika w danym języku zdanie Z_n wtedy, gdy tezą tego języka jest implikacja, której poprzednik stanowi zdanie Z₁, a następnik stanowi zdanie Z_n. Ten szczególny przypadek zachodzi w pierwszym i ostatnim z omawianych tu przykładów.

Koniunkcję zdań, z których w określonym języku wynika dane zdanie, nazywamy racją, zaś samo to zdanie nazywamy [149/150] następstwem. Koniunkcja „Francja jest większa od Szwecji i Szwecja jest większa od Polski i Polska jest większa od Węgier” jest więc racją, zaś zdanie „Francja jest większa od Węgier” jest następstwem. Podobnie, zdanie „Franek jest karnistą” jest racją, zaś zdanie „Franek jest prawnikiem” jest następstwem. Łatwo zauważyć, że jeśli racja jest prawdziwa, to i następstwo jest prawdziwe. Gdyby bowiem racja była prawdziwa, a następstwo fałszywe, to implikacja, w której racja jest poprzednikiem, a następstwo następnikiem, byłaby zdaniem fałszywym. Ponieważ jednak implikacja ta jest tezą, zatem wykluczone jest, aby była fałszywa. Tym samym, wykluczone jest, aby racja była prawdziwa, a następstwo fałszywe. Jeśli natomiast racja jest fałszywa, to następstwo może być prawdziwe albo fałszywe. Fałszywość racji przesądza bowiem o prawdziwości implikacji, w której racja ta jest poprzednikiem. Jeśli z kolei następstwo jest fałszywe, to i racja jest fałszywa. Gdyby bowiem następstwo było fałszywe, a racja prawdziwa, to - jak wyżej wskazano - teza o postaci implikacji też musiałaby być fałszywa, co jednak jest wykluczone. Jeśli natomiast następstwo jest prawdziwe, to racja może być prawdziwa albo fałszywa. Prawdziwość następstwa przesądza bowiem o prawdziwości implikacji, w której następstwo to jest następnikiem.

Jak wskazano wyżej, ze zdania „Franek jest karnistą” wynika zdanie „Franek jest prawnikiem”, zaś ze zdań „Jeśli 15 V1993 r. w Poznaniu padał deszcz, to 15 V 1993 r. w Poznaniu ulice były mokre” i „15 V 1993 r. w Poznaniu padał deszcz” wynika zdanie „15 V 1993 r. w Poznaniu ulice były mokre”. Między tymi dwoma przypadkami zachodzi jednak zasadnicza różnica. Te­za „Jeżeli Franek jest karnistą, to Franek jest prawnikiem” nie jest tautologią. Natomiast teza „Jeżeli (jeśli 15 V 1993 r. w Poznaniu padał deszcz, to 15 V 1993 r. w Poznaniu ulice były mokre) i 15 V 1993 r. w Poznaniu padał deszcz, to 15 V 1993 r. w Poznaniu ulice były mokre” jest tautologią, bo powstała z prawa logiki „[(p → q) კ p] → q”. W tym przypadku powiemy, że ze wskazanych wyżej dwóch zdań wynika logicznie zdanie konstatujące, iż rzeczonego dnia poznańskie ulice były mokre. Ogólnie, ze zdań Z₁, Z₂, ..., Z_k wynika logicznie zdanie Z_n wtedy i tylko wtedy, gdy implikacja, której poprzednik tworzy koniunkcja zdań Z₁, Z₂, ..., Z_k, a następnik stanowi zdanie Z_n, jest tautologią. Na przykład, ze zdań „Zosia idzie na wykład”, „Jeśli Zosia [150/151] idzie na wykład, to Zosia jest studentką” i „Jeśli Zosia jest studentką, to Zosia ma indeks” wynika logicznie zdanie „Zosia ma indeks”. Zdanie „Jeżeli Zosia idzie na wykład i (jeśli Zosia idzie na wykład, to Zosia jest studentką) i (jeśli Zosia jest studentką, to Zosia ma indeks), to Zosia ma indeks” jest bowiem tautologią, gdyż powstaje z tezy rachunku zdań „[p კ (p → q) კ (q → r)] → r”. Podobnie, ze zdań „Warta wpada do Wisły lub Warta wpada do Odry” i „Warta wpada do Wisły lub nie jest tak, że Warta wpada do Odry” wynika logicznie zdanie „Warta wpada do Wisły”. Zdanie „Jeżeli (Warta wpada do Wisły lub Warta wpada do Odry) i (Warta wpada do Wisły lub nie jest tak, że Warta wpada do Odry), to Warta wpada do Wisły” jest bowiem tautologią, gdyż powstaje z tezy rachunku zdań „[(p ლ q) კ (p ლ ~ q)] → p”. Podobnie, ze zdania „/\_x(jeśli x studiuje prawo na UAM, to x umie mówić po polsku)” wynika logicznie zdanie „/\_x(jeśli x nie umie mówić po polsku, to x nie studiuje prawa na UAM)”. Zdanie „Jeżeli /\_x(Jeśli x studiuje prawo na UAM, to x umie mówić po polsku), to /\ (jeśli x nie umie mówić po polsku, to x nie studiuje prawa na UAM)” jest bowiem tautologią, gdyż powstaje z tezy rachunku predykatów „/\_x[P(x) → R(x)] → /\_x(~ [R(x)] → ~ [P(x)]}”. Wracając do wskazanego wyżej zestawu zdań Z₁, Z₂, ..., Z_k, gdy k = 1, można powiedzieć, że ze zdania Z₁ wynika logicznie zdanie Z₂ wtedy, gdy tautologią jest implikacja, której poprzednik stanowi zdanie Z₁, a następnik stanowi zdanie Z_n. Zauważmy, że w przeciwieństwie do poprzednio omawianego wynikania, omawiane teraz wynikanie logiczne nie wymaga relatywizacji do określonego języka. Dane zdanie jest bowiem tautologią niezależnie od tego, czy stanowi ono, czy też nie stanowi tezy jakiegoś języka.

Koniunkcję zdań, z których wynika logicznie dane zdanie, nazywamy racją logiczną. Z kolei zdanie wynikające logicznie z owej koniunkcji nazywamy następstwem logicznym. Koniunkcja „Zosia idzie na wykład i (jeśli Zosia idzie na wykład, to Zosia jest studentką) i (jeśli Zosia jest studentką, to Zosia ma indeks)” jest więc racją logiczną, zaś zdanie „Zosia ma indeks” jest następstwem logicznym. Podobnie, zdanie „/\_x(jeśli x studiuje prawo na UAM, to x umie mówić po polsku)” jest racją logiczną, [151/152] zaś zdanie „/\_x(jeśli x nie umie mówić po polsku, to x nie studiuje prawa na UAM)” jest następstwem logicznym. Uwagi o zależnościach między wartościami logicznymi racji i następstwa odnoszą się także do zależności między wartościami logicznymi racji logicznej i następstwa logicznego.

7. Związki między językami

Przypomnijmy, że język konstytuują określone reguły. Między dwoma językami zasadniczo różniącymi się słownictwem, regułami gramatycznymi, zestawem tez i regułami semantycznymi trudno byłoby dopatrywać się jakiegoś bliższego związku. Niekiedy jednak zbieżność reguł dwóch języków przesądza o szczególnych związkach między samymi tymi językami. Zdarza się, że jeden język jest fragmentem drugiego. Otóż język J jest fragmentem języka J' wtedy, gdy 1) zbiór reguł słownikowych języka J jest podzbiorem właściwym zbioru reguł słownikowych języka J', zaś 2) zbiory reguł gramatycznych, dedukcyjnych i semantycznych języka J są podzbiorami zbiorów reguł - odpowiednio - gramatycznych, dedukcyjnych i semantycznych języka J'. Innymi słowy, język J jest fragmentem języka J' wtedy, gdy spełnione są łącznie dwa warunki. Po pierwsze, wszystkie reguły słownikowe języka J są również regułami słownikowymi języka J', ale nie odwrotnie. Zatem język J' konstytuuje więcej reguł słownikowych, czyli jest on bogatszy w słownictwo od języka J. Po drugie, konstytuujące język J reguły wszystkich pozostałych typów konstytuują także język J'. Nie przesądza się przy tym, czy język J' jest bogatszy od języka J w reguły tych pozostałych typów, czy też w tym względzie języki te są tożsame.

Aby zilustrować powyższe określenie, przypuśćmy, że dysponujemy pewnym językiem. Do języka tego dodajemy jedno nowe słowo. Przeto zwiększamy zbiór jego reguł słownikowych o jedną nową regułę, wprowadzającą właśnie ów dodany wyraz jako słowo tego języka. Przypuśćmy, że reguły ustalające kategorie gramatyczne owego języka są tak sformułowane, iż ustalają również kategorię gramatyczną nowego słowa. Zatem zbiór reguł tego rodzaju nie zmienia się. Nie zmienia się też zbiór reguł ustalających sposób budowania wyrażeń złożonych. Oczywiście, [152/153] reguły te pozwolą teraz budować więcej wyrażeń złożonych, bo przy ich tworzeniu daje się już wykorzystać owo nowe słowo. Przyjmijmy, że nie zmienia się również zbiór reguł dedukcyjnych ani zbiór reguł semantycznych, które są tak sformułowane, iż pozwalają wskazać denotację także owego nowego słowa. Powstaje zatem nowy język, bogatszy od starego języka o jedną regułę słownikową. Mamy tu do czynienia z najprostszym przypadkiem, w którym stary język jest fragmentem nowego. Oczywiście, jeden język jest fragmentem drugiego również i wtedy, gdy ów drugi język konstytuuje wiele dodatkowych reguł słownikowych, gramatycznych, dedukcyjnych i semantycznych.

Inny związek między dwoma językami polega na tym, że są one jednorodne gramatycznie. Otóż język J jest jednorodny gramatycznie z językiem J' wtedy, gdy 1) zbiór reguł formowania języka J jest identyczny ze zbiorem reguł formowania języka J', zaś 2) zbiór reguł dedukcyjnych języka J różni się od zbioru reguł dedukcyjnych języka J'. Innymi słowy, język J jest jednorodny gramatycznie z językiem J' wtedy, gdy spełnione są łącznie dwa warunki. Po pierwsze, wszystkie reguły formowania języka J są też regułami formowania języka J' i odwrotnie. Języki te mają więc jednakowe słownictwo i dają się w nich budować takie same wyrażenia złożone. Po drugie, języki te różnią się zestawem reguł dedukcyjnych. W efekcie różnią się one zestawem przyjmowanych w nich tez. Zauważmy, że w powyższym określeniu nie wspomina się o regułach semantycznych. Różnice między regułami dedukcyjnymi dwóch języków mogą być bowiem tego rodzaju, iż wymuszają różnice w konstytuujących te języki regułach semantycznych. Jednakże różnice między regułami dedukcyjnymi dwóch języków mogą być również i tego rodzaju, że nie wymuszają różnic w regułach semantycznych. Nie jest więc wykluczone, że dwa języki jednorodne gramatycznie różnią się tylko zestawami konstytuujących je reguł dedukcyjnych, a mają identyczne reguły formowania i identyczne reguły semantyczne.

Dla ilustracji powyższego określenia wskażmy na dwa języki różniące się tylko znaczeniem jednego z występujących w nich słów. Skoro dane słowo co innego znaczy w jednym z tych języków, a co innego w drugim z nich, to świadczy to, iż języki te różnią się zestawami przyjętych w nich tez. Ponieważ tezy są wyznaczane przez reguły dedukcyjne, przeto owe języki różnią się konstytuującymi je regułami dedukcyjnymi. Gdy wszystkie wyrażenia [153/154] i znaczenia wszystkich pozostałych wyrażeń są w obu językach takie same, to zachodzi tu najprostszy przypadek, w którym dwa języki są jednorodne gramatycznie. Oczywiście, jednorodne gramatycznie są i takie dwa języki, które - opierając się na tym samym zestawie reguł formowania - zawierają wiele wyrażeń posiadających odmienne znaczenia w każdym z nich.

Z punktu widzenia logiki szczególną rolę odgrywa związek między dwoma językami polegający na tym, że jeden z nich jest metajęzykiem drugiego. Otóż język J jest metajęzykiem języka J' wtedy, gdy 1) dla każdego wyrażenia języka J' występuje w języku J termin jednostkowy oznaczający to wyrażenie oraz 2) dla każdego wyrażenia języka J' występuje w języku J wyrażenie stanowiące jego przekład. Innymi słowy, język J jest metajęzykiem języka J', gdy spełnione są łącznie dwa warunki. Po pierwsze, w języku J występują terminy jednostkowe oznaczające każde z wyrażeń języka J'. Należy wskazać na pewien prosty sposób tworzenia terminów jednostkowych oznaczających określone wyrażenia. Polega on na wzięciu danego wyrażenia w cudzysłów. Weźmy na przykład następujące wyrażenia: Mikołaj, ojciec, być silniejszym od, Poznań leży nad Wartą. Terminami jednostkowymi oznaczającymi te wyrażenia są wyrażenia następujące: „Mikołaj”, „ojciec”, „być silniejszym od”, „Poznań leży nad Wartą”. Zauważmy, że zabieg takiego oznaczania wyrażeń jest często stosowany w niniejszej pracy. Po drugie, język J zawiera przekłady wszystkich wyrażeń języka J'. Wyrażenia języka J' są więc przekładalne na wyrażenia języka J. Dzięki tym właściwościom języka J można w nim opisywać język J'. Gdy język J jest metajęzykiem języka J', to język J' nazywa się wówczas językiem przedmiotowym. Dodajmy, że metajęzyk może mieć swój metajęzyk, ten z kolei swój metajęzyk itd. Metajęzyk metajęzyka jakiegoś języka nazywa się też niekiedy metametajęzykiem owego pierwszego języka.

