§ 13 Całka oznaczona Riemanna

Niech funkcja rzeczywista f będzie określona i ograniczona na przedziale
.

Dzielimy przedział
przy pomocy punktów:

na przedziale
i = 0, 1, ..., n-1. Oznaczmy przez x największą z różnic
tzn.
i = 0, 1, ..., n-1

Liczbę
nazywamy średnią podziału przedziału
. W każdym z przedziałów częściowych
obieramy dowolny punkt
.(„
” - ksi)

Tworzymy sumę całkową postaci

Można utożsamić podział przedziału
na przedziały częściowe punktami:

Z układami punktów działowych

Wtedy możemy rozważać ciąg podziałów ( Π_m ) przedziału
, przy czym
n_m- liczba naturalna.

Mówimy, że ciąg podziałów ( Π_m ) przedziału
na przedziały częściowe jest ciągiem normalnym, jeżeli odpowiadający mu ciąg średnic
jest zbieżny do zera.

Definicja: Jeżeli przy dowolnym ciągu normalnym podziałów przedziału
oraz przy dowolnym wyborze punktów pośrednich
ciąg sum całkowitych postaci

Dążą zawsze do skończonej granicy równej liczbie I to granicę tę nazywamy całką oznaczoną funkcji f na przedziale
i oznaczamy symbolem I =
.

W przypadku, gdy granica ta istnieje funkcją f nazywamy całkowalną na przedziale
.

Liczby a, b nazywamy odpowiednio dolną i górną granicą całkowania.

Ponieważ def pochodzi od b Riemanna (XIX) stąd mówimy o całce oznaczonej Riemanna oraz o całkowalności w sensie Riemanna.

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej.

Niech f(x)≥0 dla każdego x∈
. Wtedy suma całkowa

jest równa sumie pól prostokątów o wartości f(
) i długości podstawy

Zatem całka oznaczona

jako granica ciągu sum całkowych postaci
jest równe polu obszaru płaskiego ograniczonego łukiem krzywej y = f(x) x∈
odcinkami prostych x = a, x = b oraz osi OX i

Własności całki oznaczonej.

1. Jeżeli funkcja f, g są całkowalna na przedziale
   to kombinacja liniowa αf +βf, gdzie α, β stałe, jest całkowalna na
   oraz
   

2. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na
   oraz
   to f jest całkowalna na każdym z przedziałów
   
   oraz
   

3. Jeżeli f jest całkowalna na
   to f jest też całkowalna na przedziale
   oraz
   

4. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na
   gdzie
   oraz f(x) ≥0 dla x∈
   to
   

W przypadku, gdy f(x) > 0 dla x∈
to

5. Jeżeli funkcja f, g są całkowalne na
   
   oraz dla każdego x∈
   f(x) ≤ g(x) ( f(x) < g(x)) to

6. Niech funkcja f będzie całkowalna na
   
   . Wtedy funkcja f jest całkowalna na
   oraz zachodzi nierówność
   .

7. Jeżeli funkcja jest całkowalna na
   
   oraz dla każdego x∈
   m ≤ f(x) ≤ M gdzie m, M są stałymi to zachodzi nierówność

8. Jeżeli:

1. funkcje f, g są całkowalne na
   

2. dla każdego x∈
   

m ≤ f(x) ≤ M

3. g(x) ≥ 0 (lub g(x) > 0 ) dla każdego x∈
   tzn. funkcja g ma stały znak w całym przedziale
   to

gdzie

W szczególności, gdy g(x) = 1 otrzymujemy

Można wykazać, że:

1. Każda funkcja ciągła f na przedziale
   jest całkowalna w sensie Riemmana na
   

2. Jeżeli funkcja f jest ogromna na
   oraz posiada w tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości I - go rodzaju, to f jest całkowalna na
   

3. Funkcja f ograniczona i monotoniczna na
   jest całkowalna na tym przedziale.

Sposoby odliczania całek oznaczonych

Twierdzenie 1 (Wzór Newtona - Liebnica)

Jeżeli funkcja rzeczywista jest całkowalna w sensie Riemmana na przedziale
oraz posiada skończoną funkcję pierwotną F dla każdego x∈

Dowód.

