1. Podać, jak mierzy się odległość między koszykami dóbr.

x = (x₁, x₂) ჎ X i y = (y₁, y₂) ჎ X d(x, y) = maxႽ x_i - y_iႽ

Odległość między koszykami wyrażona jest zawsze w tych samych jednostkach co towar, dlatego różnica Ⴝ x_i - y_iႽ jest maksymalna.

2. Podać określenie przestrzeni metrycznej.

Przestrzeń towarów jest przestrzenią metryczną, co oznacza, że spełnione są następujące trzy warunki:

a)

b)

c)

3. Podać określenie przestrzeni towarów.

Przestrzenią towarów nazywamy zbiór
dostępnych na rynku koszyków towarów z odległością między koszykami zdefiniowaną wzorem d(x, y) = maxႽ x_i - y_iႽ (definicja z książki).

Przestrzenią towarów nazywamy zbiór dostępnych na rynku koszyków dóbr z odległością między koszykami
(definicja z zeszytu).

4. Podać, jak określa się podstawowe działania na koszykach dóbr.

a) dodawanie

b) mnożenie przez liczbę (skalar)

5. Określić pojęcie liniowej kombinacji wypukłej dwóch koszyków.

Liniową kombinacją wypukłą dwóch koszyków
nazywamy każdy koszyk z postaci
gdzie
czyli

6. Określić, kiedy pewien zbiór koszyków dóbr jest wypukły.

Zbiór
nazywamy wypukłym, jeżeli wszystkie liniowe kombinacje wypukłe dowolnych dwóch koszyków należących do zbioru M również należą do zbioru M, co zapisujemy:
.

7. Określić pojęcie relacji indyferencji konsumenta.

Relacją indyferencji konsumenta nazywamy zbiór I wszystkich par koszyków złożonych z koszyków względem siebie obojętnych (indyferentnych), co zapisujemy:

Własności powyższej relacji:

1)
(zwrotność)

2)
(symetryczność)

8. Określić pojęcie relacji silnej preferencji konsumenta.

Relacją silnej preferencji konsumenta nazywamy zbiór Ps wszystkich par koszyków takich, że pierwszy koszyk w parze jest lepszy od drugiego koszyka w parze, co zapisujemy

9. Określić pojęcie relacji preferencji konsumenta.

Relacją preferencji konsumenta nazywamy zbiór P wszystkich par koszyków takich, że pierwszy koszyk towarów w parze jest słabo preferowany nad drugi koszyk w parze (jest nie gorszy od drugiego koszyka), co zapisujemy:

Własności:

1)
- zupełność

2)
- przechodniość (tranzytywność)

10. Co to jest obszar obojętności względem danego koszyka.

Obszarem obojętności względem danego koszyka
jest zbiór wszystkich koszyków należących do przestrzeni towarów, które są indyferentne (obojętne) z koszykiem
, co zapisujemy:
. Jest to relacja równorzędności.

11. Określić, kiedy pewien koszyk dóbr jest optymalnym koszykiem w zbiorze koszyków.

Koszyk
jest optymalnym koszykiem w zbiorze M, jeśli jest on nie gorszy od każdego innego koszyka z tego zbioru, co zapisujemy:

(Jest on jedynym najlepszym koszykiem albo jest jednym z wielu).

12. Jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna funkcja określona na przestrzeni towarów
    mogła pełnić rolę funkcji użyteczności konsumenta.

Funkcją użyteczności konsumenta nazywamy określoną na przestrzeni towarów
funkcję
spełniającą dla dowolnej pary koszyków
warunki:

1)

2)

Funkcja użyteczności
wyraża subiektywny stosunek konsumenta do oferowanych na rynku koszyków towarów (bez względu na jego wymowę społeczną czy przyjęte normy).

13. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na
    jest wklęsła na tym wzorze.

Funkcję
nazywamy wklęsłą na
, jeżeli
spełniony jest warunek

14. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na
    jest rosnąca na tym zbiorze.

Funkcję
nazywamy rosnącą na
, jeżeli
prawdziwa jest implikacja:

15. Kiedy w polu preferencji konsumenta występuje zjawisko niedosytu.

Warunek
oznacza, że w koszyku x żadnego towaru nie ma mniej niż w koszyku y, a przynajmniej jednego jest więcej. Możemy zatem powiedzieć, że jeżeli z relacją preferencji konsumenta P związana jest rosnąca funkcja użyteczności, to jakikolwiek wzrost ilości jakiegokolwiek towaru w jakimkolwiek koszyku zwiększa użyteczność tego koszyka w oczach konsumenta (nowy koszyk x staje się silnie preferowany nad koszyk y).