Ilustrując powyższe określenie, przyjmijmy dla celów dydaktycznych, że językiem przedmiotowym jest język angielski oraz że w języku polskim występują terminy jednostkowe oznaczające każde wyrażenie języka angielskiego. Wyrażeniami języka angielskiego są na przykład: London, to be a brother, John is a student. W języku polskim oznaczają je następujące terminy jednostkowe: „London”, „to be a brother”, „John is a student”. W języku polskim występują też przekłady wszystkich wyrażeń języka [154/155] angielskiego. Przekładami wskazanych wyżej wyrażeń są w języku polskim wyrażenia następujące: Londyn, być bratem, Jan jest studentem. Język polski byłby więc metajęzykiem języka angielskiego. W języku polskim można by opisywać język angielski. Gdyby język francuski uznać za metajęzyk języka polskiego, to byłby on metametajęzykiem języka angielskiego.

8. Właściwości języka naturalnego

Przedstawiona tutaj koncepcja języka jako wyznaczonego przez konstytuujące go reguły określonych rodzajów stanowi pewną idealizację. Najbliższe tej wizji są języki sztuczne, takie na przykład, jak język arytmetyki, język algebry czy język geometrii. Tam bowiem zazwyczaj explicite wymienione są słowa danego języka i dokładnie sprecyzowane reguły budowania wyrażeń złożonych. Tam też przeważnie wskazane są aksjomaty i częstokroć podane są reguły inferencyjne. Tam wreszcie niekiedy dokładnie określa się uniwersum, podaje się denotacje poszczególnych wyrażeń i precyzuje reguły pozwalające orzekać o wartościach logicznych poszczególnych zdań. Krótko mówiąc, języki sztuczne konstruuje się zazwyczaj poprzez podanie konstytuujących je reguł omówionych wyżej rodzajów. Jednakże nawet w tych językach zdarzają się rozmaite niedociągnięcia. Dla przykładu występujące w języku arytmetyki słowo „-” można uważać za dwuznaczne. W wyrażeniu arytmetycznym „-7” występuje ono bowiem jako funktor jednoargumentowy dający z terminem jednostkowym „7” nowy termin jednostkowy. Natomiast w wyrażeniu arytmetycznym „9 - 5” występuje ono jako funktor dwuargumentowy, dający z dwoma terminami jednostkowymi „9” i „5” nowy termin jednostkowy oznaczający liczbę 4.

Nieporównanie większe odstępstwa od przedstawionej tu wizji języka ujawniają języki naturalne, takie jak język polski, język angielski, język francuski itd. Przede wszystkim należy zauważyć, że w językach tych poszczególne reguły nie są explicite wymienione. Twierdzenie, iż dany język konstytuuje określona reguła, jest tylko hipotezą wymagającą zawsze uzasadnienia. [155/156] Oczywiście, niekiedy twierdzenie takie wydaje się niepodważalne. Trudno byłoby na przykład zaprzeczyć twierdzeniu, iż wyrażenie „rozmyślać” jest słowem języka polskiego. Czasami jednak twierdzenie dotyczące takiej czy innej reguły danego języka może budzić kontrowersje. Nie jest na przykład bezsporne, że zdanie „Jeśli Robert wie więcej od Lucyny, to Robert jest mądrzejszy od Lucyny” stanowi tezę języka polskiego. A już wysoce problematyczne byłoby zakwalifikowanie tego zdania jako aksjomatu owego języka.

Spróbujmy zatem spojrzeć na typowy język naturalny, jakim jest język polski, z perspektywy przedstawionej tu koncepcji. W używanym przez nas języku występują na przykład takie wyrażenia, jak „być sponsorem”, „być kosmonautą” czy „telefonować do”, nieznane w XVIII wieku. Natomiast w osiemnasto-wiecznym języku polskim występowały takie wyrażenia, jak „świekra”, „być bułankiem” czy „rozjąć”, nie używane obecnie. Zatem XVIII-wieczny język polski różni się od używanego przez nas języka polskiego zestawem reguł ustalających słownik. Nie można więc mówić o jednym języku polskim używanym na przestrzeni wieków, lecz raczej należy mówić o wielu następujących po sobie językach polskich.

Ograniczając się do obecnie używanego języka, przyjmijmy, że Bogdan zna wyrażenie „implodować”, którego nie zna Marcin. Oczywiście, nieznajomość jakiegoś jednego słowa nie wskazuje jeszcze, iżby Marcin posługiwał się innym językiem niż Bogdan. Jeśli jednak uprzytomnimy sobie, że studiujący fizykę Bogdan zna również takie wyrażenia, jak „być kwarkiem”, „być układem dyspersyjnym” czy „elektroforezować”, nieznane studiującemu prawo Marcinowi, a nie zna takich, znanych Marcinowi, wyrażeń, jak „indosować”, „być prokurentem” czy „być trasatem”, to okazuje się, że właściwie używają oni odmiennych języków. Należałoby zatem odróżnić polski język fizyczny, polski język chemiczny, polski język medyczny, polski język prawniczy itd. W dodatku język przedszkolaków jest fragmentem języka uczniów szkół podstawowych, ten fragmentem języka licealistów, a ten z kolei fragmentem języka studentów itd. Przeto już z tych powodów tak zwany język polski okazuje się - w gruncie rzeczy - złożeniem wielu języków.

Dalsze komplikacje wypływają z wieloznaczności rozmaitych wyrażeń języka polskiego. Wyrażenie „być zamkiem” znaczy tyle, [156/157] co „być taką a taką budowlą”, „być częścią składową broni”, „być eklerem”, „być urządzeniem do zamykania drzwi”, a także „być swoistą zagrywką hokejową”. Każde z tych znaczeń wiąże się z innym zestawem tez. Jednakże w danym języku jest tylko jeden zestaw tez, tedy każde jego wyrażenie jest jednoznaczne. Gdy więc dane wyrażenie ma 5 znaczeń, to świadczy to, iż mamy do czynienia z pięcioma językami polskimi różniącymi się zestawami reguł dedukcyjnych. Gdy zauważymy, że wyrażenie „być wujkiem” ma co najmniej dwa znaczenia, bo niekiedy znaczy tyle, co „być bratem rodzica”, a niekiedy tyle, co „być bratem matki”, to okaże się, że mamy już 10 języków polskich, różniących się zestawami reguł dedukcyjnych. Ponieważ języki te konstytuują te same reguły formowania, dlatego są to języki jednorodne gramatycznie.

Łatwo też zauważyć, że w języku polskim można mówić o nim samym. Mogę bowiem powiedzieć, że Poznań leży nad Wartą, ale mogę też powiedzieć, że zdanie „Poznań leży nad Wartą” jest prawdziwe. Mogę również powiedzieć, że stwierdzenie „Zdanie «Poznań leży nad Wartą» jest prawdziwe” składa się z wielu słów. Należy zatem wyróżnić przedmiotowy język polski, metajęzyk polski, metametajęzyk polski oraz metajęzyki jeszcze wyższych stopni. Analizowany z punktu widzenia przedstawionej tu koncepcji jakikolwiek tak zwany język naturalny okazuje się więc złożeniem bardzo wielu języków, z których jedne są fragmentami drugich, niektóre są wzajem jednorodne gramatycznie, zaś pewne z nich są metajęzykami innych.

Warto odnotować jeszcze kilka swoistości tak zwanego języka naturalnego. Po pierwsze, jego spójniki nie w pełni odpowiadają spójnikom analizowanym w logice, na co zwracaliśmy uwagę już w pierwszym rozdziale. Po drugie, w każdym języku naturalnym występują wyrażenia idiomatyczne takie na przykład, jak „machnąć na to ręką” czy „tu jest pies pogrzebany”. Wyrażenie idiomatyczne ma znaczenie różne od tego, jakie należałoby mu przypisać ze względu na występujące w nim wyrażenia składowe. Na przykład, wyrażenie „machnąć na to ręką” rozumiane nieidiomatycznie znaczy tyle, co „wykonać ku czemuś określony ruch ręką”. Wyrażenie to rozumiane jako idiom znaczy mniej więcej tyle, co „zrezygnować z czegoś”. Pewne wyrażenia idiomatyczne, na przykład zwrot „pal go sześć”, są wręcz zbudowane niezgodnie z regułami formowania, a mimo to uchodzą za [157/158] wyrażenia poprawne. Po trzecie, rolę swoistych zmiennych jeżyka naturalnego spełniają takie wyrażenia, jak „ja”, „on”, „tu”, „wtedy” itp., na co zwracaliśmy już uwagę w rozdziale drugim. W wyrażeniu „on jest studentem prawa” za „on” wolno wstawić termin jednostkowy. Swoistość rzeczonej zmiennej polega na tym, że wolno za nią wstawić jedynie termin jednostkowy oznaczający podmiot rodzaju męskiego. Podobnie, w wyrażeniu „ja tu mieszkam” za zmienną „ja” wolno wstawić jedynie termin jednostkowy oznaczający tego, kto wyrażenie to wypowiada, a za zmienną „tu” termin jednostkowy oznaczający miejsce przebywania podmiotu tej wypowiedzi. Po czwarte, zdania języka naturalnego podlegają rozmaitym przekształceniom zwanym transformacjami. Na przykład, negacja „Nie jest tak, że Poznań leży nad Bałtykiem” przekształca się w zdanie „Poznań nie leży nad Bałtykiem”, zaś koniunkcja „Basia idzie na wykład i Kasia idzie na wykład” przekształca się w zdanie „Basia i Kasia idą na wykład”. Po piąte, należy nie tyle mówić o uniwersum języka naturalnego, ile raczej o uniwersach poszczególnych, dających się w nim wyróżnić języków. Dodajmy, że ustalenie uniwersów poszczególnych języków wyróżnialnych w języku naturalnym również jest przedsięwzięciem niełatwym, gdyż w języku tym mówi się zarówno o przedmiotach materialnych, jak i o liczbach, przeżyciach psychicznych, fikcyjnych postaciach literackich oraz rozmaitych tworach prawnych.

ZADANIA

1. Ustal, ze względu na uchybienia jakiego typu regułom poniższe sekwencje nie są wyrażeniami jeżyka polskiego:

a) frigmo jest zielone,

b) myśli o stolicy Wielkopolski nie siedzi przy,

c) jeżeli Antek, to Władek gra w szachy z Janka,

d) rozstrzyga spór miedzy Francją prasim lub śpiewa,

e) najstarszy brat ifri a najmłodszy brat tańczy z obserwuje,

f) każdy student pierwszego roku prawa zdaje egzamin z logiki wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje taki student pierwszego roku prawa, który berde egzamin poprawkowy z prawa rzymskiego.

2. Wskaż, które z poniższych zdań a) nie są tezami języka polskiego, b) są jego tezami, ale nie są tautologiami, c) są tautologiami:

a) Nie jest tak, że (Hiszpania jest większa od Włoch i Hiszpania nie jest większa od Włoch), [158/159]

b) Jeżeli Kasia jest wyższa od Ani. to Ania jest wyższa od Kasi,

c) Istnieje taki Wielkopolanin, który byt na Antarktydzie lub był na Alasce wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki Wielkopolanin, który był na Antarktydzie, lub istnieje taki Wielkopolanin, który był na Alasce,

d) Mirek jest ojcem Stasia lub Staś jest ojcem Mirka.

e) Basia nie lubi porzeczek lub Janek nie lubi agrestu wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że (Basia lubi porzeczki, a Janek lubi agrest).

f) Jeżeli Paryż leży nad Sekwaną. to Paryż nie leży nad Tamizą.

3. Wskaż, które z poniższych zdań a) nie są kontrtezami języka polskiego, b) są jego kontrtezami, ale nie są kontrtautologiami, c) są kontrtautologiami:

a) Nie jest tak, że (jeśli ojciec Zosi był w Moskwie, to ojciec Zosi zwiedzał Kreml),

b) Nie jest tak, że (Bożena jest matką Henia wtedy i tylko wtedy, gdy Heniek jest synem Bożeny),

c) Nie jest tak, że jednym ze składników wody jest tlen,

d) Nie jest tak, że (jeśli każdy poznaniak był nad morzem, to istnieje taki poznaniak, który był nad morzem),

e) Nie jest tak, że nie jest tak, że nie jest tak, że (Wielkopolska graniczy ze Śląskiem lub Wielkopolska nie graniczy ze Śląskiem),

f) Nie jest tak, że każdy masarz jest rzeźnikiem.

4. Wśród poniższych zdań wyszukaj zdania równoznaczne:

a) Nie jest tak, że (Marek jest wyższy od Ewy i Halina jest starsza od Józia),

b) Marek nie jest wyższy od Ewy lub Halina jest starsza od Józia,

c) Nie jest tak, że (Halina nie jest starsza od Józia i Marek jest niższy od Ewy),

d) Marek nie jest wyższy od Ewy lub Józio nie jest starszy od Haliny.

e) Nie jest tak, że (Józio jest starszy od Haliny i Marek jest wyższy od Ewy),

f) Józio jest młodszy od Haliny lub Marek nie jest niższy od Ewy.

