W3 E, Ekonometria


Weryfikacja jednorównaniowego liniowego modelu ekonometrycznego

Weryfikacja założeń Gaussa-Markowa

Test zgodności 0x01 graphic
, test Shapiro-Wilka, test Jarque-Bera

Testy normalności rozkładu składnika losowego (n. reszt)

Test zgodności 0x01 graphic
(powtórzenie)

Duża próba (nie mniejsza niż 50 obserwacji)

Przykład

Sprawdzić, czy można na poziomie istotności 0,05 uważać, że rozkład reszt pewnego modelu jest rozkładem normalnym.

Do potrzeb omawianego testu potrzebne są dane (reszty) pogrupowane w szeregu rozdzielczym:

eid

-

eig

ni

eid

eig

0x01 graphic

ni

0x01 graphic

-10

-

-8

2

-10

-8

-9

2

162

-8

-

-6

0

-8

-6

-7

0

0

-6

-

-4

11

-6

-4

-5

11

275

-4

-

-2

18

-4

-2

-3

18

162

-2

-

0

34

-2

0

-1

34

34

0

-

2

29

0

2

1

29

29

2

-

4

19

2

4

3

19

171

4

-

6

11

4

6

5

11

275

6

-

8

1

6

8

7

1

49

8

-

10

1

8

10

9

1

81

126

n=126

1238

Aby porównać rozkład reszt z próby z rozkładem normalnym trzeba określić parametry rozkładu. Ponieważ wartość oczekiwana składnika losowego wynosi zero (a w przypadku reszt otrzymanych dla modelu szacowanego KMNK średnia dla reszt także wynosi zawsze zero), zatem szacujemy tylko jeden parametr - odchylenie standardowe przez odchylenie standardowe z próby:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
,

zatem stawiamy hipotezy:

H0: rozkład odchyleń jest zgodny z rozkładem N(0;3,13),

H1: rozkład odchyleń nie jest zgodny z rozkładem N(0;3,13).

Kolejnym krokiem jest wyznaczenie prawdopodobieństw pi, z którymi zmienna o rozkładzie założonym w hipotezie zerowej należy do poszczególnych przedziałów klasowych:

0x01 graphic
0x01 graphic

Do zamieszczenia pozostałych obliczeń wykorzystamy tabelę pomocniczą:

eid

eig

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

-10

-8

-3,190

-2,552

0

0,005

0,005

-8

-6

-2,552

-1,914

0,005

0,028

0,022

-6

-4

-1,914

-1,276

0,028

0,101

0,073

-4

-2

-1,276

-0,638

0,101

0,262

0,161

-2

0

-0,638

0

0,262

0,500

0,238

0

2

0

0,638

0,500

0,738

0,238

2

4

0,638

1,276

0,738

0,899

0,161

4

6

1,276

1,914

0,899

0,972

0,073

6

8

1,914

2,552

0,972

0,995

0,022

8

10

2,552

3,190

0,995

1

0,005

Teraz już można przejść do wyznaczenia wartości sprawdzianu testu:

eid

-

eig

ni

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

-10

-

-8

2

0,005

1,877

2,979

-8

-

-6

0

0,022

7,684

2,772

-6

-

-4

11

0,073

3,247

0,353

-4

-

-2

18

0,161

5,226

0,258

-2

-

0

34

0,238

16,096

0,537

0

-

2

29

0,238

0,976

0,033

2

-

4

19

0,161

1,654

0,082

4

-

6

11

0,073

3,247

0,353

6

-

8

1

0,022

3,140

1,133

8

-

10

1

0,005

0,137

0,217

8,716

Sprawdzian testu 0x01 graphic

0x01 graphic
, liczba stopni swobody 10-1-1=8, wartość krytyczna 0x01 graphic
. Obszar odrzucenia 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Zatem na poziomie istotności 0,05 nie ma podstaw, by twierdzić, że rozkład wyników z próby nie pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym (rozkład nie różni się istotnie od normalnego).

Testy normalności: test Shapiro-Wilka

Stawiamy hipotezy:

H0: ၥ~N(0,ၳ); rozkład składnika losowego modelu jest rozkładem normalnym,

H1: იၥ~N(0,ၳ); składnik losowy modelu ma rozkład różny od normalnego.