Mówimy w takim przypadku, że w polu preferencji konsumenta
występuje zjawisko niedosytu.

16. Przyjmując, że
    to funkcja użyteczności konsumenta zdefiniować pojęcie krańcowej użyteczności i-tego towaru w koszyku x oraz podać interpretację ekonomiczną.

Krańcową użytecznością i-tego towaru w koszyku X (i = 1, 2, 3, ..., n) nazywamy pochodną cząstkową rzędu pierwszego

Interpretacja ekonomiczna:

Krańcowa użyteczność i-tego towaru informuje nas, o ile (w przybliżeniu) zmieni się użyteczność koszyka x, jeżeli ilość i-tego towaru wzrośnie (zmaleje) o jednostkę przy czym ilości pozostałych towarów nie ulegną zmianie.

17. Uzasadnić, że funkcja w postaci
    jest przykładem funkcji użyteczności, dla której spełnione jest tzw. Prawo Gossena.

Prawo Gossena: Krańcowa użyteczność każdego towaru maleje w miarę jak wzrasta jego spożycie.

Dowód:
pierwszy koszyk x = (2) < drugi koszyk x = (3)

18. Podać interpretację ekonomiczną krańcowej substytucji towaru i-tego przez towar j-ty w danym koszyku dóbr.

Krańcową stopą substytucji towaru i-tego przez towar j-ty (w koszyku x) nazywamy wyrażenie:

Interpretacja ekonomiczna:

Krańcowa stopa substytucji
pokazuje, o ile (w przybliżeniu) powinna zwiększyć się ilość j-tego towaru przy zmniejszeniu o jednostkę i-tego towaru, aby użyteczność koszyka towarów nie zmieniła się.

19. Podać interpretację ekonomiczną elastyczności substytucji towaru i-tego przez towar j-ty w danym koszyku dóbr.

Elastycznością substytucji towaru i-tego przez towar j-ty (w koszyku x) nazywamy wyrażenie:

Interpretacja ekonomiczna:

Elastyczność substytucji
pokazuje, o ile procent powinna zwiększyć się ilość j-tego towaru przy zmniejszeniu o jednostkę ilości i-tego towaru, aby użyteczność koszyka towarów nie zmieniła się.

20. Podać przykład funkcji, której złożenie z daną funkcją użyteczności jest także funkcją użyteczności.

Taką funkcją jest
gdyż:

i druga funkcja użyteczności np.:

21. Podać, jaka jest odległość między następującymi koszykami dóbr: x = (2 kg mąki, „e” litrów mleka, „ၰ” kg ziemniaków); y = (7/3 kg mąki, 5/2 litra mleka, 3 kg ziemniaków).

x = (2, e, ၰ) y = (7/3, 5/2, 3)

Ⴝ2 - 7/3Ⴝ = 1/3 = max

Ⴝe - 5/2Ⴝ = Ⴝ2,71 - 2,5Ⴝ = 0,21

Ⴝၰ - 3Ⴝ = Ⴝ3,14 - 3Ⴝ = 0,14

22. Udowodnić, że metryka określona wzorem d(x, y) = maxႽx_i - y_iႽ dla i = 1, 2, ..., n spełnia odpowiednie aksjomaty.

a)
spełnione, gdyż
dla dowolnych

b)
- symetria

c)
- nierówność trójkąta

23. Dla dwóch koszyków dóbr postaci: x = (3, 4) oraz y = (2, 5) znaleźć dwie liniowe kombinacje wypukłe koszyków.

x = (3, 4) y = (2, 5)

Z = 1/3(3, 4) + 2/3(2, 5) = (1, 4/3) + (4/3, 10/3)

Z = (7/3, 14/3) - kombinacja wypukła

24. Jakie własności posiada relacja indyferencji konsumenta.

Własności:

1)
(zwrotność)

2)
(symetryczność)

25. Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta.

Własności:

1)
- zupełność

2)
- przechodniość (tranzytywność)

26. Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta, która jest silnie wypukła.

Własności:

1)

2)
3)

27. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru
    , który jest domknięty i ograniczony.

28. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru
    , który jest domknięty i nieograniczony.