5. W poniższych zdaniach wyszukaj wyrażenia równoznaczne:

a) Każdy, kto uczy się w średniej szkole ogólnokształcącej, jest przekonany, że Wrocław jest stolicą Grecji,

b) Jeśli Onufry jest najstarszym mieszkańcem Poznania, to Onufry nie prowadzi auta,

c) Nie jest tak, że bezpośredni żeński ascendent Irka jest dentystą i jest uczniem liceum,

d) Wszelki ten, kto jest stomatologiem, uważa, że nie żyje już pradziadek najdłużej żyjącego mieszkańca Wielkopolski,

e) Matka Pawia kieruje samochodem w mieście, w którym znajduje się siedziba rządu polskiego,

f) Jeżeli Wiesiek jest licealistą, to Wiesiek sądzi, że najwcześniej urodzony z żyjących mieszkańców Piły nie uczy się w liceum, oraz Wiesiek jest przeświadczony, że ojciec dziadka Mieszka I żył w Wielkopolsce.

6. Wśród poniższych zdań wskaż zdania wynikające logicznie ze zdania „Każdy student przeczytał jakieś dzieło Henryka Sienkiewicza” oraz zdania, które z niego wynikają, choć nie wynikają logicznie: [159/160]

a) Pewien student przeczytał wszystkie dzieła Henryka Sienkiewicza,

b) Pewien student przeczytał jakieś dzieło Henryka Sienkiewicza,

c) Pewna osoba ucząca się w szkole wyższej przeczytała jakieś dzieło Henryka Sienkiewicza,

d) Nie istnieje taki student, który nie przeczytał żadnego dzieła Henryka Sienkiewicza,

e) Żaden student nie przeczytał wszystkich dzieł Henryka Sienkiewicza lub każdy student przeczytał jakieś dzieło Henryka Sienkiewicza,

f) Istnieje takie dzieło Henryka Sienkiewicza, które przeczytał każdy student.

7. Wśród poniższych zdań wskaż zdania, z których wynika logicznie zdanie „Jeden ze stryjów Maćka umie pływać stylem klasycznym”, oraz zdania, z których to zdanie wynika, choć nie wynika logicznie:

a) Jeden z braci ojca Maćka umie pływać stylem klasycznym,

b) Jeżeli jeden ze stryjów Maćka umie pływać stylem klasycznym, to nie jest tak, że jeden ze stryjów Maćka umie pływać stylem klasycznym,

c) Jeden ze stryjów Maćka umie pływać żabką,

d) Jeden z wujów Maćka umie pływać stylem motylkowym, a jeden ze stryjów Maćka umie pływać stylem klasycznym,

e) Jeden ze stryjów Maćka umie pływać stylem klasycznym lub jeden z braci ojca Maćka umie pływać stylem klasycznym,

f) Jeżeli nie jest tak, że jeden ze stryjów Maćka umie pływać stylem klasycznym, to jeden ze stryjów Maćka umie pływać stylem klasycznym.

8. Przyjmując, że wyrażenie „Poznań leży nad Wartą” jest zdaniem języka przedmiotowego, ustal, do jakich języków należą następujące zdania:

a) Piotr oznajmił Tomkowi, że zdanie „Poznań leży nad Wartą” nie jest fałszywe,

b) Skoro nie jest tak, że Poznań leży nad Wartą, to nie każdy student wie, że Poznań leży nad Wartą,

c) Zdanie „Zdanie „„Zdanie „„„Zdanie „„„„Poznań leży nad Wartą”””” zawiera termin jednostkowy””” składa się z kilku słów”” jest prawdziwe” jest skomplikowane,

d) Andrzeja zdziwiło zdanie „Paweł uważa zdanie «Poznań leży nad Wartą»” za niezrozumiałe”,

e) Janek przypomina sobie, że Michał twierdził, iż Ela sądzi, że nie jest tak, iż Poznań nie leży nad Wartą,

f) Każde zdanie równoważne ze zdaniem „Poznań leży nad Wartą” jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie „Poznań leży nad Wartą” jest prawdziwe.

9. Wykaż wieloznaczność następujących wyrażeń:

a) Hanka najbardziej lubi tę siostrę, która po każdym zastrzyku obdarowuje ją obrazkiem z wizerunkiem jakiegoś świętego,

b) Wszystkie obręcze ważyły ponad 10 kg,

c) Tu jest pies pogrzebany,

d) Mundek gra na perkusji i na klarnecie,

e) Zenek wpuścił Jurka w maliny,

f) Od każdego skredytowanego rachunku bank pobiera prowizję w wysokości 3% sumy z odsetkami od dnia realizacji przedmiotowej kwoty. [160/161]

10. Ustal wartości logiczne następujących zdań:

a) Reguły formowania danego języka dzielą się na reguły ustalające słownik, reguły gramatyczne i reguły dedukcyjne,

b) W zbiorze wyrażeń danego języka relacja równoważności jest relacją równościową,

c) W zbiorze języków relacja bycia fragmentem jest relacją przechodnią,

d) W zbiorze języków relacja jednorodności gramatycznej jest relacją symetryczną,

e) Zdanie prawdziwe jest równoznaczne ze zdaniem fałszywym wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie fałszywe jest równoznaczne ze zdaniem prawdziwym,

f) Ilekroć z jednego zdania wynika logicznie drugie zdanie, tylekroć z owego drugiego zdania wynika logicznie to pierwsze zdanie. [161/162]

VI. DEFINICJE

1. Definicje metajęzykowe a definicje przedmiotowe

Ponieważ każdy tak zwany język naturalny jest w gruncie rzeczy złożeniem wielu języków, dlatego nie jest wykluczone, że dwie osoby używające tego samego języka w istocie posługują się różnymi językami. Może to powodować najrozmaitsze trudności w komunikowaniu się a nawet prowadzić do nieporozumień. Aby tego uniknąć należy zmniejszyć różnice między językami komunikujących się osób lub przynajmniej informować o znaczeniach występujących w tych językach wyrażeń. Do tego celu najlepiej służą szczególnego rodzaju wyrażenia, jakimi są definicje.

Każda definicja jest złożonym wyrażeniem albo sekwencją złożonych wyrażeń określonego języka. Dlatego mówimy, że jest ona sformułowana w tym języku. Każda definicja odnosi się też do określonego języka, informując o znaczeniu jakiegoś jego wyrażenia lub nadając jakiemuś jego wyrażeniu nowe znaczenie, albo wręcz wprowadzając do niego nowe wyrażenie. Mówimy więc, że jest ona sformułowana dla tego języka. W zależności od relacji między językiem, w którym sformułowana jest określona definicja, a językiem, dla którego jest ona sformułowana, stanowi ona definicję metajęzykową albo definicję przedmiotową. Jeżeli język, w którym sformułowana jest określona definicja, jest metajęzykiem języka, dla którego sformułowana jest ta definicja, to stanowi ona definicję metajęzykową. Weźmy dla przykładu następującą definicję: wyrażenie „być studentem” znaczy w języku J tyle samo, co wyrażenie „być uczniem szkoły wyższej”. Definiuje się w niej należące do języka J wyrażenie „być studentem”. Zatem jest to definicja dla języka J. Jednakże w definicji tej występuje zbudowany za pomocą cudzysłowu termin jednostkowy oznaczający wyrażenie definiowane. Przeto sama ta definicja [162/163] należy do metajęzyka języka J. Jest to więc definicja metajęzykowa. Rozważmy jeszcze definicję następującą: wyrażenie „być stryjkiem x-a” ma w języku J takie samo znaczenie, jak wyrażenie „być bratem ojca x-a”. Również i ta definicja jest sformułowana dla języka J, gdyż definiuje się w niej należące do tego języka wyrażenie „być stryjkiem x-a”. Jednakże i ta definicja jest wyrażeniem metajęzyka języka J, a więc jest definicją metajęzykową.

Jeżeli natomiast język, w którym sformułowana jest określona definicja, jest tym samym językiem, dla którego jest ona sformułowana, to stanowi ona definicję przedmiotową. Innymi słowy, definicja przedmiotowa jest sformułowana w tym samym języku, do którego należy wyrażenie w niej definiowane. Definicję przedmiotową nazywa się niekiedy też definicją wewnątrzjęzykową. Weźmy dla przykładu następującą definicję: /\_x(x jest nauczycielem akademickim wtedy i tylko wtedy, gdy x jest nauczycielem wykładającym w szkole wyższej). Definicja ta jest wyrażeniem tego samego języka, do którego należy definiowane w niej wyrażenie „być nauczycielem akademickim”. Zatem jest ona definicją przedmiotową.

Łatwo zauważyć, że definicje metajęzykowe dają się przekształcać w definicje przedmiotowe, i odwrotnie. Na przykład, druga z rozważanych wyżej definicji metajęzykowych daje się przekształcić w definicję następującą: /\_x/\_y(y jest stryjkiem x-a wtedy i tylko wtedy, gdy y jest bratem ojca x-a). Tak sformułowana definicja jest już definicją przedmiotową. Stanowi ona bowiem wyrażenie tego samego języka, do którego należy wyrażenie w niej definiowane. Dalej będziemy się posługiwać wyłącznie definicjami przedmiotowymi.

2. Definicje równościowe

Definicje są wyrażeniami o różnej budowie. Pod tym względem dzielimy je na definicje równościowe i definicje nierównościowe. Rozważmy taką oto definicję: /\_x/\_y/\_t(x sąsiaduje [163/164] z y w okresie t wtedy i tylko wtedy, gdy x graniczy żyw okresie t). Dla uproszczenia pomińmy kwantyfikatory, nadając jej postać następującą: x sąsiaduje żyw okresie t wtedy i tylko wtedy, gdy x graniczy żyw okresie t. Jest to definicja trójargumentowego predykatu „sąsiadować z ... w okresie”. Centralne miejsce zajmuje w niej równoważność „wtedy i tylko wtedy, gdy”. Po jej lewej stronie występuje zwrot zawierający wyrażenie definiowane. Po prawej stronie występuje zwrot definiujący. Zanalizujmy teraz następującą definicję: x jest studentem ≡ x jest uczniem szkoły wyższej. Jest to definicja jednoargumentowego predykatu „być studentem”. Centralne miejsce zajmuje w niej równoważność „≡”. Po jednej z jej stron występuje wyrażenie zawierające definiowany predykat, a po drugiej występuje wyrażenie definiujące. Zbadajmy jeszcze taką oto definicję: x = matka (y) wtedy i tylko wtedy, gdy x jest bezpośrednim żeńskim ascendentem y. Jest to definicja jednoargumentowego funktora „matka”. Centralne miejsce zajmuje w niej równoważność „wtedy i tylko wtedy, gdy”. Po jej jednej stronie występuje wyrażenie zawierające definiowane słowo, a po drugiej stronie występuje wyrażenie definiujące. Przypatrzmy się wreszcie definicji następującej: 1 = następnik (0). Jest to definicja terminu jednostkowego „1”. Centralne miejsce zajmuje w niej identyczność „=”. Po jednej z jej stron występuje ów definiowany termin jednostkowy, a po drugiej występuje wyrażenie definiujące. Jak widać, w każdej z przedstawionych wyżej definicji centralne miejsce zajmuje równoważność albo identyczność. Definicję o postaci równoważności albo identyczności nazywamy definicją równościową.

Każda definicja równościowa zbudowana jest z trzech części. Jedną z nich tworzy zwrot zawierający wyrażenie definiowane zwany definiendum. W pierwszej z podanych wyżej definicji definiendum stanowi wyrażenie „x sąsiaduje żyw okresie t”. W drugiej definiendum jest wyrażenie „x jest studentem”. W trzeciej definiendum jest wyrażenie „x = matka (y)”, zaś w czwartej definiendum stanowi słowo „1”. Drugą część definicji równościowej tworzy zwrot definiujący zwany definiensem. W pierwszej z podanych wyżej definicji definiens stanowi wyrażenie „x graniczy żyw okresie t”. W drugiej definiensem jest wyrażenie „x jest uczniem szkoły wyższej”. W trzeciej definiensem jest wyrażenie „x jest bezpośrednim żeńskim ascendentem y-a”, zaś w czwartej definiens stanowi wyrażenie „następnik (0)”. Wreszcie trzecią część [164/165] definicji równościowej tworzy zwrot łączący definiendum z definiensem zwany spójką definicyjną. Jako spójki definicyjne używa się zwrotów wyrażających równoważność albo identyczność, takich jak: „wtedy i tylko wtedy, gdy”, „zawsze i tylko wtedy, gdy”, „≡”, „=”, „jest identyczny z”, „to samo, co” itp. Zazwyczaj szerszy kontekst wskazuje, iż dane wyrażenie jest definicją. Niekiedy jednak podkreśla się to w samym sformułowaniu definicji bądź poprzedzając owo zdanie określeniem „definicja” albo „df.”, bądź też nadając spójce definicyjnej postać „≡_df” albo „=_df”.