Sprawdzianem testu jest statystyka

0x01 graphic
,

gdzie

ai - współczynnik Shapiro-Wilka, stała zależna od n oraz od k,

ei - reszty modelu uporządkowane rosnąco.

Obszar odrzucenia hipotezy jest lewostronny:

0x01 graphic
,

gdzie W* jest wartością krytyczną odczytaną z tablic wartości krytycznych do testu Shapiro-Wilka.

(test może być stosowany dla małych prób, jest mało wrażliwy na autokorelację i heteroskedastyczność)

Przykład:

Bank „Grosik” zlecił wykonanie prognozy sumy kredytów udzielanych gospodarstwom domowym na styczeń 2002 na podstawie modelu regresji liniowej z dwoma zmiennymi objaśniającymi: x1 - przeciętne miesięczne wynagrodzenie netto, x2 - kurs dolara w NBP. Na podstawie danych z 24 miesięcy poprzedzających (z lat 2000, 2001) otrzymano model 0x01 graphic
.


Lp.

x1

x2

yi

-217,65+0,14x1++71,76x2

ei

1

674,5

2,51

52,3

56,2

-3,9

2

687,5

2,54

59,9

60,2

-0,3

3

722,1

2,57

64,0

67,1

-3,1

4

747,8

2,62

68,8

74,3

-5,5

5

761,1

2,67

73,7

79,7

-6,0

6

748,3

2,71

78,2

80,8

-2,6

7

782,8

2,71

83,4

85,6

-2,3

8

765,9

2,73

88,2

84,7

3,4

9

772,6

2,78

94,0

89,2

4,7

10

816,4

2,82

100,8

98,2

2,6

11

857,3

2,82

107,0

103,9

3,1

12

923,1

2,86

116,7

115,9

0,8

13

844,2

2,93

119,6

109,9

9,7

14

848,2

3,03

123,1

117,7

5,4

15

887,0

3,08

128,3

126,7

1,6

16

913,1

3,12

134,6

133,2

1,4

17

906,2

3,17

140,0

135,8

4,2

18

962,1

3,24

148,3

148,6

-0,3

19

975,5

3,39

153,8

161,2

-7,4

20

936,9

3,48

158,9

162,3

-3,4

21

957,3

3,45

164,0

163,0

1,0

22

995,8

3,42

170,8

166,2

4,6

23

1032,2

3,51

175,0

177,7

-2,7

24

1109,2

3,52

184,0

189,1

-5,2

Suma

20627,1

71,68

2787,3

2787,3

0

Suma kwadratów

442,18

Zweryfikować hipotezę o normalności rozkładu składnika losowego modelu.

H0: ၥ~N(0,ၳ); rozkład składnika losowego modelu jest rozkładem normalnym,

H1: składnik losowy modelu ma rozkład różny od normalnego. Obliczenia do sprawdzianu testu prowadzimy w tabeli:


ei

en-i+1

en-i+1-ei

ai

ai (en-i+1-ei)

-7,4

9,7

17,1

0,4493

7,68303

-6

5,4

11,4

0,3098

3,53172

-5,5

4,7

10,2

0,2554

2,60508

-5,2

4,6

9,8

0,2145

2,1021

-3,9

4,2

8,1

0,1807

1,46367

-3,4

3,4

6,8

0,1512

1,02816

-3,1

3,1

6,2

0,1245

0,7719

-2,7

2,6

5,3

0,0997

0,52841

-2,6

1,6

4,2

0,0764

0,32088

-2,3

1,4

3,7

0,0539

0,19943

-0,3

1

1,3

0,0321

0,04173

-0,3

0,8

1,1

0,0107

0,01177

0,8

-0,3

1

-0,3

1,4

-2,3

1,6

-2,6

2,6

-2,7

3,1

-3,1

3,4

-3,4

4,2

-3,9

4,6

-5,2

4,7

-5,5

5,4

-6

9,7

-7,4

0x01 graphic

0x01 graphic

Wartość krytyczna dla n=24 na poziomie istotności ၡ=0,05 wynosi W*=0,916, obszar odrzucenia 0x01 graphic
, W> W*, zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0, tzn. nie ma podstaw, aby uważać rozkład składnika losowego modelu za różny od normalnego.


