∫ CAŁKI ∫

CZĘŚĆ I Rodzaje, podstawowe wzory i definicje, sposoby rozwiązywania

CZĘŚĆ II Obliczanie przykładowych zadań

Całki

1. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona

1. Funkcja pierwotna.

Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) na zbiorze X, jeżeli dla każdego x∈X spełniony jest warunek: F'(x)=f(x).

Twierdzenie o funkcjach pierwotnych

Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale P to:

1. funkcja φ(x)=F(x)+C, gdzie C oznacza dowolną stałą, jest także funkcją pierwotną na przedziale P,

2. każdą funkcję pierwotną φ(x) funkcji f(x) na przedziale P można przedstawić w postaci sumy F(x)+C₀, gdzie C₀ jest stosownie do φ(x) i F(x) dobrana stałą.

2. Całka nieoznaczona.

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) na przedziale X nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) na tym przedziale i oznaczamy symbolem:

Z twierdzenia o funkcjach pierwotnych wynika, że
, gdzie F(x) jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f(x) na rozważanym przedziale, C natomiast jest stałą dowolną, zwaną stałą całkowania.

Tablica wzorów podstawowych:

(α≠0)

Całkowanie przez części

Tw. Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają na pewnym przedziale ciągłe pochodne u'(x) i v'(x), to
na tym przedziale.

Całkowanie przez podstawianie

Tw. Jeżeli funkcja t=h(x) ma ciągłą pochodną h'(x) na przedziale P i przekształca go na przedział T, na którym określona jest ciągła funkcja g(t), to
, przy czym w całce nieoznaczonej po prawej str. znaku równości obowiązuje podstawienie h(x) w miejsce t.

II. Całka oznaczona

Tw. Newtona-Leibniza.

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła na przedziale <a,b>, F(x) zaś jest jakąkolwiek jej funkcją pierwotną na tym przedziale, to:

III. Zastosowanie geometryczne całek

1. Pole figury płaskiej
   

2. Objętość bryły obrotowej
   

3. Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej
   

4. Długość łuku gładkiego, będącego wykresem funkcji y=f(x) na przedziale <a,b>

Całki - zadania przykładowe

1. Całkowanie przez części

∫ u(x) ′(x) dx = u(x)v(x) - ∫ v(x)u′(x) dx

1. 
   

2. 
   

4.)

2. Całkowanie przez podstawianie

1.

2.

3.

III. Całka oznaczona

1.

2.

3.Oblicz pole figury F

a)

4) Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu krzywej

5) Oblicz pole boczne bryły powstałej z obrotu wokół osi x krzywej
w przedziale

6.Oblicz pole figury ograniczonej wykresem w przedziale

Oblicz pole pod krzywą

P=

Zadania c.d.- różne

1.

2.

3.

4.