Łatwo zauważyć, że definicja równościowa pozwala przełożyć każde zdanie zawierające wyrażenie w niej definiowane na zdanie nie zawierające tego wyrażenia. Na przykład, pierwsza z rozważanych przez nas definicji pozwala przełożyć zdanie „Państwa, które sąsiadowały z Niemcami w okresie lat 30., prowadziły z Niemcami wojnę w pierwszej połowie lat 40.” na zdanie „Państwa, które graniczyły z Niemcami w okresie lat 30., prowadziły z Niemcami wojnę w pierwszej połowie lat 40.”. Pozwala ona też przełożyć zdanie „Posesja Jana nie sąsiaduje w okresie obecnym z żadną inną posesją” na zdanie „Posesja Jana nie graniczy w okresie obecnym z żadną inną posesją”. Pozwala ona wreszcie przełożyć zdanie „Kto sąsiaduje z fabryką azbestu w okresie dłuższym niż 2 lata, ten jest narażony na choroby dróg oddechowych” na zdanie „Kto graniczy z fabryką azbestu w okresie dłuższym niż 2 lata, ten jest narażony na choroby dróg oddechowych”. Z kolei ostatnia z rozważanych wyżej definicji pozwala przełożyć zdanie „1 + 1 = 2” na zdanie „następnik(0) + następnik(0) = 2”, zaś zdanie „1 • 15 = 15” na zdanie „następnik”) • 15 = 15”. Ze względu na tę właściwość definicji równościowych polegającą na umożliwianiu przełożenia wszystkich zdań zawierających wyrażenia w nich definiowane na zdania nie zawierające tych wyrażeń nazywa się je także definicjami normalnymi. Właściwości tej nie posiadają definicje nierównościowe.

Ze względu na stosunek wyrażenia definiowanego do definiendum definicje równościowe dzielą się na definicje wyraźne i definicje kontekstowe. Definicja równościowa jest definicją wyraźną, gdy wyrażenie definiowane jest identyczne z definiendum. Innymi słowy, definicja wyraźna to taka definicja równościowa, w której definiendum znajduje się wyłącznie wyrażenie [165/166] definiowane. Czwarta z omawianych wyżej definicji jest definicją wyraźną. Jej definiendum stanowi bowiem słowo „1”, które właśnie jest wyrażeniem w niej definiowanym. Definiendum to pokrywa się więc z wyrażeniem w niej definiowanym.

Natomiast definicja równościowa jest definicją kontekstową, gdy wyrażenie definiowane nie jest identyczne z definiendum. Innymi słowy, definicja kontekstowa to taka definicja równościowa, której definiendum stanowi kontekst zawierający w sobie wyrażenie definiowane. Trzy pierwsze z omawianych wyżej definicji są definicjami kontekstowymi. W pierwszej z nich definiuje się wyrażenie „sąsiaduje z ... w okresie”. Jej definiendum ma natomiast postać „x sąsiaduje z y w okresie t”. W definiendum wyrażenie definiowane występuje więc w typowym dla niego kontekście, z którym jednak nie jest identyczne. Z kolei w drugiej z nich definiuje się wyrażenie „być studentem”. Jej definiendum ma natomiast postać „x jest studentem”. A więc i tu wyrażenie definiowane występuje w typowym dla siebie kontekście, z którym jednak nie jest identyczne. Wreszcie w trzeciej z tych definicji wyrażeniem definiowanym jest słowo „matka”. Jej definiendum ma natomiast postać „x = matka(y)”. Zatem również i tutaj wyrażenie definiowane występuje w pewnym kontekście, z którym nie jest identyczne.

Szczególną odmianę definicji kontekstowych stanowią definicje przez abstrakcję. Każda definicja przez abstrakcję wiąże się z pewną relacją równościową. Przypomnijmy, że relacja jest równościowa w danym zbiorze wtedy, gdy jest w tym zbiorze jednocześnie zwrotna, symetryczna i przechodnia. Taką relacją równościową w zbiorze przedmiotów materialnych jest na przykład relacja równociężkości. Każdy przedmiot materialny jest bowiem równociężki z samym sobą. Gdy jeden przedmiot materialny jest równociężki z drugim, to i ten drugi przedmiot materialny jest równociężki z pierwszym. Jeśli zaś pierwszy przedmiot materialny jest równociężki z drugim, a drugi z trzecim, to i ów pierwszy przedmiot materialny jest równociężki z trzecim. Relacja równociężkości dzieli więc zbiór przedmiotów materialnych na powstałe od niej klasy abstrakcji, czyli podzbiory przedmiotów materialnych równociężkich. Można to wykorzystać przy definicji ciężaru pojętego jako cecha poszczególnych przedmiotów materialnych. Definicja ta brzmi następująco: ciężar x jest identyczny z ciężarem y wtedy i tylko wtedy, gdy x jest [166/167] równociężki z y. Jak widać, jest to definicja funktora „ciężar”. Ma ona postać definicji równościowej, gdyż centralne miejsce zajmuje w niej równoważność „wtedy i tylko wtedy, gdy”. Definiendum stanowi wyrażenie „ciężar x jest identyczny z ciężarem y” zawierające w sobie definiowane słowo. Przeto jest to definicja kontekstowa. Ową identyczność ciężaru dwóch przedmiotów materialnych ustała się w oparciu o relację równociężkości zachodzącą między tymi przedmiotami. Konstatacja o zachodzeniu między nimi rzeczonej relacji stanowi definiens omawianej tu definicji.

Innym przykładem definicji przez abstrakcję jest definicja kształtu figur geometrycznych oparta na relacji podobieństwa. Zauważmy, że relacja podobieństwa jest w zbiorze figur geometrycznych zwrotna, symetryczna i przechodnia. Relacja podobieństwa jest więc w tym zbiorze relacją równościową. Dzieli ona zbiór figur geometrycznych na powstałe od niej klasy abstrakcji, czyli podzbiory figur do siebie podobnych. Można to wykorzystać, podając następującą definicję kształtu figury geometrycznej: kształt figury geometrycznej x jest identyczny z kształtem figury geometrycznej y wtedy i tylko wtedy, gdy figura geometryczna x jest podobna do figury geometrycznej y. Jak widać, jest to definicja równościowa. Nadto jest to definicja kontekstowa, gdyż definiowany wyraz „kształt” występuje jako fragment definiendum. Definicja ta utożsamia kształt dowolnych dwóch figur geometrycznych wtedy, gdy między owymi figurami zachodzi relacja podobieństwa, co stwierdza się w definiensie.

3. Definicje nierównościowe

Najpopularniejszym sposobem definiowania jest budowanie definicji równościowych. Niekiedy jednak zachodzi konieczność zbudowania definicji nierównościowej. Jedną z odmian definicji nierównościowych stanowią definicje cząstkowe. Każda definicja cząstkowa jest zdaniem o postaci implikacji albo sekwencją dwóch zdań o postaci implikacji. W definicji cząstkowej wyrażeniem definiowanym jest zawsze predykat. Podaje ona warunek wystarczający albo warunek konieczny, albo też warunek wystarczający [167/168] i warunek konieczny stosowalności definiowanego wyrażenia.

Rozważmy następujące zdanie: jeżeli x jest osobą mającą mniej niż 100 włosów na głowie, to x jest łysy. Zdanie to ma postać implikacji. Definiuje ono predykat „być łysym”. Podaje się w nim warunek wystarczający zastosowania tego predykatu, jakim jest posiadanie mniej niż 100 włosów na głowie. Zdanie to stanowi właśnie definicję cząstkową. Nie przesądza ono, czy łysymi są osoby mające poniżej 200 albo co najwyżej 1500 włosów na głowie. Nie przesądza też, czy osoby z bujnymi czuprynami są czy nie są łyse. Ustala jedynie w części obszar zastosowania definiowanego predykatu. Łatwo zauważyć, że zdanie to podpada pod schemat /\_x[R(x) → P(x)]”, gdzie „P” jest definiowanym predykatem.

Rozważmy teraz zdanie: jeżeli x jest osobą mającą poniżej 50 lat, to x nie jest stary. Również i to zdanie ma postać implikacji. Definiuje ono predykat „być starym”. Podaje się w nim warunek konieczny zastosowania tego predykatu przez wskazanie, iż niezbędne jest (choć niekoniecznie wystarczające), aby osoba miała ukończone 50 lat. Również i to zdanie jest definicją cząstkową. Nie przesądza ono, czy osoba 60-letnia albo i 80-letnia jest stara. Ustala ono jedynie w części obszar zastosowania definiowanego predykatu przez wskazanie, iż kto nie ukończył 50 lat, ten nie jest stary. Łatwo zauważyć, że zdanie to podpada pod schemat „/\_x{S(x) → ~ [P(x)]}”, gdzie „P” jest definiowanym predykatem.

Rozważmy obecnie sekwencję dwóch zdań: 1) jeżeli x jest dorosłym mężczyzną mierzącym powyżej 185 cm, to x jest wysoki, 2) jeżeli x jest dorosłym mężczyzną mierzącym poniżej 175 cm, to x nie jest wysoki. Każde z tych zdań ma postać implikacji. Definiują one predykat „być wysokim”. Pierwsze z nich podaje warunek wystarczający zastosowania tego predykatu, jakim jest u dorosłego mężczyzny wzrost powyżej 185 cm. Drugie z nich podaje warunek konieczny zastosowania tego predykatu przez wskazanie, iż niezbędne jest (choć niekoniecznie wystarczające), aby dany mężczyzna mierzył co najmniej 175 cm. Kto bowiem mierzy mniej niż 175 cm, ten nie jest wysoki. Zdania te razem wzięte także stanowią definicję cząstkową. Nie przesądzają one, jak zakwalifikować dorosłych mężczyzn mierzących [168/169] od 175 cm do 185 cm. Łatwo zauważyć, że zdania te podpadają pod schematy „/\_x[R(x) → P(x)]” oraz „/\_x{S(x) → ~ [P(x)]}”, gdzie „P” jest definiowanym predykatem.

Dodajmy, że niektóre definicje cząstkowe podpadają pod bardziej skomplikowane schematy, takie jak „/\_x{R(x) → [T(x) → P(x)]}” albo „/\_x|S(x) → {(W(x) → ~ [P(x)]}|”, gdzie „P” jest definiowanym predykatem. Jeszcze inne definicje cząstkowe podpadają pod schemat „/\_x{R(x) → [P(x) ≡ T(x)]}”, gdzie „P” jest definiowanym predykatem. Jednakże wszystkie one są zdaniami o postaci implikacji albo sekwencjami dwóch zdań o postaci implikacji. Wszystkie one są definicjami predykatów i wszystkie tylko częściowo wyznaczają obszar zastosowania definiowanych wyrażeń.

Inną odmianę definicji nierównościowych stanowią definicje indukcyjne zwane też definicjami rekurencyjnymi. Każda definicja indukcyjna zbudowana jest z dwóch części, a mianowicie z warunku wstępnego i z warunku indukcyjnego. W zdaniu stanowiącym warunek wstępny podaje się najprostszy kontekst, w którym występuje wyrażenie definiowane. Z kolei w zdaniu stanowiącym warunek indukcyjny zawarta jest zasada przekształcania bardziej złożonych kontekstów zawierających wyrażenia definiowane w konteksty prostsze.

Definicją indukcyjną jest na przykład następująca definicja dodawania: 1) x + 0 = x, 2) x + następnik (y) = następnik (x + y). Punkt pierwszy stanowi warunek wstępny. Określa się w nim dodawanie w najprostszym przypadku, gdy jedną z dodawanych liczb jest 0. Z kolei punkt drugi stanowi warunek indukcyjny. Ustala się w nim, że dodając do dowolnej liczby następnik jakiejś liczby, otrzymuje się liczbę identyczną z następnikiem wyniku operacji dodania owych dwóch liczb. Aby zilustrować funkcjonowanie tej definicji, przypuśćmy, że dodajemy 3 do 2. Ponieważ 2 to tyle, co następnik (1), dlatego 3 + 2 = 3 + następnik (1). Zgodnie z warunkiem indukcyjnym 3 + następnik (1) = następnik (3 + 1). A więc 3 + 2 = następnik (3 - t - 1). Ponieważ 1 to tyle, co następnik (0), dlatego 3 + 1 = 3 + następnik(0). Zgodnie z warunkiem indukcyjnym 3 + następnik (0) = następnik (3 + 0). A stąd 3 + 1 = następnik (3 + 0). W efekcie 3 + 2 = następnik [następnik (3 + 0)]. Zgodnie z warunkiem wstępnym [169/170] 3 + 0 = 3. Tedy następnik(3 + 0) = następnik (3). Przeto 3 + 2 = następnik następnik (3)]. Ponieważ następnikiem liczby 3 jest liczba 4, dlatego następnik [następnik (3)] = następnik (4). A stąd 3 + 2 = następnik (4). Ponieważ następnikiem liczby 4 jest liczba 5, więc 3 + 2 = 5.

Definicją indukcyjną jest też następująca definicja liczby naturalnej: 1) 0 jest liczbą naturalną, 2) jeżeli x jest liczbą naturalną, to x + 1 też jest liczbą naturalną. Punkt pierwszy stanowi warunek wstępny. Ustala się w nim, że najprostsza z liczb, a mianowicie 0, jest liczbą naturalną. Z kolei punkt drugi stanowi warunek indukcyjny. Ustala on, że jeśli dana liczba jest liczbą naturalną, to także liczba od niej o 1 większa jest liczbą naturalną.