Testy normalności: test Jarque-Bera

Stawiamy hipotezy:

H0: ၥ~N(0,ၳ); rozkład składnika losowego modelu jest rozkładem normalnym,

H1: იၥ~N(0,ၳ); składnik losowy modelu ma rozkład różny od normalnego.

Sprawdzianem testu jest statystyka

0x01 graphic

gdzie:

0x01 graphic
jest miarą asymetrii reszt, 0x01 graphic
,

0x01 graphic
jest obciążonym estymatorem odchylenia standardowego reszt,

0x01 graphic
jest miarą tzw. kurtozy („smukłości” rozkładu) reszt; kurtoza rozkładu normalnego jest równa 3

Przy założeniu prawdziwości statystyka JB ma rozkład 2 z dwoma stopniami swobody. Obszar odrzucenia hipotezy zerowej jest prawostronny.

Przykład:

Zweryfikujemy hipotezę o normalności rozkładu składnika losowego modelu z poprzedniego przykładu przy pomocy testu Jarque-Bera.


ei

ei2

ei3

ei4

-3,92

15,37

-60,24

236,16

-0,28

0,08

-0,02

0,01

-3,14

9,88

-31,05

97,60

-5,50

30,29

-166,75

917,78

-6,04

36,50

-220,50

1332,13

-2,63

6,93

-18,25

48,05

-2,23

4,97

-11,07

24,67

3,49

12,15

42,33

147,54

4,77

22,71

108,21

515,67

2,61

6,79

17,70

46,12

3,12

9,74

30,39

94,83

0,80

0,65

0,52

0,42

9,65

93,06

897,77

8660,66

5,41

29,31

158,68

859,08

1,63

2,66

4,35

7,09

1,43

2,05

2,94

4,22

4,20

17,67

74,28

312,25

-0,29

0,08

-0,02

0,01

-7,42

55,04

-408,35

3029,53

-3,41

11,65

-39,74

135,62

1,00

1,01

1,01

1,02

4,61

21,22

97,72

450,12

-2,71

7,36

-19,97

54,18

-5,13

26,36

-135,35

694,94

Suma

423,526

324,5842

17669,69

Średnia

17,65

13,52

736,24

Zgodnie z wartościami obliczonymi w tabeli

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic

Wartość krytyczna dla poziomu istotności 0,05 wynosi 5,99, obszar odrzucenia 0x01 graphic
. Nie ma zatem podstaw by uważać, że rozkład składnika losowego różni się istotnie od rozkładu normalnego.


Istnienie autokorelacji rzędu I - test Durbina-Watsona

Hipoteza zerowa:

0x01 graphic
; nie występuje autokorelacja (rzędu pierwszego) składnika losowego modelu,

gdzie0x01 graphic
- nieznana wartość współczynnika autokorelacji rzędu pierwszego w populacji, którego estymatorem jest współczynnik autokorelacji w próbie 0x01 graphic
wyznaczany jako: 0x01 graphic

Dla 0x01 graphic
hipoteza alternatywna formułowana jest w postaci:

0x01 graphic

Sprawdzianem w tym teście (dla modeli, w których nie występują zmienne endogeniczne opóźnione) jest statystyka Durbina-Watsona postaci:

0x08 graphic
Dla zadanego poziomu istotności ၡ w tablicach statystycznych odczytuje się wartości krytyczne: dolną 0x01 graphic
i górną 0x01 graphic
rozkładu Durbina-Watsona w zależności od liczby szacowanych parametrów (k+1) oraz liczebności próby statystycznej T.

Jeżeli DW < 0x01 graphic
, wówczas odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej, co oznacza istnienie dodatniej autokorelacji.

Jeżeli DW > 0x01 graphic
, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, czyli stwierdzamy brak istotnej korelacji dodatniej.

