ZADANIA

ANALIZA MATEMATYCZNA

1. Wyznaczyć granicę funkcji:

2. 
   ;

3. 
   ;

4. 
   ;

5. 
   ;

6. 
   ;

7. 
   ;

8. 
   ;

9. 
   ;

10. 
    ;

11. 
    ;

12. 
    ;

13. 
    ;

14. 
    ;

15. 
    ;

16. 
    ;

17. 
    ;

18. 
    ;

19. 
    ;

20. 
    .

2. Dla niżej podanych funkcji wyznacz dziedzinę, granicę lewostronną i prawostronną w punktach, w których nie są określone:

1. 
   ,

2. 
   .

3. Obliczyć jednostronne granice funkcji. Czy istnieje granica funkcji w punkcie
   ?

a)
w punkcie
,

b)
w punkcie
,

c)
w punkcie
.

4. Wykaż, że nie istnieje granica
   .

5. Wyznacz równania wszystkich asymptot wykresu funkcji o wzorze
   .

6. Zbadaj, czy funkcja  jest ciągła w punkcie
   . W przypadku nieciągłości określić jej rodzaj.

1. 
   

2. 
   

3. 
   .

7. Znajdź skok funkcji
   w punkcie nieciągłości.

8. Zbadaj, czy funkcja jest ciągła w całej swojej dziedzinie

1. 
   

2. 
   .

9. Dana jest funkcja
   .

Wyznacz a tak, aby funkcja była ciągła w punkcie x₀ = -1. Narysuj wykres funkcji dla wyznaczonego a.

10. Oblicz na podstawie definicji pochodną funkcji

1. f(x) =
   w punkcie x₀ = 1.

2. f(x) =
   w punkcie x₀ .

11. Oblicz pochodną funkcji , gdy:




2. 
   

3. 
   

4. 
   

5. 
   

6. 
   

7. 
   

8. 
   

9. 
   

10. 
    

11. 
    

12. 
    

13. 
    

14. 
    

15. 
    

16. 
    

17. 
    

18. 
    

19. 
    .

12. Napisać równania stycznych do krzywej o równaniu
    w punktach przecięcia się jej z osią odciętych.

13. Dane są dwa punkty A(1, 2), B(3, 10) należące do wykresu funkcji
    . Napisać równanie siecznej przechodzącej przez te punkty i równanie stycznej równoległej do tej siecznej.

14. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

5. 
   

6. 
   

7. 
   

8. 
   

15. Wyznacz ekstrema funkcji:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

5. 
   

6. 
   

7. 
   

8. 
   .

16. Wyznacz ekstrema globalne funkcji

1. 
   w przedziale <-1, 2>,

2. 
   w przedziale <-2, 2>,

3. 
   w przedziale <1, e>,

4. 
   w przedziale ,
   .

17. Znaleźć pochodną rzędu drugiego funkcji

1. 
   

2. 
   

3. 
   

18. Wyznaczyć punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji

1. 
   

2. 
   

3. 
   

19. Wyznacz przedziały monotoniczności wielomianu
    , jeśli wiadomo, że reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x - 2) wynosi -2, zaś współczynnik kierunkowy stycznej do jego wykresu w punkcie odciętej 1 wynosi -1.

20. Dana jest funkcja f(x) =
    , x ∈ R - {-2}.

a) Dla jakich m asymptotą poziomą wykresu funkcji jest prosta o równaniu y = 3?

b) Dla m = 1 wyznacz ekstrema funkcji f.

21. Na krzywej o równaniu xy = 4 obrano punkty A(1, 4) oraz B(2, 2). Wyznacz na krzywej taki punkt C o ujemnych współrzędnych, aby pole ΔABC było najmniejsze.

22. Liczbę dodatnią przedstawić w postaci sumy dwóch składników dodatnich tak, aby iloczyn ich był możliwie największy.

23. Długości ramion i mniejsza podstawa trapezu mają po 10 cm. Wyznaczyć jego większą podstawę tak, aby pole trapezu było największe.

24. Skrzynka z pokrywą w kształcie prostopadłościanu ma mieć pojemność 576 cm³. Krawędzie podstawy mają być w stosunku 1:2. Jakie powinny być wymiary wszystkich krawędzi, aby na skrzynkę zużyć jak najmniej materiału.

25. Działkę prostokątną o powierzchni 1250 m² i przyległą jednym z boków do kanału należy ogrodzić płotem. Jakie powinny być wymiary działki, aby długość płotu była najmniejsza.

26. Okno o obwodzie 2p ma kształt prostokąta zakończonego półkolem. Jakie powinny być wymiary części prostokątnej okna, aby ilość światła przenikającego przez nie była jak największa.

27. Cena zbytu pewnego wyrobu jest ustalona i równa p zł/jedn. Koszt całkowity K(x) (zł) produkcji jest zależny od wielkości (x jedn.) produkcji według wzoru K(x)=0,1x²+10x+40. Przy jakiej wielkości produkcji zysk przeciętny na jednostce wyrobu jest największy.

28. Zapas z ton pewnego towaru w magazynie zmienia się w ciągu miesiąca (30 dni) i po upływie t dni (licząc od początku miesiąca) wyraża się wzorem z(t)=0,01t³+0,15t²-18t+300. W którym dniu zapas ten jest najmniejszy. Jaki jest średni zapas w ciągu miesiąca.

29. W pewnym fikcyjnym przedsiębiorstwie funkcja kosztów przeciętnych jest następująca k_p(x)=0,1x²-3x+40+x^-1. Przy jakiej wielkości produkcji koszt krańcowy będzie najmniejszy.

30. Zbadaj przebieg zmienności funkcji

1. 
   

2. 
   

3. 
   

31. Funkcja kosztu całkowitego pewnego przedsiębiorstwa jest określona wzorem
    , gdzie x oznacza wielkość produkcji (w jednostkach miary). Zbadać tę funkcję i narysować jej wykres.

4

---