Definicje indukcyjne formułuje się nie tylko w naukach matematycznych. Przypuśćmy, że chcemy określić, kto był Jagiellonem. Możemy wówczas zaproponować następującą definicję indukcyjną: 1) Władysław Jagiełło był Jagiellonem, 2) jeżeli x był Jagiellonem płci męskiej, to także ślubne dziecko x-a było Jagiellonem. Punkt pierwszy stanowi warunek wstępny. Stwierdza się w nim, że Władysław Jagiełło był Jagiellonem. Z kolei punkt drugi jest warunkiem indukcyjnym. Uzależnia on zakwalifikowanie danej osoby jako Jagiellona od tego, czy była ona ślubnym dzieckiem Jagiellona płci męskiej.

Każda definicja indukcyjna wyznacza pewien zbiór. Jest to szczególnie widoczne w drugim i trzecim z omówionych wyżej przykładów. Druga z podanych wyżej definicji wyznacza zbiór liczb naturalnych. Jej warunek wstępny zalicza 0 do zbioru liczb naturalnych. Skoro zaś 0 jest liczbą naturalną, to - na podstawie warunku indukcyjnego - także 0 + 1, czyli 1, jest liczbą naturalną. Skoro zaś 1 jest liczbą naturalną, to - na podstawie warunku indukcyjnego - także 1 + 1, czyli 2, jest liczbą naturalną. Warunek indukcyjny zalicza też do zbioru liczb naturalnych 3, 4, 5 itd.

Z kolei trzecia z podanych wyżej definicji wyznacza zbiór Jagiellonów. Jej warunek wstępny zalicza Władysława Jagiełłę do zbioru Jagiellonów. Skoro zaś Władysław Jagiełło był Jagiellonem, to - na podstawie warunku indukcyjnego - także jego syn Władysław Warneńczyk należał do zbioru Jagiellonów. Na podstawie warunku indukcyjnego także drugi syn Władysława Jagiełły, a mianowicie Kazimierz Jagiellończyk, należał do zbioru Jagiellonów. Skoro zaś Kazimierz Jagiellończyk należał do zbioru [170/171] Jagiellonów, to - na podstawie warunku indukcyjnego - także jego syn Zygmunt Stary należał do zbioru Jagiellonów. Na podstawie warunku indukcyjnego także Zygmunt August i Katarzyna Jagiellonka należeli do zbioru Jagiellonów. Natomiast nie należał do tego zbioru Zygmunt III Waza, bo jego matka Katarzyna Jagiellonka nie była Jagiellonem płci męskiej, czego wymaga warunek indukcyjny.

Jeszcze inną odmianę definicji nierównościowych stanowią definicje przez postulaty zwane definicjami aksjomatycznymi. Definicja przez postulaty składa się z dwóch lub więcej zdań zawierających definiowane wyrażenie. Każde z tych zdań uznaje się za zdanie prawdziwe. Oczywiście, prawdziwość zdania zawierającego wyrażenie definiowane nakłada pewne restrykcje na pojmowanie tego wyrażenia. Tylko bowiem przy pewnym rozumieniu wyrażenia definiowanego zawierające je zdanie jest prawdziwe. Zdania tworzące definicję przez postulaty muszą więc być tak dobrane, aby ich łączna prawdziwość wyznaczała tylko jedno znaczenie zawartego w nich wyrażenia definiowanego.

Przykładem definicji przez postulaty jest następująca definicja wyrażenia „między”: 1) jeżeli punkt x leży na prostej między punktem y oraz punktem z, to punkt x leży na prostej między punktem z oraz punktem y, 2) z trzech punktów x, y, z jeden i tylko jeden leży na prostej między pozostałymi, 3) jeden z trzech punktów x, y, z danej prostej leży na tej prostej między dwoma pozostałymi wtedy i tylko wtedy, gdy te dwa punkty leżą w różnych częściach prostej, na które on tę prostą dzieli. Jak widać, powyższa definicja składa się z trzech zdań. Każde z nich zawiera definiowane wyrażenie „między”. Prawdziwość każdego z tych zdań nakłada na pojmowanie wyrażenia definiowanego pewne restrykcje. Już pierwsze zdanie wyklucza, aby „między” znaczyło na przykład tyle, co „przed oraz za”. Przy tym znaczeniu bowiem jeśli dany punkt leży przed pierwszym, a za drugim punktem, to nie leży on przed drugim punktem oraz za pierwszym punktem. Jednakże zdanie to dopuszcza jeszcze kilka sposobów pojmowania wyrażenia „między”. Jest ono prawdziwe na przykład przy takich pojmowaniach definiowanego wyrażenia, przy których wyrażenie to znaczy tyle, co „na prawo od lub na lewo od”, „na lewo od”, „na prawo od”, bądź znaczy mniej więcej tyle, co „pośród”. Drugie zdanie wyklucza już pojmowanie wyrażenia „między” jako znaczącego tyle, co „na prawo od lub [171/172] na lewo od”. Z trzech punktów aż dwa lezą bowiem na prawo od lub na lewo od pozostałych. Pierwsze i drugie zdanie łącznie dopuszczają jednak takie jeszcze rozumienia definiowanego wyrażenia, przy których znaczy ono tyle, co „na lewo od”, „na prawo od” oraz „pośród”. Trzecie zdanie wyklucza jednak dwa pierwsze z tych sposobów pojmowania definiowanego wyrażenia. Punkt, który leży na lewo od dwóch punktów, nie dzieli bowiem tej prostej na części zawierające po jednym z nich. Także punkt, który leży na prawo od dwóch punktów, nie dzieli tej prostej na części zawierające po jednym z nich. Prawdziwość wszystkich trzech zdań tworzących omawianą tu definicję przesądza więc o takim pojmowaniu definiowanego wyrażenia, przy którym znaczy ono mniej więcej tyle, co „pośród”.

Prześledzenie roli każdego ze zdań tworzących powyższą definicję utrudnia fakt, że już wcześniej znaliśmy znaczenie wyrażenia „między”. Dla celów dydaktycznych spróbujmy więc zdefiniować przez postulaty wyrażenie „być felem”, którego znaczenia jeszcze nie znamy. Podajmy następującą jego definicję: 1) jeżeli x jest felem y-a, to x jest mężczyzną, 2) jeżeli x jest felem y-a, to x ma tych samych rodziców, co jedno z rodziców y-a, 3) jeżeli x jest felem y-a, to x nie jest ojcem y-a, 4) jeżeli x jest felem y-a, to x nie jest krewnym matki y-a. Definicja ta składa się z czterech zdań zawierających definiowane wyrażenie. Już pierwsze z nich wydatnie ogranicza dopuszczalne sposoby pojmowania definiowanego wyrażenia. Skoro x będący felem y-a jest mężczyzną, to nie jest on dowodem osobistym y-a ani mieszkaniem y-a, ani matką y-a czy siostrą y-a. Zdanie to dopuszcza jednak takie pojmowania definiowanego wyrażenia, na gruncie których znaczy ono tyle, co „być ojcem”, „być dziadkiem”, „być zwierzchnikiem wojskowym”, „być męskim patronem” itd. Kolejne ograniczenia wprowadza drugie zdanie. Wyklucza ono, aby felem danej osoby był jej dziadek, brat, zwierzchnik wojskowy czy też patron. W dalszym ciągu jednak felem danej osoby może być jej ojciec, brat ojca albo też brat matki. Każdy z nich ma bowiem tych samych rodziców, co jedno z rodziców tej osoby. Trzecie zdanie wyklucza jednak, aby felem danej osoby był jej ojciec. Wreszcie czwarte zdanie wyklucza, aby felem tej osoby był brat jej matki. Przeto felem kogoś jest brat ojca, czyli stryjek. Tworzące powyższą definicję cztery zdania są wszystkie prawdziwe tylko wtedy, gdy wyrażenie „być felem” znaczy tyle, co „być stryjkiem”. [172/173]

4. Definicje sprawozdawcze

Dotąd omówiliśmy rozmaite rodzaje definicji, biorąc pod uwagę ich budowę. Obecnie spróbujemy wyróżnić szereg rodzajów definicji ze względu na realizowane przez nie zadania. Z tego punktu widzenia definicje dzielą się na definicje sprawozdawcze i definicje projektujące. Definicją sprawozdawczą danego wyrażenia dla określonego, zastanego języka jest taka definicja, która informuje o znaczeniu, jakie definiowane wyrażenie ma już w tym języku. Definicje sprawozdawcze nazywa się też definicjami analitycznymi. Definicją sprawozdawczą jest na przykład definicja następująca: x jest dziadkiem y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x jest ojcem ojca y-a lub x jest ojcem matki y-a. Informuje ona o znaczeniu, jakie wyrażenie „być dziadkiem” ma w interesującym nas tu języku. Definicją sprawozdawczą jest też definicja następująca: x jest studentem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest uczniem szkoły wyższej. Również i ta definicja informuje o znaczeniu, jakie wyrażenie „być studentem” ma już w języku, dla którego została sformułowana.

Definicje sprawozdawcze formułuje się przede wszystkim w celach dydaktycznych. Przyjmijmy, że język studenta prawa jest fragmentem języka wykładowcy. Przyjmijmy też, że zarówno do jednego, jak i do drugiego języka należy wyrażenie „być pełnomocnikiem spółki handlowej upoważnionym do wszystkich czynności sądowych i pozasądowych, jakie są związane z prowadzeniem przez tę spółkę przedsiębiorstwa zarobkowego”. Przypuśćmy, że do języka studenta nie należy jeszcze wyrażenie „być prokurentem” należące do języka wykładowcy. Ten ostatni formułuje więc następującą definicję: x jest prokurentem y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x jest pełnomocnikiem spółki handlowej y upoważnionym do wszystkich czynności sądowych i pozasądowych, jakie są związane z prowadzeniem przez y-a przedsiębiorstwa zarobkowego. Jest to definicja sprawozdawcza dla języka wykładowcy, bo informuje o znaczeniu, jakie wyrażenie „być prokurentem” ma już w tym języku. Ponieważ definiens jest także wyrażeniem języka studenta prawa, dlatego student poznaje znaczenie, jakie wyrażenie definiowane ma w języku wykładowcy. Pilny student, który przyswoi sobie szereg takich [173/174] definicji, ma szansę na to, aby pod koniec studiów język wykładowcy był i jego językiem.

Przykładem definicji sprawozdawczej jest też formułowana przez nauczycielkę na lekcji definicja kwadratu. Od razu zaznaczmy, że dokonujemy tutaj pewnej wyidealizowanej rekonstrukcji postępowania nauczycielki. Język ucznia szkoły podstawowej jest fragmentem języka jego nauczycielki. Uczeń wie już, co to jest prostokąt, i potrafi porównywać jego boki. Jednakże do języka ucznia nie należy jeszcze wyrażenie „być kwadratem” należące do języka nauczycielki. Można wówczas powiedzieć, że formułuje ona następującą definicję: x jest kwadratem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest prostokątem mającym wszystkie boki równe. Jest to definicja sprawozdawcza dla języka nauczycielki, bo informuje o znaczeniu, jakie wyrażenie „być kwadratem” ma już w tym języku. Ponieważ definiens jest również wyrażeniem języka ucznia, dlatego poznaje on znaczenie, jakie definiowane wyrażenie ma w języku nauczycielki. W ten sposób poznaje on język, którym posługuje się nauczycielka. Dodajmy, że definicje sprawozdawcze formułuje się nie tylko w celach dydaktycznych. Gdy dwaj badacze przystępują do dyskusji, to niekiedy formułują wstępnie właśnie definicje sprawozdawcze, aby poinformować się wzajemnie o znaczeniach używanych przez siebie wyrażeń. Pozwala to następnie uniknąć jałowych sporów słownych.

5. Definicje projektujące

W odróżnieniu od definicji sprawozdawczych informujących o zastanych, dotychczasowych znaczeniach wyrażeń, definicje projektujące informują o projektowanych dopiero znaczeniach wyrażeń. Definicją projektującą danego wyrażenia dla określonego, budowanego właśnie języka jest taka definicja, która informuje o znaczeniu, jakie definiowane wyrażenie będzie mieć w tym języku. Definicje projektujące nazywa się też definicjami syntetycznymi. Projektują one znaczenia wyrażeń, a więc wyznaczają znaczenia definiowanych wyrażeń na przyszłość.