W sytuacji gdy 0x01 graphic
test nie daje odpowiedzi na temat występowania autokorelacji, jest to tak zwany obszar niekonkluzywności.

W celu zweryfikowania hipotezy o występowaniu ujemnej autokorelacji, hipotezę alternatywną formułuje się jako:

0x01 graphic
, a sprawdzianem tej hipotezy jest statystyka: 0x01 graphic

którą porównuje się z wartościami krytycznymi 0x01 graphic
i 0x01 graphic
w taki sam sposób, jak w przypadku autokorelacji dodatniej.


Przykład

Dla danych z poprzedniego przykładu zweryfikuj hipotezę o występowaniu autokorelacji składnika losowego rzędu 1.

ei

ei-1

ei ei-1

(ei - ei-1)2

-3,92

-0,28

-3,92

1,098975

13,24817

-3,14

-0,28

0,881137

8,195366

-5,50

-3,14

17,29987

5,574273

-6,04

-5,50

33,25229

0,28869

-2,63

-6,04

15,9063

11,61783

-2,23

-2,63

5,867776

0,163415

3,49

-2,23

-7,76723

32,64779

4,77

3,49

16,60803

1,638784

2,61

4,77

12,41848

4,662675

3,12

2,61

8,132321

0,264812

0,80

3,12

2,506225

5,370736

9,65

0,80

7,747631

78,21243

5,41

9,65

52,22706

17,91855

1,63

5,41

8,834804

14,30342

1,43

1,63

2,338474

0,039558

4,20

1,43

6,023779

7,676501

-0,29

4,20

-1,2223

20,19974

-7,42

-0,29

2,157226

50,81125

-3,41

-7,42

25,31791

16,0511

1,00

-3,41

-3,42884

19,51298

4,61

1,00

4,628005

12,96949

-2,71

4,61

-12,4967

53,57024

-5,13

-2,71

13,92998

5,862532

0

Suma

212,2612

380,8003

Dla powyższych danych mamy

0x01 graphic

Zatem stawiamy hipotezę alternatywną

0x01 graphic
.

Statystyka 0x01 graphic
. Z tablic rozkładu Durbina-Watsona odczytujemy dla k=2 i n=24 dl=1,19, du=1,55. Wyznaczona wartość DW< dl, zatem odrzucamy hipotezę zerową i wnioskujemy, że w modelu występuje autokorelacja dodatnia.


W przypadku istnienia autokorelacji składnika losowego należy zmienić postać modelu, dokonać transformacji zmiennych, np. zgodnie z metodą Cochrane'a-Orcutta (Gruszczyński) lub przeszacować parametry przy pomocy uogólnionej metody najmniejszych kwadratów

Heteroskedastyczność: test Goldfelda-Quandta o jednorodności wariancji

Stawiamy hipotezy:

H0: ၳ12=ၳ22=...ၳr2 lub ၳ2 = const; wariancja rozkładu reszt modelu jest stała, (model jest homoskedastyczny)

H1: ၳ2 Ⴙ const; wariancja rozkładu reszt modelu nie jest stała (model jest heteroskedastyczny).

Sprawdzianem testu jest statystyka

0x01 graphic

Statystyka F ma rozkład Fishera-Snedecora z n1-(k+1) (liczebność próby z licznika sprawdzianu) i n2-(k+1) (liczebność próby z mianownika sprawdzianu) stopniami swobody. Obszar odrzucenia jest prawostronny.

Zastosowanie klasycznej MNK do oszacowania parametrów modeli heteroskedastycznych powoduje, iż estymatory tychże parametrów nie są najbardziej efektywne. Postuluje się wówczas stosowanie innych metod estymacji (uogólnionej MNK, ważonej MNK). W wyniku stosowania np. uogólnionej MNK wartości ocen estymatorów parametrów z reguły nie ulegają zmianie, następuje jednak przeszacowanie błędów standardowych.


