1. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Metryką w zbiorze X nazywamy funkcję d:XႴX→R spełniającą warunki:

1.

2.

3.

Zbiór X z ustaloną metryką nazywamy przestrzenią metryczną i oznaczamy (X,d).

2. Niech (X,d) przestrzeń metryczna, przestrzeń (Y,d|_YႴY) gdzie Y჌X nazywamy podprzestrzenią.

3. Kulą otwartą o środku x჎X i promieniu r (r>0, r჎R) nazywamy zbiór
   

4. Punkt a jest punktem wewnętrznym zbioru A jeśli istnieje kula B(a,r)჌A.

5. Punkt x₀ jest punktem brzegowym zbioru A jeśli każda kula B(x₀,r) zawiera punkty należące do A i punkty należące do X-A. Zbiór punktów brzegowych zbioru A nazywamy brzegiem zbioru A.

6. Punkt x₀ jest punktem granicznym zbioru A jeśli istnieje a_n჎A, a_n→x₀.

7. Punkt x₀ nazywamy punktem skupienia zbioru A jeśli istnieje ciąg punktów a_n჎A, a_n→x₀, a_n≠x₀.

8. Punkt, który należy do zbioru A i nie jest punktem skupienia zbioru A nazywamy punktem izolowanym zbioru A.

9. Zbiór A jest otwarty jeśli
   

10. Zbiór A jest domknięty jeśli zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.

11. Zbiór A jest brzegowy jeśli A nie zawiera żadnej kuli. Zbiór punktów brzegowych zbioru A nazywamy brzegiem zbioru A.

12. Zbiór A჌X nazywamy gęstym jeśli każda kula w X zawiera punkt zbioru A. (inaczej: jeśli Ā=X)

Dowód:
jest gesty jeśli każdy punkt X albo należy do A, albo jest punktem skupienia A. Jeśli
to każda kula B(x,r) zawiera punkt zbioru A. Więc jeśli A gęsty to każda kula B(x,r) zawiera punkt zbioru A, bo albo
i
, albo
i
. Odwrotnie przyjmiemy, że każda kula
zawiera punkt zbioru A wtedy albo
albo
.

W przestrzeni dyskretnej jedynym zbiorem gęstym jest cała przestrzeń.

13. Niech (X,d) przestrzeń metryczna, A჌X, odległość punktu x od zbioru A
    

14. Niech (X,d) przestrzeń metryczna, A,B჌X odległość zbiorów A i B
    

15. Niech (X1,d1), (X2,d2) przestrzenie metryczne i niech f:X1→X2 będzie funkcją. f jest funkcją ciągłą ciągła w x0 jeśli d1(xn,x0)→0 ⇒ d2(f(xn),f(x0))→0.

Funkcja f jest ciągła ⇔ przeciwobraz każdego zbioru domkniętego jest domknięty (otwartego jest zbiorem otwartym).

Dowód: Przypuśćmy, że f ciągła i B domknięty w X2. Wtedy X2-B otwarty w
otwarty w
domknięty w X1.

16. Niech f:A→R, ჆≠B჌A. Funkcja f jest ciągła jednostajnie na zbiorze B jeśli spełniony jest warunek:

17. Ciąg {a_n} zbieżny
    

18. Ciąg {a_n} jest ograniczony:
    

19. Zbiór A jest ograniczony, jeżeli istnieje kula B(x,r) zawierająca A.

Dowód: (⇒)Przypuśćmy, że A ograniczony, diam A< N. Wybierzmy
. Jeśli
to
.

(⇐) Przypuśćmy, że
. Pokażemy, że

Jeśli xn→x0 to zbiór {x1,x2,...} jest ograniczony.

Dowód:
,
. Wtedy

20. Przestrzeń X jest całkowicie ograniczona jeśli dla każdego
    istnieje skończona
    .

21. Funkcja f:X→Y jest ograniczona jeśli f(X) jest zbiorem ograniczonym.

22. Ciąg {x_n}჎X jest ciągiem Cauchy jeśli
    

Każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy.

Dowód: Niech
wtedy
^(*). Chcemy pokazać, że
. Weźmy
, dla takiego
istnieje
spełniające^(*)wtedy dla

.

Każdy ciąg Cauchy jest ograniczony.

Dowód: Przyjmijmy, że
ciąg Cauchy. Weźmy

tzn.
. Niech
. Wtedy kula
zawiera wszystkie

23. Przestrzeń (X,d) nazywamy zupełną jeśli każdy ciąg Cauchy w X jest zbieżny.

24. Twierdzenie Baire'a

(X,d)≠჆ przestrzeń zupełna, A_n ciąg zbiorów domkniętych i brzegowych. Wtedy
też jest zbiorem brzegowym, nie zawiera żadnej kuli więc nie jest przestrzenią.