Nowy, projektowany język powstaje zazwyczaj na bazie jakiegoś już istniejącego języka. Ze względu na stosunek definicji [174/175] do znaczeń wyrażeń definiowanych w tych już istniejących językach, stanowiących bazy dla języków projektowanych, dzielimy definicje projektujące na definicje konstrukcyjne i definicje regulujące. Definicja projektująca danego wyrażenia dla określonego, budowanego właśnie języka jest definicją konstrukcyjną, jeżeli nie liczy się ze znaczeniem, jakie wyraz definiowany ma - ewentualnie - w języku, na bazie którego powstaje budowany język. Zachodzi to w dwóch przypadkach. Pierwszy zachodzi wtedy, gdy wyraz definiowany nie występuje w języku, na bazie którego budowany jest dany język. Skoro wyraz ten nie występuje w owym dawniejszym języku, to nie ma też w nim żadnego znaczenia. Nowy język buduje się przeto w ten sposób, że dawniejszy język stanowi jego fragment. Sytuację taką często spotykamy w praktyce, zwłaszcza w dobie obecnej. Gwałtowny rozwój nauki i techniki prowadzi do odkrywania i wytwarzania zupełnie nowych, nie znanych dotąd obiektów. Oczywiście, obiekty te można określić wyrażeniami dotychczasowego języka. Określenia te są jednak zazwyczaj bardzo rozwlekłe, a przez to uciążliwe w stosowaniu. Warto więc zastąpić je krótkimi, nie znanymi dotąd określeniami wprowadzanymi za pomocą definicji konstrukcyjnych.

Aby podać przykład definicji tego typu, zauważmy, że XIX-wieczna astronomia nie znała gwiazd neutronowych wysyłających promieniowanie w postaci krótkotrwałych błysków powtarzających się z okresem około 1 sekundy lub krótszym. Gdy zostały odkryte, można je było określać tak, jak to podano wyżej. Łatwiej było jednak użyć jakiegoś krótszego wyrażenia, podając następującą definicję: x jest pulsarem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest gwiazdą neutronową wysyłającą promieniowanie w postaci krótkotrwałych błysków powtarzających się z okresem około 1 sekundy lub krótszym. Definicja ta konstruuje znaczenie wyrażenia „być pulsarem”, które przedtem żadnego znaczenia nie miało, bo nie należało do języka astronomii. Formułując ją, zaprojektowano nowy język, bogatszy od wcześniejszego języka astronomii o predykat „być pulsarem”. Jak widać, ów wcześniejszy język astronomii stał się fragmentem języka, który zaprojektowano.

Aby podać przykład definicji konstrukcyjnej związanej z techniką, zauważmy, że jeszcze na początku XX wieku nie znano aparatu odbierającego i odtwarzającego sygnały wizyjne i foniczne [175/176] nadawane przez stację telewizyjną. Gdy w latach 20. skonstruowano taki aparat, można go było określać tak, jak to podano wyżej. Łatwiej było jednak wprowadzić jakieś krótsze wyrażenie, formułując następującą definicję: x jest telewizorem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest aparatem odbierającym i odtwarzającym sygnały wizyjne i foniczne nadawane przez stację telewizyjną. Definicja ta konstruuje znaczenie wyrażenia „być telewizorem”, które przedtem żadnego znaczenia nie miało, bo nie należało do języka techniki. Budując ją, zaprojektowano nowy język, bogatszy od wcześniejszego języka techniki o predykat „być telewizorem”. Również i w tym przypadku wcześniejszy język techniki stał się fragmentem zaprojektowanego języka.

Drugi przypadek formułowania definicji konstrukcyjnych zachodzi wtedy, gdy wyraz definiowany występuje już w języku, na bazie którego budowany jest dany język. Skoro wyraz ten występuje w owym języku, to ma w nim określone znaczenie. Definicja konstrukcyjna nadaje mu jednak nowe znaczenie, nie licząc się z jego znaczeniem dotychczasowym. Nowy język buduje się tu więc w ten sposób, że przejmuje się prawie cały język bazowy, zmieniając w nim jedynie znaczenie definiowanego wyrażenia. Przeto nowy język jest jednorodny gramatycznie z językiem, na bazie którego powstał.

Aby podać przykład definicji konstrukcyjnej omawianego tu rodzaju, zauważmy, że w języku, którym się posługujemy, wyrażenie „być bratem” ma już określone znaczenie. Przypuśćmy, że ktoś podaje jednak jego następującą definicję: x jest bratem y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x jest zobowiązany zapłacić y-owi kwotę 1000 zł. Jak widać, definicja ta nie liczy się ze znaczeniem, jakie definiowane wyrażenie ma w języku, którym się posługujemy. Zgodnie bowiem z tą definicją relacja braterstwa zachodzi między dwoma osobami niezależnie od tego, czy mają one wspólnych rodziców, a nawet niezależnie od tego, czy w ogóle są spokrewnione. Nie jest wręcz konieczne, aby były one osobami fizycznymi. W tym znaczeniu bratem kogoś może być także spółka, przedsiębiorstwo lub bank. Bratem danej osoby jest bowiem ten, kto winien jej zapłacić kwotę 1000 zł. Definicja ta konstruuje więc nowe znaczenie wyrażenia „być bratem”, nie licząc się zupełnie z jego dotychczasowym znaczeniem. Tak zaprojektowany język jest jednorodny gramatycznie z językiem, którym się posługujemy. Należy dodać, że definicje konstrukcyjne tego typu formułuje [176/177] się często w momentach głębokich, rewolucyjnych przemian, gdy wyrażenia używane już w poprzednim okresie nabierają radykalnie nowych znaczeń.

Obok definicji konstrukcyjnych drugą odmianę definicji projektujących stanowią definicje regulujące. Definicja projektująca danego wyrażenia dla określonego, budowanego właśnie języka jest definicją regulującą, jeżeli liczy się ze znaczeniem, jakie wyraz definiowany ma w języku, na bazie którego powstaje budowany język. Aby podać przykład definicji regulującej, załóżmy, że tezami określonego języka są następujące zdania: 1) jeżeli x jest człowiekiem ważącym ponad 100 kg, to x jest tęgi, 2) jeżeli x jest człowiekiem ważącym poniżej 70 kg, to x nie jest tęgi. Na gruncie tego języka nie przesądza się, jak należy kwalifikować ludzi ważących od 70 kg do 100 kg. Kwestię tę rozstrzyga następująca definicja: x jest tęgi wtedy i tylko wtedy, gdy x jest człowiekiem ważącym ponad 90 kg. Definicja ta projektuje nowe znaczenie wyrażenia „być tęgim”. Jednakże w bardzo wysokim stopniu liczy się ona z dotychczasowym znaczeniem definiowanego wyrażenia. W dalszym ciągu uzależnia ona tęgość od wagi człowieka. Nadto, w pełni respektuje uprzednie, częściowe ustalenia co do stosowalności definiowanego wyrażenia. Kto uprzednio był kwalifikowany jako tęgi, ten i obecnie uchodzi za tęgiego. Kto uprzednio nie uchodził za tęgiego, ten i obecnie nie jest kwalifikowany jako tęgi. Należy dodać, że formułując tę definicję, buduje się już nowy język, bazując na języku zastanym.

Definicje regulujące podaje się zazwyczaj wtedy, gdy jakieś wyrażenie jest w języku naturalnym wieloznaczne. Jak już zaznaczono, wieloznaczność wyrażenia świadczy o tym, że dany język jest w gruncie rzeczy złożeniem szeregu języków o odmiennych znaczeniach owego wyrażenia. Zauważmy, że wyrażenie „być pełnoletnim” jest wieloznaczne w języku polskim. W języku tym daje się wyróżnić kilka języków różniących się znaczeniem owego wyrażenia. Niech tezami pierwszego z nich będą zdania:

1) jeśli x jest osobą, która ukończyła 21 lat, to x jest pełnoletni,

2) jeśli x jest osobą, która nie ukończyła 16 lat, to x nie jest pełnoletni. Niech tezami drugiego z nich będą zdania: 1) jeśli x jest osobą, która ukończyła 25 lat, to x jest pełnoletni, 2) jeśli x jest osobą, która nie ukończyła 20 lat, to x nie jest pełnoletni. Niech tezą trzeciego z nich będzie zdanie: x jest pełnoletni wtedy i tylko wtedy, gdy x jest osobą, która potrafi utrzymać się [177/178] z własnej pracy. Aby uregulować tę kwestię, przyjęto w języku prawnym następującą definicję: x jest pełnoletni wtedy i tylko wtedy, gdy x jest osobą, która ukończyła 18 lat. Definicja ta projektuje nowe znaczenie wyrażenia „być pełnoletnim”. Liczy się jednak z dotychczasowymi znaczeniami tego wyrażenia, bo uzależnia pełnoletność, od dojrzałości życiowej osoby, a w szczególności od jej wieku. Wprowadza też precyzyjne kryterium rozróżniania, pozwalające o każdej osobie orzec, czy jest ona, czy też nie jest pełnoletnia. Kryterium to prowadzi do rozstrzygnięć zbieżnych z rozstrzygnięciami, do jakich prowadzą zastane znaczenia definiowanego wyrażenia.

6. Eksplikacje

Szczególną odmianę definicji projektujących stanowią eksplikacje. Dla należytego ich omówienia zacznijmy od analizy przykładu. Jak wiadomo, w języku polskim występuje wyrażenie „prawo” oznaczające to, co stanowi przedmiot studiów osób czytających również tę książkę. Należy zauważyć, że wyrażenie to jest bez wątpienia wieloznaczne w języku polskim. Dla jednych prawo jest systemem usankcjonowanych przez państwo reguł postępowania ludzi względem siebie. Dla innych prawo jest zespołem instytucji wymuszania przez państwo obowiązków nałożonych na swych obywateli. Dla jeszcze innych prawem jest ogół metod zapewniania spokoju i porządku publicznego. Łatwo zauważyć, że żadne z tych określeń nie jest precyzyjne. Każde z nich zawiera jednak pewne intuicje. Dopóki analizowane tu wyrażenie funkcjonuje wyłącznie w mowie potocznej, jego nieprecyzyjność nie rodzi specjalnych problemów. Trudno byłoby jednak posługiwać się nim w nauce.

Tu właśnie pojawia się miejsce dla eksplikacji. Pierwszy etap eksplikowania polega na sformułowaniu definiowanego wyrażenia. Niech nim będzie trój argumentowy predykat: „być prawem państwa ... w momencie ... ”. Drugi etap eksplikowania polega na podaniu tak zwanych kryteriów adekwatności eksplikacji. Są nimi zdania wyrażające określone intuicje związane z definiowanym wyrażeniem, których prawdziwość winna być na gruncie [178/179] danej eksplikacji zagwarantowana. Jeżeli przy proponowanej eksplikacji zdania te okazują się prawdziwe, to sama ta eksplikacja może uchodzić za trafną. Jeżeli natomiast któreś z tych zdań okazuje się na gruncie danej eksplikacji fałszywe, to dyskwalifikuje to ową eksplikację. Niech kryteriami adekwatności będą tu następujące zdania: 1) prawo reguluje zachowania podmiotów związanych z określonym państwem w danym momencie, 2) systemy prawne dwóch państw mogą być odmienne, 3) nie da się wykluczyć zmian w prawie jakiegokolwiek państwa, 4) w przeciwieństwie do postrzegalnych skutków oddziaływania prawa samo prawo jest niepostrzegalne. Trzeci etap eksplikowania polega na sformułowaniu oczekiwanej definicji. Proponujemy tu następującą eksplikację: x jest prawem państwa y w momencie t wtedy i tylko wtedy, gdy x jest zbiorem norm obowiązujących w państwie y w momencie t. Wreszcie czwarty etap eksplikowania polega na wykazaniu trafności podanej definicji przez wykazanie, iż zapewnia ona prawdziwość zdań stanowiących kryteria jej adekwatności.

Realizując zadania czwartego etapu, zauważmy, że wedle podanej tu eksplikacji prawo jest zbiorem norm. Jak wiadomo, normy są wyrażeniami, które określonym podmiotom zwanym adresatami nakazują bądź zakazują pewne czyny. Oczywiście, adresatami norm obowiązujących w danym państwie w określonym momencie są podmioty związane w tym momencie z owym państwem. W szczególności, podmiotami tymi są osoby będące wówczas obywatelami rzeczonego państwa. Przeto wedle podanej tu eksplikacji prawo reguluje zachowania podmiotów związanych z określonym państwem w danym momencie. Eksplikacja ta gwarantuje więc prawdziwość pierwszego kryterium jej adekwatności. Zauważmy dalej, że prawo relatywizuje się w niej do poszczególnych państw. Nie jest tedy wykluczone, że zbiory norm obowiązujących w danym momencie w dwóch różnych państwach są odmienne. Przesądza to o prawdziwości drugiego z kryteriów adekwatności rzeczonej eksplikacji. Zauważmy teraz, że wedle podanej eksplikacji prawo relatywizuje się do poszczególnych momentów. Nie jest więc wykluczone, że zbiory norm obowiązujących w danym państwie w różnych momentach są różne. Przesądza to o prawdziwości trzeciego z kryteriów podanych wyżej. Zauważmy wreszcie, że skutkami oddziaływania norm są określone, dostrzegalne czyny ich adresatów. Natomiast [179/180] prawo państwa z danego momentu jest zbiorem norm, a więc bytem niepostrzegalnym. Przeto i czwarte kryterium adekwatności eksplikacji okazuje się na jej gruncie zdaniem prawdziwym. Zaproponowana definicja jest więc trafna, co kończy zabieg eksplikowania tego wyrażenia.