29. Sprawdź, czy koszyk z = (11, 36, 38) należy do odcinka łączącego koszyki x = (5, 20, 60), y = (20, 50, 10).

x = (5, 20, 60) y = (20, 50, 10) z = (11, 36, 38)

Równanie odcinka:

=[20-5, 50-20, 10-60]

=[15, 30, -50]

=[11-5, 36-20, 38-60]

=[6, 16, -22]

[6, 16, -22] = t · [15, 30, -50]

9 = t · 15 პ t = 6/15

16 = t · 30 პ t = 16/30

-22 = t · (-50) პ t = 22/50

t₁ Ⴙ t₂ Ⴙ t₃

Koszyk „z” nie należy do odcinka

30. Sprawdź, czy relacja preferencji; P = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, b), (b, c), (c, a), (c, c), (d, d), (d, c), (d, d)} jest zupełna i przechodnia.

a) nie jest zupełna

b) jest przechodnia ponieważ, np. (a, a) კ (b, b) პ (a, b)

31. Funkcja użyteczności ma postać:
    . Znaleźć złożenie tej funkcji z funkcją postaci:
    

32. Mając koszyk towarów x = (2, 3, 4) oraz funkcję użyteczności postaci:
    znaleźć krańcowe użyteczności pierwszego i drugiego towaru oraz podać interpretację ekonomiczną.

x = (2, 3, 4)

Użyteczność krańcowa dla pierwszego i drugiego towaru jest jednakowa.

33. O czym informuje pochodna cząstkowa drugiego rzędu funkcji użyteczności.

Pochodna cząstkowa drugiego rzędu informuje, o ile (w przybliżeniu) zmieni się użyteczność krańcowa i-tego towaru, jeżeli ilość j-tego towaru w koszyku x wzrośnie (zmaleje) o jednostkę (a ilości pozostałych towarów nie ulegną zmianie).

34. Obliczyć pochodną cząstkową drugiego rzędu funkcji użyteczności postaci:
    dla koszyka postaci: x = (3, 5) oraz podać interpretację ekonomiczną wyniku.

35. Wyjaśnić, co to jest płaszczyzna budżetowa na przykładzie trzech koszyków dóbr.

Linią (płaszczyzną) budżetową nazywamy zbiór wszystkich tych koszyków, których kupno wymaga wydania całego dochodu, tj. zbiór

36. O czym mówi krańcowa użyteczność dochodu.

Krańcowa użyteczność dochodu informuje, o ile wzrośnie użyteczność optymalnego koszyka, gdy dochód konsumenta wzrośnie o jednostkę.

37. Podać interpretację ekonomiczną popytu krańcowego na i-ty towar względem j-tego towaru.

W przybliżeniu popyt krańcowy na i-ty towar względem ceny j-tego towaru informuje, o ile jednostek zmieni się popyt na i-ty towar, jeżeli cena j-tego towaru wzrośnie (zmaleje) o jednostkę (a pozostałe ceny i dochód konsumenta nie ulegną zmianie). Obrazowo możemy też powiedzieć, że pochodna ta pokazuje, z jaką prędkością zmienia się popyt na i-ty towar pod wpływem zmian ceny j-tego towaru.

38. Podać interpretację ekonomiczną elastyczności popytu na i-ty towar względem j-tego towaru.

Elastyczność popytu na i-ty towar względem ceny j-tego towaru informuje, o ile procent zmieni się popyt na i-ty towar, jeżeli cena j-tego towaru wzrośnie (zmaleje) o jeden procent (a pozostałe ceny i dochód konsumenta nie ulegną zmianie).

39. Kiedy towar nazywamy normalnym, a kiedy towarem Giffena.

Towar nazywamy normalnym, jeżeli popyt na ten towar maleje wraz ze wzrostem jego ceny.

Towar nazywamy towarem Giffena, jeżeli popyt na ten towar rośnie wraz ze wzrostem jego ceny.

40. Kiedy dwa towary są substytucyjne względem siebie.

Towar i-ty nazywamy substytucyjnym względem towaru j-tego, jeżeli wzrost ceny towaru j-tego powoduje wzrost popytu na towar i-ty.

41. Kiedy dwa towary są komplementarne względem siebie.

Towar i-ty nazywamy komplementarnym względem towaru j-tego, jeżeli wzrost ceny towaru j-tego powoduje spadek popytu na towar i-ty.

42. O czym informuje popyt krańcowy na i-ty towar względem dochodu konsumenta.

Popyt krańcowy informuje, o ile (jednostek) zmieni się popyt na i-ty towar, jeżeli dochód konsumenta wzrośnie o jednostkę pieniężną (a ceny pozostaną niezmienione).

43. O czym informuje elastyczność popytu na i-ty towar względem dochodu konsumenta.

Elastyczność popytu na i-ty towar względem dochodu konsumenta informuje, o ile procent zmieni się popyt na i-ty towar przy wzroście dochodu o 1%.

