28./IV PODSTAWOWE METODY ROZWIĄZYWANIA USTROJÓW PRĘTOWYCH STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH (MS, MP)
METODA SIŁ - MS
Ustrój statycznie niewyznaczalny - więcej niewiadomych niż równań równowagi.
Płaszczyzna - trzy równania równowagi (moment i dwa przesunięcia)
Przestrzeń - sześć równań równowagi (3 obroty, 3 przesunięcia)
Koncepcja metody sił i kanoniczny układ równań.
Tok postępowania:
określenie SSN = n
SSN =r + 3a - 3 -∑b
r - liczba reakcji
a - liczba pól zamkniętych
b - równania wynikające z wprowadzenia przegubów
b = n - 1 n
niewyznaczalność zewnętrzna nz = r-3
niewyznaczalność wewnętrzna nw = SSN-nz
dla kratownic :
r - liczba reakcji
p - ilość prętów
w - ilość węzłów
nz = r - 3
nw = SSN - nz
dobór statycznie wyznaczalnego układu podstawowego UPMS, w którym zaczepia się n niewiadomych hiperstatycznych (nadliczbowych).
x1……xn
ułożenie układu równań kanonicznych metody sił
11x1 +
12x2 + ... +
1nxn + Δ1p = 0
21x1 +
22x2 + ... +
2nxn + Δ2p = 0
: : : : n- równań
n1x1 +
n2x2 + ... +
nnxn + Δnp = 0 n- niewiadomych
wektor obciążeń
[F] {X} + {Δ} = {0}
macierz podatności wektor hiperstatyczny
obciążenie układu podstawowego kolejno siłami jednostkowymi na kierunkach niewiadomych hiperstatycznych .Otrzymujemy stany
, stąd otrzymujemy wykresy
;
to samo ze stanem P → Mp
obliczenie współczynników równań kanonicznych i rozwiązanie układu równań z którego otrzymujemy x1…….xn
obliczenie momentu ostatecznego
wykonanie sprawdzenia
1. Σ ∫
2. w każdym węźle ma być równowaga
3. To samo dla sił
Całkowanie graficzne:
Przykład.
EJ = const
SSN = 5 - 3 = 2
UPMS
z zasady superpozycji:
Wyznaczamy siły poprzeczne Q
QBA= - 4,86
∑Y = 0
QBC = QCB
QCD = QDC = 4,75
W sprawdzeniu należy przyjąć nowy układ podstawowy i przecałkować go z Most.
Musi wyjść zero.
METODA PRZEMIESZCZEŃ MP
koncepcja metody
Tok postępowania
Określenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności ustroju - SKN
Przyjęcie układu podstawowego MP poprzez wprowadzenie dodatkowych więzów unieruchamiających ustrój
Zwalnianie kolejno więzów nadając na ich kierunku jednostkowe przemieszczenie, sporządzamy wykresy
oraz sporządzamy wykres od obciążenia zewnętrznego Mp
Obliczenie współczynników układu równań kanonicznych Mp to jest: reakcji w więzach rij oraz od obciążenia Rip
Ułożenie układu równań kanonicznych w których niewiadomymi są przemieszczenia zj
Na podstawie wzorów transformujemy
SKN - nazywamy sumę obrotów węzłów oraz niezależnych przesunięć tych węzłów (liczba dodatkowych niezależnych więzów, które trzeba wprowadzić, aby ustrój się nie mógł odkształcić).
- łączna liczba obrotów węzłów sztywnych łączących, co najmniej dwa pręty układu
- łączna liczba niezależnych przesunięć węzłów
Przy wyznaczaniu SKN nie bierze się pod uwagę statycznie wyznaczalnych części konstrukcji np. wsporniki czy słupy podparte - przegubowoprzesuwne. W przypadku gdy ∑∆ = 0 należy sprawdzić czy układ przegubowy nie jest chwilowo zmienny i wrazie potrzeby wprowadzić odpowiednie więzy fikcyjne. Jeżeli układ jest przesztywniony tzn. ∑∆ < 0 to wówczas nie dodajemy ∑∆ +
tylko SKL =
.
Dla ułatwienia liczenia SKN wprowadza się łańcuch kinematyczny. Wprowadza się przeguby w miejscach łączeń a podpory zastępuje się w następujący sposób:
w - liczba węzłów łącznie z podporowymi
p - liczba prętów występujących w łańcuchu kinematycznym
SKN = 1
Równania transformacyjne MP:
SCHEMAT |
PRZEMIESZCZENIE |
REAKCJA |
||
|
|
Mik |
Mki |
Qik = Qki |
I |
φi = 1 |
|
|
|
|
φk = 1 |
|
|
|
|
∆ = 1 |
|
|
|
II |
φi = 1 |
|
0 |
|
|
∆ = 1 |
|
0 |
|
III |
φi = 1 |
|
|
0 |
|
φk = 1 |
|
|
0 |
Schematy:
Układ równań metody przemieszczeń.
Rig - obciążenie geometryczne
Rit - obciążenie temperaturą
Macierzowo:
Plan przemieszczeń - narysować w jaki sposób nastąpi odkształcenie.
Przykład:
Obliczenia prowadzimy przez wycinanie węzłów:
z1 = 2,375 1/EJ z2 = -3,125 1/EJ
Należy jeszcze policzyć siły poprzeczne i podłużne.