W powyższym przykładzie wyrażeniem eksplikowanym jest słowo „prawo”. Wyrażenie poddane eksplikacji nazywa się eksplikandum. Natomiast w definicji występuje trójargumentowy predykat „być prawem państwa... w momencie ...”. Wyrażenie definiowane w eksplikacji nazywa się eksplikatum. Jak widać, eksplikandum różni się tu od eksplikatum. Zdarza się to dość często. Na przykład, budując język współczesnej chemii, poddano eksplikacji słowo „sól”, a jako eksplikatum przyjęto wyrażenie „chlorek sodu”. Za eksplikandum przyjęto też słowo „woda”, a zastąpiono je wyrażeniem „tlenek wodoru”. Podobnie, budując język współczesnej socjologii, eksplikandum stało się wyrażenie „cieszyć się poważaniem”, zaś jako eksplikatum posłużyło wyrażenie „mieć określony prestiż społeczny”. Niekiedy jednak eksplikandum jest identyczne z eksplikatum. Na przykład, budując język współczesnej fizyki, poddano eksplikacji słowo „siła, przyjmując je jednocześnie jako eksplikatum. Poddano też eksplikacji słowo „masa”, przyjmując i to słowo jako eksplikatum. Podobnie, budując język współczesnej ekonomii, poddano eksplikacji słowo „rynek”, przyjmując je jednocześnie jako eksplikatum.

Próbując zakwalifikować eksplikacje, zauważmy, że jeśli eksplikatum jest identyczne z eksplikandum, to świadczy to, iż nadano wyrażeniu nowe znaczenie, licząc się z jego znaczeniem dotychczasowym. Owo uwzględnianie intuicji dotychczasowego znaczenia następowało poprzez stosowanie kryteriów adekwatności eksplikacji. Zatem taka eksplikacja byłaby definicją regulującą. Jeśli natomiast eksplikatum różni się od eksplikandum, a w dodatku nie występowało ono dotąd w języku czy językach, na bazie których buduje się nowy język, to świadczy to, że nadano wyrażeniu znaczenie, nie licząc się z jego znaczeniem dotychczasowym, którego w ogóle nie miało. Zatem taka eksplikacja byłaby definicją konstrukcyjną. Pomijając rozmaite subtelności, przyjmijmy więc, że szczególną odmianę definicji projektujących stanowią eksplikacje, z których pewne uznajemy za definicje regulujące, a pewne uznajemy za definicje konstrukcyjne. Dodajmy, [180/181] że eksplikacje formułuje się zawsze w celu zbudowania języka określonej dyscypliny naukowej.

7. Definicje ostensywne. Definicje perswazyjne.

Dotąd poznaliśmy rodzaje definicji ze względu na język, w którym są formułowane, ze względu na budowę, jaką posiadają, oraz ze względu na zadania, jakie realizują. Poznajmy jeszcze dwa rodzaje definicji, wyróżnione z zupełnie innych względów. Jeden z nich stanowią definicje ostensywne zwane też definicjami dejktycznymi. Omówimy je, analizując stosowny przykład. Przypuśćmy, że osobę nie zorientowaną w barwach chcemy zapoznać z czerwienią. Wyrażeniem definiowanym jest więc predykat „być czerwonym”. Oczywiście, można - wykorzystując ustalenia fizyki - podać definicję następującą: x jest czerwone wtedy i tylko wtedy, gdy x wypromieniowuje fale o długości 700 nanometrów. Należy jednak wątpić, aby na podstawie tej definicji ktokolwiek wyrobił sobie naturalny pogląd na temat tego, czym jest czerwień. W tym celu lepiej jest posłużyć się definicją ostensywną. Przypuśćmy więc, że objaśniający wypowiada słowa „to jest czerwone” i wskazuje na dojrzały pomidor. Następnie, wypowiadając za każdym razem te same słowa, wskazuje kolejno na dolną część sztandaru polskiego, kropelkę krwi, dojrzałą malinę oraz kwiat maku. Z kolei, wymawiając szereg razy słowa „to nie jest czerwone”, wskazuje na liść sałaty, niebo, trawę, kwiat słonecznika oraz siedzącego na gałęzi kosa. W ten sposób pozwala słuchającemu zorientować się co do znaczenia wyrażenia „być czerwonym”. Stanowi to właśnie definicję ostensywną owego wyrażenia.

Jak widać, definicja ostensywną składa się z wyrażeń oraz towarzyszących ich wypowiadaniu gestów pokazywania. Wyrażenia te zawierają wyrażenie definiowane w postaci niezaprzeczonej oraz zaprzeczonej. Wypowiadaniu pierwszego z nich towarzyszy gest pokazywania pozytywnych wzorców stosowania definiowanego wyrażenia. Wypowiadaniu drugiego z nich towarzyszy gest pokazywania negatywnych wzorców stosowania definiowanego wyrażenia. Dodajmy, że definicje ostensywne kwalifikuje się jako jedną z odmian definicji nierównościowych. [181/182]

Drugi z interesujących nas tu rodzajów definicji stanowią definicje perswazyjne. Wstępnie zauważmy, że jeżyk pełni nie tylko rolę środka komunikacji między ludźmi. Oddziałuje on także na postawę człowieka, a do pewnego stopnia kształtuje również jego oceny. Definicją perswazyjną jest właśnie taka definicja, której zadanie polega na zmienianiu określonej postawy ocennej jej odbiorcy. Wskazuje się na różnorodność zmian postaw ocennych, które mają być spowodowane definicjami perswazyjnymi. Dwa rodzaje zmian tego typu zilustrujemy przykładami.

Jak wiadomo, w języku, którym się posługujemy, pracodawcą jest ten, kto daje zatrudnienie innym osobom. W języku tym można by więc sformułować następującą definicję sprawozdawczą: x jest pracodawcą y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x jest podmiotem zatrudniającym y-a. Wyrażeniem definiowanym jest tu dwuargumentowy predykat „być pracodawcą” posiadający dodatnie zabarwienie ocenne. Natomiast w definiensie występuje ocennie neutralne wyrażenie „być podmiotem zatrudniającym”. Przypuśćmy, że komuś zależy na dowartościowaniu wszystkich tych, którzy są pracownikami. Proponuje więc następującą definicję: x jest pracodawcą y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x świadczy pracę na rzecz y-a. W definicji tej wyrażeniem definiowanym jest ten sam dodatnio ocennie zabarwiony predykat „być pracodawcą”. Natomiast w definiensie występuje inne, również neutralne wyrażenie „świadczyć pracę na rzecz”. Definicja ta odwraca relację bycia pracodawcą. Na jej gruncie pracodawcą danego podmiotu okazuje się bowiem jego pracownik, bo to on właśnie świadczy pracę na rzecz tego podmiotu. Definicja ta ma za zadanie zmienić postawę ocenną jej odbiorców poprzez przeniesienie ich pozytywnych skojarzeń ocennych z osób dających zatrudnienie innym na osoby świadczące na rzecz innych pracę.

Drugi przykład stanowi ilustrację innej odmiany definicji perswazyjnej. Jak wiadomo, swego czasu niektórzy katolicy nazywali wyznawców innych wyznań chrześcijańskich odszczepieńcami religijnymi. W języku takiej osoby można by więc sformułować następującą definicję sprawozdawczą: x jest od-szczepieńcem religijnym wtedy i tylko wtedy, gdy x jest wyznawcą niekatolickiej religii chrześcijańskiej. Wyrażeniem definiowanym jest tu jednoargumentowy predykat „być odszczepieńcem religijnym” posiadający ujemne zabarwienie ocenne. Natomiast w definiensie [182/183] występuje ocennie neutralne wyrażenie „być wyznawcą niekatolickiej religii chrześcijańskiej”. Dążenie do jedności wszystkich chrześcijan doprowadziło do wysunięcia propozycji określenia chrześcijan nie będących katolikami mianem braci odłączonych. Można by więc przyjąć, że wysunięto następującą definicję: x jest bratem odłączonym wtedy i tylko wtedy, gdy x jest wyznawcą niekatolickiej religii chrześcijańskiej. Jej definiens nie różni się od swego odpowiednika z definicji podanej uprzednio. Odmienne jest natomiast jej definiendum. W miejsce ujemnie zabarwionego ocennie wyrażenia „być odszczepieńcem religijnym” wprowadzono tu dodatnio zabarwione ocennie wyrażenie „być bratem odłączonym”. Definicja ta ma za zadanie zmienić postawę ocenną jej odbiorców z negatywnej na pozytywną w stosunku do chrześcijan nie będących katolikami.

8. Błędy w definiowaniu

Definiowanie - jak każda inna działalność ludzka - bywa obarczone rozmaitymi błędami. Tu ograniczymy się do omówienia kilku z nich, tych najprostszych, a zarazem najczęściej popełnianych. Omówimy przy tym jedynie błędy popełniane przy formułowaniu definicji równościowych, jako że definicje tego rodzaju są najbardziej popularne. Należy dodać, że pewne z błędów omówionych niżej zdarzają się także przy formułowaniu definicji nierównościowych. Same zaś definicje równościowe narażone są na inne jeszcze błędy, których nie będziemy tu omawiać.

Jednym z błędów popełnianych przy definiowaniu jest błąd zwany nieznane przez nieznane, czyli po łacinie ignotum per ignotum. Dla zademonstrowania go powróćmy do definicji kwadratu. Przypuśćmy, że zamiast definicji wskazanej uprzednio nauczycielka podała uczniom następującą definicję: x jest kwadratem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest prostokątem, którego przekątne przecinają się pod kątem stanowiącym jedną czwartą kąta pełnego. Uczniowie wiedzą wprawdzie, co to jest prostokąt, ale nie wiedzą jeszcze, co stanowi jego przekątną. Nie wiedzą także, czym jest kąt, a tym bardziej nie wiedzą, jaki kąt jest kątem [183/184] pełnym. Nie znają oni jeszcze ułamków, a więc nie wiedzą, co stanowi jedną czwartą całości. Innymi słowy, wyrażenie „przekątne przecinają się pod kątem stanowiącym jedną czwartą kąta pełnego” jest dla uczniów odbierających tę definicję niezrozumiałe. W efekcie niezrozumiały dla nich jest cały jej definiens. Po zapoznaniu ich z tą definicją nieznane im uprzednio wyrażenie „być kwadratem” w dalszym ciągu pozostaje dla nich nieznane. W definicji tej objaśnia się bowiem nieznane przez nieznane, co właśnie stanowi błąd omawianego tu rodzaju. Zauważmy, że kwalifikacja owej definicji jako błędnej uzależniona jest od ustalenia, do kogo definicja ta jest skierowana. Gdyby słuchaczami nauczycielki byli uczniowie liceum rozumiejący, co to jest prostokąt, którego przekątne przecinają się pod kątem stanowiącym jedną czwartą kąta pełnego, a nie znający jeszcze - powiedzmy - kwadratu, to powyższą definicję należałoby uznać za poprawną. W każdym razie nie obarczałby jej błąd nieznane przez nieznane.

Innym błędem popełnianym przy definiowaniu jest tak zwane błędne koło. Dla zademonstrowania go przypuśćmy, że podano następującą definicję: x jest studentem wtedy i tylko wtedy, gdy x uczęszcza do szkoły, której uczniami są studenci. Jak widać, wyrażeniem definiowanym jest w niej zwrot „być studentem”, który występuje w definiendum. Jednakże wyrażenie to występuje także w definiensie, gdzie mówi się o uczniach będących studentami. Oczywiście, taka definicja jest niepoprawna, bo w gruncie rzeczy niczego nie objaśnia. Według niej studentem ma być bowiem ten, kto jest uczniem będącym studentem. Zatem studentem jest ten, kto jest studentem. Błąd polega tu na tym, że wyrażenie definiowane występuje nie tylko w definiendum, gdzie jest jego miejsce, ale także w definiensie, gdzie nie powinno się pojawić. Stanowi to szczególną odmianę błędnego koła zwaną błędnym kołem bezpośrednim albo po łacinie idem per idem, czyli to przez to samo.

Inną, o wiele bardziej skomplikowaną odmianę błędu omawianego tu rodzaju stanowi błędne koło pośrednie. Dla zademonstrowania go przypuśćmy, że podano następującą definicję: x jest studentem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest przyszłym adeptem szkoły wyższej. Przyjmijmy, że w jej definiensie użyto niezrozumiałego jednak wyrażenia „być przyszłym adeptem szkoły wyższej”. Aby uwolnić się od zarzutu błędu nieznane przez nieznane, [184/185] podano następującą definicję: x jest przyszłym adeptem szkoły wyższej wtedy i tylko wtedy, gdy x jest studentem. Podano tu więc dwie definicje. W pierwszej wskazano, iż studentem jest ten, kto jest przyszłym adeptem szkoły wyższej. Z kolei w drugiej ustalono, że przyszłym adeptem szkoły wyższej jest ten, kto jest studentem. Wyrażenie definiowane „być studentem” nie wystąpiło wprawdzie w definiensie pierwszej definicji, ale wystąpiło ono w definiensie drugiej z nich, w której definiowano wyrażenie z definiensa pierwszej z tych definicji. Błąd obarczający tu nie tyle jedną definicję, ile ich zestaw, polega na tym, że wyrażenie pierwotnie definiowane zostaje użyte dla zdefiniowania wyrażenia je definiującego. Pośrednio powstaje tu swoiste błędne koło, stąd i nazwa tego błędu.