Przykład

W trzech zakładach o jednakowym profilu produkcji badano zależność między stażem pracy pracowników mierzonym w latach (x), a wydajnością określaną jako przeciętna liczba wykonanych operacji (yi).

x

y1

y2

y3

0

20

22

20

1

40

36

38

2

40

44

44

3

60

56

58

4

60

62

60

Oszacowano parametry modeli: 0x01 graphic
(i=1, 2, ..., = 5) dla każdego zakładu osobno oraz dla wszystkich trzech zakładów łącznie i wyznaczono dla nich wariancje resztowe.

Zakład

a0

a1

S(a0)

S(a1)

R2

I

24

10

4,90

2,00

0,89

II

24

10

3,58

1,46

0,94

III

24

10

1,79

0,73

0,98

Łącznie

24

10

1,75

0,72

0,94

Otrzymane oceny parametrów dla wszystkich modeli: 0x01 graphic
. Modele te różnią się jednak między sobą wartościami standardowych błędów szacunku oraz wartością współczynnika determinacji.

Kwadraty reszt empirycznych 0x01 graphic

Nr obserwacji

Zakład I

Zakład II

Zakład III

1

16

4

16

2

36

4

16

3

16

0

0

4

36

4

16

5

16

4

16

Suma

120

16

64

Zbadamy, czy model jest homoskedastyczny:

H0: ၳ2 = const,

H1: ၳ2 Ⴙ const.

Wartości wariancji reszt dla poszczególnych zakładów:

0x01 graphic
dla pierwszego zakładu,

0x01 graphic
dla drugiego zakładu,

0x01 graphic
dla trzeciego zakładu oraz

0x01 graphic

Dla = 0,05 i r1 = 3 oraz r2 = 3 stopni swobody F = 6,39, 0x01 graphic
. Odrzucamy zatem hipotezę o jednorodności wariancji składnika losowego.


Zgodność charakteru zależności z przyjętą w modelu postacią funkcyjną modelu (liniowość modelu): test liczby serii

Test serii dla liniowości modelu można zastosować do danych, w których obserwacje i odpowiadające im reszty można uporządkować. Zazwyczaj:

Stawiamy hipotezy:

H0: oszacowany model ekonometryczny jest liniowy,

H1: oszacowany model ekonometryczny nie jest liniowy.

W ciągu reszt obserwujemy ich znaki (możemy przypisać resztom dodatnim symbol a, resztom ujemnym symbol b) i obliczamy liczbę serii wartości dodatnich lub ujemnych; reszty równe zero pomijamy. Liczba serii jest wartością sprawdzianu testu. Obszar odrzucenia w tym teście jest lewostronny 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
jest wartością odczytaną z tablic rozkładu serii dla n1 i n2 równych liczbie reszt dodatnich oraz ujemnych.

Przykład

Zweryfikujmy liniowość modelu z przykładu o banku „Grosik”. W tabeli z wartościami reszt modelu w kolejnych miesiącach obliczamy liczbę serii wartości dodatnich i ujemnych, która wynosi 5, dla n1=12 reszt dodatnich i n2=12 reszt ujemnych. Przyjmując poziom istotności 0,05 otrzymamy 0x01 graphic
=8. Liczba serii 5 należy do obszaru odrzucenia hipotezy o liniwości modelu, zatem należy uznać, że model liniowy nie oddaje właściwie zależności między zmiennymi objaśniającymi i objaśnianą w tym przypadku. Ten fakt może być także przyczyną autokorelacji reszt modelu. Należałoby zastosować inną postać modelu.

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
11. ekonomika Ăw3 pyt1, Pedagogika zdrowia, ekonomika zdrowia
ekonomika w3
Przykładowe pytania do egzaminu W3 W5 i W7, Budownictwo PK, Ekonomika budownictwa
Ekonomia Drdrozdrowski, w3
ekonometria W3
Ekonomia Drdrozdrowski w3
ekonomika w3
geoeko-W3, Studia, Geologia i ekonomika złóż
Ekonomia w3 przeds nw
EKONOMIKA MIAST I REGIONÓW W3
Spoleczno ekonomiczne uwarunkowania somatyczne stanu zdrowia ludnosci Polski
Ekonomia konspekt1
EKONOMIKA TRANSPORTU IX
Ekonomia II ZACHOWANIA PROEKOLOGICZNE
Ekonomia9

więcej podobnych podstron