Dokonujemy podziału
przedziału
. Na podstawie twierdzenia Legrange'a o wartości średniej istnieją takie punkty
∈
i = 1, 2,..., n że:

dla i = 1, 2,..., n

Stąd otrzymujemy

Ponadto zachodzi równość

Dowód.

Zatem dla dowolnego ciągu naturalnego podziałów przedziału
można dla każdego podziału z osobna dobrać punkty pośrednie
tak, by zachodziła równość

Zbadany w ten sposób ciąg sum całkowych
dąży do granicy F(b) - F9a).

Ponieważ f jest całkowalna na
więc ciąg ten dąży do całki

Stąd

Przykład

Twierdzenie 2 (Całkowanie przez części)

Jeżeli funkcja f, g posiada ciągłe pochodne na przedziale
to

gdzie

Twierdzenie 3 (Całkowanie przez części)

Jeżeli:

• Funkcja f, g jest cięgła na przedziale
  

• Funkcja ϕ jest określony na przedziale
  przy czym dla każdego t ∈
  

to:

Przykład : Znaleźć

ZASTOSOWANIE CAŁEK OZNACZONYCH.

Niech będzie dana krzywa w postaci parametrycznej (1)
,
,
dla
przy czym pochodne
są ciągłe w
.

Punktem osobliwym krzywej (1) nazywamy punkt odpowiadający parametrowy
taki, że
. Dla punktów osobliwych krzywej (1) zaliczamy również punkty wielokrotne tzn. punkty które otrzymujemy dla dwóch lub większej liczby wartości parametrów.

Zakładamy, że krzywe o których mowa poniżej nie zawierają punktów osobliwych z wyjątkiem co najwyżej pokrywających się końców krzywej zamkniętej.

1. Pole obszaru płaskiego

Pole obszaru płaskiego ABCD ograniczonego krzywymi y=f₁(x), y=f₂(x) gdzie f₁,f₂ są funkcjami ciągłymi na <a,b>, f₂(x)≥f₁(x) dla
oraz prostymi x=a, x=b jest równe

Jeżeli krzywa k dana jest w postaci parametrycznej k:
,
dla
funkcje
są ciągłe, przy czym
jest ciągła na

dla
to pole obszaru płaskiego ograniczonego tą krzywą, odcinkiem OX oraz prostymi
jest równe :

Przykład: Znaleźć pole elipsy danej w postaci parametrycznej x=acost y=bcost dla tε<0,2π>.

Niech będzie dany układ prostokątny OXY na płaszczyźnie. Każdy punkt P płaszczyzny jest jednoznacznie określony przez podanie uporządkowanej pary współrzędnych P=(x₀,y₀)

Punkt P jednoznacznie określa także następujące wielkości r=|OP| - odległość punktu P od początku układu OXY.

φ - miara kąta między półosią OX i promieniem wodzącym OP punktu P

Współrzędnymi biegunowymi punktu P nazywamy uporządkowaną parę (r, φ). Wtedy punkt O nazywamy biegunem, a półprostą OX nazywamy osią biegunową.

Związek między współrzędnymi prostokątnymi i biegunowymi punktu P jest następujący:

x₀=rcos φ

y₀=rsin φ

Pole figury OAB ograniczonej krzywą k daną we współrzędnych biegunowych
dla
,
gdzie
jest nieujemną funkcją ciągłą na
oraz promieniami wodzącymi OA, OB. odpowiadającymi wartościom
wynosi:

Przykład: Znaleźć pole obszaru ograniczonego kardiodą (?) daną we współrzędnych biegunowych r=a(1+cosφ), gdzie φε<0,2π> a>0

2. Objętość bryły oraz pole powierzchni obrotowej.

Jeżeli s=s(x), xε
jest funkcją ciągła wyrażającą pole przekroju bryły płaszczyzną prostopadłą do osi O, to objętość bryły zawartej między płaszczyznami x=a, x=b wynosi

Przykład: Obliczyć objętość bryły ograniczonej elipsoidą trójosiową

Objętość bryły obrotowej powstałej na skutek obrotu ciągłej nieujemnej krzywej y=f(x) xε<a,b>, dokoła osi OX wynosi:

Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej powstałej na skutek obrotu krzywej
,
dla
dokoła osi OX przy czym
są ciągłe na
wynosi:

Przykłady:

1. Obliczyć objętość części kuli powstałej przez obrót koła o promieniu R stycznego do osi OY w początku układu, przy czym
   

2. Obliczyć pole powierzchni czaszy kulistej wyciętej z powierzchni kuli, czyli ze sfery o promieniu R, o wysokości
   

3. Długość krzywej

Niech będzie krzywą o przedstawieniu parametrycznym
,
,
dla
. Oznaczmy przez
dowolny podział przedziału
. Niech
oznaczmy przez
łamaną o węzłach w punktach p_0,p₁,...p_n

Definicja: Długością S krzywej k nazywamy wielkości
jest długością łamanej
.

Jeżeli zbiór
jest ograniczony, to
Wtedy krzywą k nazywamy prostoliniową lub rektyfikowalną. Jeżeli zbiór długości łamanych
jest nieograniczony to przyjmujemy

Twierdzenie 1.

Jeżeli krzywa AB jest postaci
,
,
dla
, gdzie
są ciągłe na
, bez punktów osobliwych z wyjątkiem co najwyżej pokrywających się końców krzywej, to krzywa AB jest prostoliniowa.

Dowód: W krzywą AB wpisujemy łamaną o wierzchołkach: M₀,M₁,.....M_n które odpowiadają wartościom parametru
. Oznacza to, że punkt M_i iε{0,1,...,n}, ma współrzędne

Długość łamanej wynosi

Z twierdzenia Lagrangea o wartości średniej wynika, że:

stąd

Oznaczmy odpowiednio przez
największe wartości funkcji ciągłych
na przedziale
. Wtedy

Zatem zbiór długości łamanych opisanych w krzywą AB jest ograniczony z góry, tzn, krzywa AB ma skróconą długość, czyli jest prostoliniowa.

Wniosek: Długość krzywej AB można oszacować następująco :
oznaczając odpowiednio przez
najmniejsze wartości funkcji ciągłych
na przedziale
otrzymujemy następujące oszacowania z dołu dla długości krzywej AB

Rozważmy dla krzywej z twierdzenia pierwszego zamiast przedziału
przedział częściowy
gdzie
, Δt>0 Wtedy przedziałowi
odpowiada łuk krzywej AB o długości Δs. Ponadto zachodzą oszacowania:
gdzie
- odpowiednio najmniejsze oraz największe wartości funkcji ciągłej
na przedziale
stąd otrzymujemy:
przy
otrzymujemy
. Analogicznie postępujemy w przypadku przedziału
Δt >0. Jeżeli
lub
to obliczamy pochodną jednostronną funkcji
.

Jeżeli parametr t zmienia się w przedziale
a wraz z nim położenie punktu M=M(t) na krzywej AB (z twierdzenia 1) to długość zmiennego łuku AM jest funkcją parametru t. Oznaczmy tę funkcję przez s=s(t) dla

Z (1) wynika, że funkcja jest różniczkowalna. Widać, że
. Korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza otrzymujemy
= długości krzywej AB=S czyli
.

Jeżeli płaska krzywa AB dana jest w postaci y=f(x) dla xε<a,b> gdzie f^| jest ciągła na <a,b> to przyjmując x jako parametr otrzymujemy postać parametryczną krzywej AB^|: x=x, y=f(x) dla xε<a,b>. Stąd długość łuku krzywej AB wynosi:

Jeżeli krzywa płaska AB dana jest równaniem we współrzędnych biegunowych r=r(φ) dla φε< φ₁, φ₂> gdzie r^| jest ciągła na < φ₁, φ₂> to jej przedstawienie parametryczne ma postać x=r(φ)cosφ, y=r(φ)sin φ, φε< φ₁, φ₂> kolejno otrzymujemy:

stąd

Przykłady:

1. Znaleźć długość okręgu koła o promieniu R

2. Znaleźć długość asteroidy
   

Chemia Team II w składzie:

Beata Płecha

Arkadiusz „Arczi” Spchała

Maciej „Starosta” Laskowski

Michał „Szerlok” Wassel

61