44. Kiedy mamy do czynienia z towarem wyższego rzędu, a kiedy z towarem niższego rzędu.

Towarem wyższego rzędu nazywamy towar, na który konsument zwiększa popyt, gdy wzrasta jego dochód.

Towarem niższego rzędu nazywamy towar, na który konsument zmniejsza popyt, gdy wzrasta jego dochód.

45. Podać określenie skalarnej funkcji produkcji.

Skalarną funkcją produkcji nazywamy funkcję
, która każdemu wektorowi nakładów
podporządkowuje maksymalną wielkość produkcji danego produktu y = f(x), możliwą do uzyskania z wektora x.

46. Podać standardowe założenia o skalarnej funkcji produkcji.

1) Funkcja
jest ciągła i dwukrotnie różniczkowalna na int
.

2) Zerowym nakładom odpowiada zerowy wynik produkcji:

3) Funkcja
jest rosnąca na int
, tzn.

4) Funkcja
jest wklęsła na int
, tzn.

5) Funkcja
jest dodatnio jednorodna stopnia
tzn.

47. O czym informuje krańcowa produktywność i-tego czynnika produkcji.

Krańcową produktywność i-tego czynnika pokazuje, o ile wzrośnie produkcja, gdy nakład i-tego czynnika wzrośnie o jednostkę, a nakłady pozostałych czynników produkcji nie ulegną zmianie. Należy podkreślić, że jeżeli funkcja produkcji jest silnie wklęsła, to krańcowa produktywność każdego czynnika produkcji maleje ze wzrostem tego czynnika.

48. O czym mówi elastyczność produkcji względem i-tego czynnika produkcji.

Elastyczność produkcji względem i-tego czynnika produkcji pokazuje, o ile procent wzrośnie produkcja, gdy nakład i-tego czynnika wzrośnie o 1%, a nakłady pozostałych czynników produkcji nie ulegną zmianie.

49. Co pokazuje elastyczność produkcji względem skali nakładów.

Elastyczność produkcji względem skali nakładów pokazuje, o ile procent wzrośnie produkcja, jeżeli wszystkie czynniki produkcji wzrosną o 1 %.

50. Wyjaśnić pojęcie izokwanty produkcji.

Izokwantą produkcji na poziomie
nazywamy zbiór G wszystkich wektorów nakładów x, którym odpowiada ten sam poziom produkcji
, co zapisujemy :

51. O czym informuje krańcowa stopa substytucji i-tego czynnika produkcji przez j-ty czynnik w wektorze produkcji.

Krańcowa stopa substytucji i-tego czynnika pokazuje, o ile jednostek należy w wektorze nakładów x zwiększyć ilość j-tego czynnika, aby poziom produkcji nie uległ zmianie.

52. O czym mówi elastyczność substytucji i-tego czynnika przez j-ty w wektorze nakładów.

Elastyczność substytucji i-tego czynnika przez j-ty czynnik pokazuje, o ile procent należy w wektorze nakładów x zwiększyć ilość j-tego czynnika, gdy nakład i-tego czynnika zmniejszył się o 1%, aby poziom produkcji nie uległ zmianie.

53. Co to jest techniczne uzbrojenie pracy.

Technicznym uzbrojeniem pracy nazywamy wyrażenie:
,

Techniczne uzbrojenie pracy określa liczbę jednostek kapitału przypadających na jednostkę pracy.

54. O czym informuje elastyczność krańcowej stopy substytucji (pracy przez kapitał) względem technicznego uzbrojenia pracy.

Elastyczność krańcowej stopy substytucji (pracy przez kapitał) względem technicznego uzbrojenia pracy informuje, o ile procent zmieni się krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał, gdy techniczne uzbrojenie pracy wzrośnie o 1%.

55. Co oznacza, że krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał dla liniowej funkcji produkcji postaci
    jest stała, równa
    .

Oznacza to, że niezależnie od tego czy mamy duże zasoby pracy i małe zasoby kapitału, czy na odwrót, to zawsze potrzeba tyle samo kapitału do zastąpienia jednostki pracy w celu utrzymania produkcji na niezmienionym poziomie. Z tego względu mówimy, że liniowa funkcja produkcji cechuje się doskonałą substytucyjnością nakładów.

