WYKŁAD 10 .

Drgania poprzeczne belki :

1. Metoda KRYŁOWA , CAUCHIEGO .

1. Warunki brzegowe .

1. Warunki własne (kształtu) .

1. Równanie charakterystyczne .

1. Drgania parametryczne belki obciążonej siłą osiową harmonicznie zmienną .

y

l

. x

EI

Rys.10.1. Belka drgająca poprzecznie.

(10.1)

Równanie (10.1) przedstawia równanie osi ugiętej .

(10.2)

Przekształcając powyższe zależności otrzymujemy :

(10.3)

(10.4)

x

Rys.10.2. Przekrój poprzeczny belki .

(10.5)

(10.6)

Równanie (10.6) jest równaniem cząstkowym IV rzędu .

(10.7)

(10.8)

Przekształcając powyższą zależność otrzymujemy :

(10.9)

(10.10)

(10.11)

Podstawiając równanie (10.10) do równania (10.11) i przekształcając otrzymujemy :

(10.12)

(10.13)

(10.14)

.

gdzie:

-masa jednostkowa

λ - pierwiastek

(10.15)

gdzie:

(10.16)

Równania (10.16) przedstawiają funkcje KRYŁOWA .

gdzie:

(10.16a)

Funkcje Kryłowa redukują dwie stałe z założonych warunków brzegowych .

(10.17)

(10.18)

K2

K1 K3

K4

Rys..10.3. Zależnośź między funkcjami Krułowa .

1) 2)

x

3)

x

Rys.10.4. Rodzaje zamocowania belek .

Warunki brzegowe dla belek (rys.10.4.) .

1) 2)

3)

l

EI

Rys.10.5.Belka utwierdzona jednym końcem o długości l .

Warunki brzegowe :

(10.19)

(10.20)

(10.21)

Podstawiając warunki (10.21) do równań (10.20) otrzymujemy :

(10.22)

Podstawiając długość belki l do równania (10.22) otrzymujemy :

(10.23)

gdzie:

β=λl (10.23a)

Podstawiając zależność (10.23a) do równań (10.23) tworzymy macierz :

(10.24)

Obliczając powyższą macierz otrzymujemy :

(10.25)

Zależność (10.25) przedstawia równanie charakterystyczne .

Wstawiając funkcje Kryłowa do powyższej zależności otrzymujemy :

(10.26)

Przekształcając powyższą zależność otrzymujemy :

(10.27)

Ostateczna postać równania charakterystycznego (10.28) jest następująca :

(10.28)

(10.28a)

1

β

β1 β2 β3 β4

-1

Rys.10.6. Rozwiązanie równania charakterystycznego .

(10.29)

Zależność (10.29) opisuje ogólną postać pierwiastków równania charakterystycznego .

(10.30)

(10.31)

gdzie:

-sztywność

Wzór (10.31) opisuje częstotliwość własną drgań .

(10.32)

(10.33)

(10.34)

Podstawiajac zależność (10.34) do równania (10.33) otrzymujemy równanie opisujące

funkcje kształtu (10.35) .

(10.35)

l

Rys.10.7. Fazy drgań belki utwierdzonej o długości l .

(10.36)

(10.37)

---