Dodajmy, że zestaw obarczony błędnym kołem pośrednim może składać się z wielu definicji. Błędem tym obarczona jest na przykład następująca sekwencja definicji: 1) x jest pełnomocnikiem y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x jest pozaustawowym przedstawicielem y-a, 2) x jest pozaustawowym przedstawicielem y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x jest wolicjonalnym przedstawicielem y-a, 3) x jest wolicjonalnym przedstawicielem y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x ma prawne umocowanie od y-a, 4) x ma prawne umocowanie od y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x jest pełnomocnikiem y-a. Wyrażenia występujące w definiensach kolejnych definicji same podlegają następnie zdefiniowaniu. Przy tym ostatnie z nich definiuje się za pomocą wyrażenia definiowanego w pierwszej definicji. Dodajmy, że błędne koło pośrednie ma miejsce i wtedy, gdy wyrażenia wstępnie definiowanego używa się, w którejś z kolejnych definicji, do zdefiniowania zwrotu występującego tylko jako mały fragment definiensa jednej z poprzednich definicji.

Jeszcze innym błędem popełnianym przy definiowaniu jest błąd sprzeczności. Dla zademonstrowania go przyjmijmy, że do pewnego języka dodano określoną definicję. Tym samym powstał nowy język, którego jednym z aksjomatów jest właśnie owa definicja. Jeżeli wśród tez języka wyjściowego nie ma zdań wzajem sprzecznych, a wśród tez języka nowego są zdania wzajem sprzeczne, to współtworząca go definicja dotknięta jest błędem sprzeczności. Dołączenie bowiem tej definicji do zbioru tez języka wyjściowego pozwala wyprowadzić zdania wzajem sprzeczne. Przypuśćmy, że językiem wyjściowym jest język matematyki, [185/186] na tyle ubogi, iż nie występuje w nim definicja pierwiastka kwadratowego. Ponieważ pierwiastkiem kwadratowym z danej liczby jest taka liczba, która podniesiona do kwadratu równa się danej liczbie, dlatego sformułowano następującą definicję: √x = y wtedy i tylko wtedy, gdy y² = x. Dołączając tę definicję do języka wyjściowego, utworzono nowy, bogatszy język matematyki. Definicja ta prowadzi jednak do sprzeczności tez owego języka. Zauważmy bowiem, że zgodnie z nią √4 = 2 wtedy i tylko wtedy, gdy 2² = 4. Podobnie, √4 = -2 wtedy i tylko wtedy, gdy (-2)² = 4. Konsekwencją pierwszego z tych zdań i stwierdzenia, że 2² = 4 jest konstatacja, iż √4 = 2. Konsekwencją drugiego z tych zdań i stwierdzenia, że (-2)² = 4 jest konstatacja, iż √4 ~ = -2. Ponieważ 2 = √4 = -2, dlatego 2 = -2. Zdanie to jest jednak sprzeczne z twierdzeniem matematyki, iż nie jest tak, że 2 = -2. Wskazano tu, że przedstawiona wyżej definicja pierwiastka kwadratowego, po dołączeniu do języka matematyki , prowadzi do sprzeczności.

Na zakończenie omówimy jeszcze jeden błąd, którym dotknięte mogą być tylko definicje sprawozdawcze. Jest to mianowicie błąd nieadekwatności. Definicja sprawozdawcza winna należycie zdawać sprawę ze znaczenia, jakie ma w danym języku definiowane w niej wyrażenie, czyli winna być definicją adekwatną. Jeżeli nienależycie informuje o znaczeniu definiowanego w niej wyrażenia, to obarczona jest błędem nieadekwatności. Nieadekwatność definicji sprawozdawczej przejawia się na kilka sposobów. Omówimy tu trzy z nich.

Po pierwsze, definicja sprawozdawcza jest nieadekwatna, gdy jest definicją za szeroką. Przypuśćmy, że podano następującą definicję n-argumentowego predykatu „P” sprawozdawczą w danym języku: P(x₁, ..., x_n) ≡ R(x₁, ..., x_n). Otóż definicja ta jest za szeroka, jeżeli tezą tego języka jest zdanie „/\_x1.../\ _xn[P(x_1, ..., x_n) → R(x₁, ..., x_n)]”, ale nie jest tezą tego języka zdanie „/\_x1.../\_xn[R(x₁, ..., x_n) → P(x₁, ..., x_n)]”. Na przykład, za szeroka jest następująca definicja: x jest studentem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest uczniem szkoły ponadpodstawowej. Tezą interesującego nas tu języka jest bowiem zdanie „/\_x(jeżeli x jest studentem, to x jest uczniem szkoły ponadpodstawowej)”, ale nie [186/187] jest nią zdanie „/\_x(jeżeli x jest uczniem szkoły ponadpodstawowej, to x jest studentem)”, gdyż nie wszyscy uczniowie szkół ponadpodstawowych są studentami. Nie są nimi na przykład uczniowie liceów ogólnokształcących.

Po drugie, definicja sprawozdawcza jest nieadekwatna, gdy jest definicją za wąską. Podana wyżej definicja predykatu „P” jest za wąska, jeżeli tezą rzeczonego języka jest zdanie „/\_x1.../\_xn[R(x₁, ..., x_n) → P(x₁, ..., x_n)]”, ale nie jest tezą tego języka zdanie „/\_x1.../\_xn[P(x₁, ..., x_n) → R(x₁, ..., x_n)]”. Na przykład, za wąska

jest następująca definicja: x jest studentem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest uczniem uniwersytetu. Tezą interesującego nas tu języka jest bowiem zdanie „/\_x(jeżeli x jest uczniem uniwersytetu, to x jest studentem)”, ale nie jest nią zdanie „/\_x(jeżeli x jest studentem, to x jest uczniem uniwersytetu)”, gdyż nie wszyscy studenci są uczniami uniwersytetu. Nie są nimi na przykład osoby studiujące medycynę czy mechanizację rolnictwa.

Po trzecie, definicja sprawozdawcza jest nieadekwatna, gdy jest definicją krzyżującą. Podana wyżej definicja predykatu „P” jest krzyżująca, jeżeli nie jest tezą rzeczonego języka zdanie „/\_x1.../\_xn[P(x₁,...,x_n) → R(x₁,...,x_n)]” ani nie jest jego tezą zdanie „/\_x1.../\_xn[R(x₁,...,x_n) → P(x₁,...,x_n)]”, ale jego tezą jest zdanie „\/_x1...\/_xn[P(x₁, ..., x_n) კ R(x₁, ..., x_n)]”. Na przykład, krzyżująca jest następująca definicja: x jest studentem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest uczniem szkoły ponadpodstawowej znającym język angielski. Nie jest bowiem tezą interesującego nas tu języka zdanie „/\_x(jeżeli x jest studentem, to x jest uczniem szkoły ponadpodstawowej znającym język angielski)” ani też zdanie „/\_x(jeżeli x jest uczniem szkoły ponadpodstawowej znającym język angielski, to x jest studentem)”. Natomiast jest tezą tego języka zdanie „\/_x(x jest studentem i x jest uczniem szkoły ponadpodstawowej znającym język angielski)”. Studenci anglistyki są bowiem uczniami szkół ponadpodstawowych znającymi język angielski. [187/188]

ZADANIA

1. Przeformułuj poniższe definicje metajęzykowe na definicje przedmiotowe, a definicje przedmiotowe na definicje metajęzykowe:

a) Wyrażenie „być licealistą” ma takie samo znaczenie, jak wyrażenie „być uczniem szkoły średniej”,

b) x jest panną wtedy i tylko wtedy, gdy x jest kobietą niezamężną,

c) Wyrażenie „stolica” znaczy tyle samo, co wyrażenie „miasto, w którym znajduje się siedziba rządu”,

d) Zwrot „być przełożonym” jest równoznaczny ze zwrotem „być bezpośrednim zwierzchnikiem”,

e) x jest odyńcem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest dorosłym samcem dzikiej świni,

f) x jest cięższy od y-a w momencie t wtedy i tylko wtedy, gdy x waży więcej niż y w momencie t.

2. W każdej z poniższych definicji wydziel definiendum, wyrażenie definiowane, definiens i spójkę definicyjną:

a) x jest łanią wtedy i tylko wtedy, gdy x jest dorosłą samicą jelenia,

b) x jest doktorem prawa wtedy i tylko wtedy, gdy x obronił pracę doktorską z prawa,

c) x jest przyjacielem y-a w okresie t wtedy i tylko wtedy, gdy x jest serdecznym kolegą y-a w okresie t,

d) 2 = następnik (następnik(0)),

e) y = ojciec chrzestny (x) wtedy i tylko wtedy, gdy y jest mężczyzną, który trzymał x-a do chrztu,

f) log_yx = z ≡ y² = x.

3. Korzystając z powyższych definicji, przełóż następujące zdania na zdania nie zawierające wyrażeń wyżej zdefiniowanych:

a) \/_x\/_y(x jest łanią i y jest łanią i x jest matką y),

b) \/_x/\_y/\_t(jeżeli x jest przyjacielem y-a w okresie t, to x nie jest doktorem nauk prawnych),

c) /\_x(jeżeli x jest doktorem nauk prawnych, to x wie, że 2 • 2 + 2 • 2 = 2³),

d) \/_x\/_y\/_t\/_z(x jest przyjacielem y-a w okresie t i x widział z w okresie t i z jest łanią),

e) \/_x(ojciec chrzestny x-a jest doktorem nauk prawnych),

f) log₃27 - 1 = 2.

4. Sformułuj:

a) definicję przez abstrakcję ciężaru ciała, opierając się na relacji równoważenia się na wadze rzetelnej,

b) definicję przez abstrakcję kierunku prostych danej płaszczyzny, opierając się na relacji równoległości, [188/189]

c) definicję cząstkową bycia młodzieńcem,

d) definicję cząstkową bycia chudym,

e) definicję indukcyjną wyrażenia rachunku zdań, opierając się na określeniu podanym na strome 19,

f) definicję indukcyjną formuły zdaniowej rachunku predykatów, opierając się na określeniu podanym na stronie 56.

5. Podaj definicje sprawozdawcze następujących wyrażeń: być brunetem, być komputerem, być wujkiem, być bliźniakiem, przystawać do, dowód osobisty.

6. Wskaż, które z poniższych definicji są definicjami konstrukcyjnymi, a które definicjami regulującymi:

a) x jest wieżowcem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest budynkiem mającym ponad 8 pięter,

b) x jest konkubiną y-a w okresie t wtedy i tylko wtedy, gdy x jest główną ulicą y-a w okresie t,

c) x jest brisem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest samolotem zdolnym do przekraczania pierwszej prędkości kosmicznej,

d) x jest przedszkolakiem w okresie t wtedy i tylko wtedy, gdy x jest uczniem klasy zerowej w okresie t,

e) x jest dobroczyńcą y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x dobrowolnie loży na utrzymanie y-a,

f) x jest niskim mężczyzną wtedy i tylko wtedy, gdy x jest mężczyzną mierzącym poniżej 160 cm.

7. Podaj definicje regulujące następujących wyrażeń: być szybkim samochodem, jechać z nadmierną prędkością, być doświadczonym kierowcą, być prawdomównym, zaczynać się starzeć, być niedouczonym z logiki.

8. Wskaż definicje perswazyjne wśród następujących definicji:

a) x jest bandziorem wtedy i tylko wtedy, gdy x trudni się sprzedażą narkotyków,

b) x jest poręczycielem y-a wobec z-a wtedy i tylko wtedy, gdy x gwarantuje własnym majątkiem spłatę przez y-a długu wobec z-a,

c) x jest chlebodawcą wtedy i tylko wtedy, gdy x tworzy miejsca pracy dla bezrobotnych,

d) x jest chuliganem ekologicznym wtedy i tylko wtedy, gdy x bezcelowo niszczy przyrodę,

e) x jest taksówkarzem wtedy i tylko wtedy, gdy x utrzymuje się z odpłatnego przewożenia pasażerów samochodem osobowym,

f) x jest mediatorem między y-iem a z-em wtedy i tylko wtedy, gdy x pośredniczy w sporze między y-iem a z-em.

9. Ustal, jakimi biedami obarczone są następujące definicje:

a) x jest maklerem giełdowym wtedy i tylko wtedy, gdy x jest stałym pośrednikiem operacji giełdowych,

b) x jest hipocykloidą wtedy i tylko wtedy, gdy x jest krzywą zakreśloną przez punkt okręgu koła toczącego się bez poślizgu po wewnętrznej stronie stałego koła,

c) x jest sąsiadem y-a wtedy i tylko wtedy, gdy y jest sąsiadem x-a, [189/190]

d) x jest bozonem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest cząsteczką, która interferuje ze znakiem dodatnim,

e) x jest stałym pośrednikiem operacji giełdowych wtedy i tylko wtedy, gdy x jest zawodowym stokbrokerem,

f) x jest zawodowym stokbrokerem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest maklerem giełdowym.

10. Ustal, które z poniższych definicji sprawozdawczych są adekwatne, a które są nieadekwatne i z jakiego względu:

a) x jest prostokątem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest płaską figurą czteroboczną,

b) xjest dziadkiem y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x jest ojcem ojca x-a,

c) x jest trójkątem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest figurą o trzech bokach,

d) x jest bliskim y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x jest rodzicem y-a,

e) x jest kuzynem y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x jest krewnym w linii bocznej y-a,

f) x jest różą wtedy i tylko wtedy, gdy x jest kwiatem koloru różowego. [190/191]

7

---