56. Jak zależy przeciętna wydajność pracy od technicznego uzbrojenia pracy w przypadku liniowej funkcji produkcji.

Zależność przeciętnej wydajności pracy od technicznego uzbrojenia pracy:

57. Jak zależy przeciętna efektywność kapitału od technicznego uzbrojenia pracy w przypadku liniowej funkcji produkcji.

Zależność przeciętnej efektywności kapitału od technicznego uzbrojenia pracy:

58. Podać ogólną postać funkcji produkcji Cobba-Douglasa oraz wyjaśnić znaczenie parametrów „ၡ” i „ၢ”.

Funkcją produkcji Cobba-Douglasa nazywamy funkcję
postaci

α - elastyczność produkcji względem kapitału,

β - elastyczność produkcji względem zatrudnienia.

59. Pokazać, że funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest dodatnio jednorodna stopnia „ၡ + ၢ”.

Aby się o tym przekonać, wystarczy zauważyć, że
i
zachodzi:

Jeżeli
, to podstawiając
, możemy otrzymać funkcję produkcji Cobba-Douglasa postaci:
. Funkcja jest wtedy dodatnio jednorodna stopnia pierwszego, co oznacza, że

- krotny wzrost kapitału i pracy powoduje proporcjonalny
- krotny wzrost produkcji.

60. Co oznacza w przypadku funkcji Cobba-Douglasa, gdy ၡ + ၢ = 1, a co - gdy ၡ + ၢ < 1.

oznacza, że
- krotny wzrost kapitału i pracy powoduje proporcjonalny
- krotny wzrost produkcji.

oznacza, że
- krotny wzrost kapitału i pracy powoduje mniej niż proporcjonalny wzrost produkcji.

61. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.

Zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy:

62. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa zależność przeciętnej efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.

Zależność przeciętnej efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy:

63. Podać ogólną definicję funkcji CES oraz wyjaśnić znaczenie obu parametrów tej funkcji.

Funkcją produkcji CES nazywamy funkcję
postaci:

gdzie

Parametr
jest stopniem jednorodności funkcji, natomiast
przedstawia elastyczność krańcowej stopy substytucji pracy przez kapitał
względem technicznego uzbrojenia pracy.

64. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji CES zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.

Zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy:

65. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji CES zależność przeciętnej efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.

Zależność przeciętnej efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy:

66. Obliczyć dla funkcji produkcji CES krańcową wydajność pracy.

Krańcowa wydajność pracy:

67. Obliczyć dla funkcji produkcji CES krańcową efektywność kapitału.

Krańcowa efektywność kapitału:

68. Obliczyć dla funkcji produkcji CES stopień jednorodności.

Stopień jednorodności:

funkcja produkcji CES jest więc dodatnio jednorodna stopnia

69. Podać definicję funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa i wyjaśnić, co oznacza, że jest to tzw. niesubstytucyjna funkcja produkcji.

Funkcją produkcji Koopmansa-Leontiefa nazywamy funkcję
postaci:
gdzie
oznacza współczynnik kapitałochłonności przedstawiający niezbędny nakład kapitału na wytworzenie jednostki produkcji
- współczynnik pracochłonności opisujący nakład pracy niezbędny do wytworzenia jednostki produkcji.

Funkcja produkcji Koopmansa-Leontiefa jest przykładem niesubstytucyjnej funkcji produkcji. Jej konstrukcja opiera się na dwóch założeniach:

1. nie jest możliwa substytucja czynników produkcji,

2. nakłady czynników produkcji niezbędne do uzyskania określonej wielkości produkcji rosną liniowo (proporcjonalnie) z wielkością produkcji.

Zgodnie z tymi założeniami, jeżeli np. do wytworzenia jednostki produkcji niezbędne są dwie jednostki kapitału i trzy jednostki pracy, to do wytworzenia dwóch jednostek produkcji potrzeba czterech jednostek kapitału i sześć jednostek pracy. Zwiększenie nakładów tylko jednego z czynników produkcji nie spowoduje zwiększenia produkcji, gdyż ograniczać ją będzie ten czynnik produkcji, którego ilość nie uległa zmianie.

1. Podać, kiedy funkcja produkcji CES jest:

• zbieżna do liniowej funkcji produkcji,

Funkcja produkcji CES, dodatnio jednorodna stopnia pierwszego przy
, jest zbieżna do liniowej funkcji produkcji, tzn.

• zbieżna do funkcji produkcji Cobba-Douglasa,

Funkcja produkcji CES dodatnio jednorodna stopnia pierwszego jest przy
zbieżna do funkcji produkcji Cobba-Douglasa dodatnio jednorodnej stopnia pierwszego, tzn.:

• zbieżna do funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa.

Funkcja produkcji CES dodatnio jednorodna stopnia pierwszego, jest przy
zbieżna do funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa tzn.

---