25. Przestrzeń (X,d) jest ośrodkowa jeśli istnieje zbiór gęsty przeliczalny.

26. Przestrzeń (X,d) metryczna jest zwarta jeśli każdy ciąg x_n჎X posiada podciąg zbieżny
    .

27. Obraz przestrzeni zwartej przez funkcję ciągłą jest zwarty.

Dowód: Chcemy pokazać, że
jest zwarte. Niech
. Ciąg
, X jest zwarte więc istnieje
. Funkcja f jest ciągła więc
. Więc znaleźliśmy podciąg ciągu {an}zbiezny w
jest zwarte.

Jeśli (X,d) przestrzeń zwarta i f:X→R ciągła to f jest ograniczona przyjmuje wartość min i max.

Jeśli (X,d) zwarte i f:X→Y ciągła to f jest ciągła jednostajnie.

28. Przestrzeń (X,d) jest spójna jeśli nie jest sumą swoich dwóch podzbiorów otwartych, niepustych i rozłącznych

Podzbiór P przestrzeni spójnej X jest spójny ⇔ P jest przedziałem

29. Jeśli
    i
    i każdy A_i jest spójny to A jest spójny.

Dowód: Przypuśćmy, że
domknięte i
. Pokażemy, że
lub
. Niech
. Pokażemy, że
wiec
. Zbiór
i
są domknięte w
, tzn., że jeśli
i jest punktem skupienia zbioru
to należy do
. Ciąg
.
,
domknięte więc
.
spójna,
wiec
dla każdego i. Więc
nie zawiera żadnych punktów,

Jeśli A jest zbiorem spójnym w przestrzeni X i A჌B჌Ā to B jest spójne.

Dowód: Przypuśćmy, że
rozłączne i domknięte w zbiorze
. Wtedy
i
są domknięte w
, rozłączne i
. Ponieważ
jest spójne to
lub
jest puste. Np.
jest puste, wtedy
. Stąd
. Chcemy pokazać, że
(czyli
),
jest zbiorem domkniętym w
.
. Jeśli
to
więc
jest punktem skupienia zbioru
. Jeśli
,
jest punktem skupienia zbioru A ⇒
jest punktem skupienia zbioru
⇒
bo
domknięte w B. Nie ma punktów zbioru B, które nie należą do
,
,

30. Ciągły obraz przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną.

Dowód: Chcemy pokazać, że
jest zbiorem spójnym. Przypuśćmy, że
zbiory domknięte i rozłączne. Pokażemy, że
lub

suma zbiorów rozłącznych i domkniętych. Pokażemy, że
domknięty. Niech
punkt skupienia zbioru
,
,
. Wtedy
,
,
.
jest punktem skupienia zbioru B1 w f(x), B1domknięty w f(x)więc
.Więc
domknięty, X spójne więc
lub
lub

31. Przestrzeń X jest lokalnie spójna jeśli
    

32. Składową spójności punktu x჎X jest suma wszystkich zbiorów spójnych w X zawierających punkt x. Jest największym zbiorem spójnym zawierającym X.

33. (X₁,d₁), (X₂,d₂) - przestrzenie metryczne, iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych to X=(X₁ႴX₂,d)
    - metryka produktowa

34. Iloczyn kartezjański przestrzeni zupełnych jest przestrzenią zupełną.

Dowód:
. Przypuśćmy, że
ciąg Cauchy
,
, xn ciąg Cauchy w X,
, yn ciąg Cauchy w Y. Stąd
. Czyli
jest przestrzenią zupełną.

Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenią zwartą.

Dowód: Ciąg punktów w
. Chcemy znaleźć podciąg zbieżny
, więc istnieje
jest podciągiem
,
jest podciągiem
. Wtedy
Zatem iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych jest zwarty.

Iloczyn kartezjański przestrzeni całkowicie ograniczonych jest przestrzenią całkowicie ograniczoną.

Iloczyn kartezjański przestrzeni spójnych jest przestrzenią spójną.

Iloczyn kartezjański przestrzeni ośrodkowych jest przestrzenią ośrodkową.

35. Funkcja g:(X,d1)→(YႴZ,d) jest ciągła ⇔ g1:X→Y i g2:X→Z są ciągłe.

Dowód:Przypuśćmy,że g ciągła,
to
⇔

X jest przestrzenią normalną jeśli każdy zbiór jednopunktowy jest domknięty i dla każdych dwóch zbiorów domkniętych A, B rozłącznych istnieją C, D takie, że A჌C, B჌D i CჇD=჆.

8.Udowodnić, że jeśli zbiory A i B są spójne i nie są rozłączne to ich suma jest spójna

Dowód: Niech(X,d) przestrzeń metryczna, A,BcX zbiory spójne, A∩B≠O/. Wtedy AUB zbiór spójny. Dla dowodu niewprost zał. Że AUB jest niespójny, tzn jest sumą. AUB= XUY, gdzie X,Y otwarte niepuste i X∩Y=O/. Niech xo€ A∩B, musi być xo€X lub xo€Y. Przyjmijmy xo€X. Rozważmy zbiory: A∩X i A∩Y. Są one otwarte w A i rozłączne. Ponieważ A jest spójny, wiec jeden z nich musi być pusty. Ale xo€A∩X wiec A∩Y=O/. Analogicznie dla zbioru B rozważmy zbiory B∩X i B∩Y. Są one otwarte w B i rozłączne. Ponieważ B jest spójny więc jeden z nich musi być pusty. Ale xo€B∩X, zatem B∩Y=o/. Otrzymujemy: Y=Y∩(AUB)= (Y∩A)U(Y∩B)= (A∩Y)U(B∩Y)=o/, czyli sprzeczność. Zatem AUB musi być spójny.

1.Udowodnić, że ciąg Cauchy jest ograniczony.

Dowód: Przyjmijmy, że
ciąg Cauchy. Weźmy

, tzn.
. Niech
. Wtedy kula
zawiera wszystkie
.

2.Udowodnić, że ciąg ma najwyżej jedną granicę.

Dowód: Przypuśćmy, że ciąg
ma dwie granice
. Weźmy liczbę
i rozważmy otoczenia liczb
o promieniu
. Zgodnie z definicją w otoczeniu
w przedziale
znajdują się prawie wszystkie wyrazy tego ciągu, a więc w przedziale
znajduje się tylko ich skończona ilość. Zatem
nie może być granicą ciągu
.

3.Udowodnić, korzystając tylko z definicji, że jeśli F jest taką funkcją dla której przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest otwarty to obraz każdego ciągu zbieżnego jest zbieżny.

Dowód: Niech
przestrzenie metryczne. Niech
taka, że
otwarty w X. Niech
taki, że
. Pokazać, że
zbieżny w Y do
. Ze zbieżności
dla dowolnego
i
jest zbiorem otwartym. Zatem
jest otwarty, zatem istnieje
takie, że
, a stąd
. Ponieważ
więc istnieje
takie, że jeśli
to
, ale wtedy
.

4.Udowodnić, że podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej jest domknięty.

Dowód: Niech
przestrzeń metryczna,
jest przestrzenią zwartą i
. Pokażemy, że
. Ponieważ
zwarty więc istnieje podciąg
zatem
.

5.Udowodnić, że jeśli F:X→Y jest funkcją ciągłą to jej wykres jest domknięty w iloczynie kartezjańskim przestrzeni X i Y.

Dowód: Niech
przestrzenie metryczne,
funkcja ciągła. Pokażemy, że wykres F, tj. zbioru
jest domknięty w
. Niech
będzie punktem skupienia
. Pokażemy, że
. Istnieje ciąg
taki, że
oraz
dla
. Ponieważ
, więc
. Wiemy, że
dla
zatem z ciągłości funkcji F wynika, że
, czyli
, ale w przestrzeni metrycznej ciąg może mieć tylko jedną granicę więc
, a to oznacza, że punkt

6.Udowodnić, że jeśli F:X→Y jest jednostajnie ciągła to obraz ciągu Cauchy jest ciągiem Cauchy.

Dowód: Niech
przestrzenie metryczne,
ciąg Cauchy. 
jest jednostajne ciągła tzn.
⁽¹⁾
 jest ciągiem Cauchy w X tzn.
⁽²⁾. Aby pokazać, że
jest ciągiem Cauchy ustalamy dowolne
. Istnieje takie
takie, że zachodzi ⁽¹⁾. Z ⁽²⁾ dla
dobieramy
. Dla dowolnego
mamy: z ⁽²⁾ wynika, że
, z ⁽¹⁾ wynika, że

7.Udowodnić, że suma dwóch zbiorów zwartych jest zbiorem zwartym.

Dowód: Niech
zwarte. Niech
będzie rodziną zbiorów otwartych pokrywających zbiór
. Rodzina ta pokrywa zbiór
oraz zbiór
. Jeżeli
zwarty zatem istnieje podciąg
dla pewnego
takie, że rodzina
pokrywa zbiór
. Jeżeli
zwarty zatem istnieje podciąg
dla pewnego
takie, że rodzina
pokrywa zbiór
. Zauważmy, że rodzina
pokrywa zbiór
i jest skończoną podrodziną rodziny
. Zatem
jest zwarty.

---