stabilność, automatyka konspekt


STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI

Stabilność jest cechą układu, polegającą na powracaniu do stanu równowagi stałej po ustaniu działania zakłócenia, które wytrąciło układ z tego stanu.

Zamknięty układ liniowy będziemy więc uważać za stabilny, jeżeli przy każdej skończonej wartości zakłócenia z(t) i wartości zadanej w(t) oraz dla dowolnych, warunków początkowych, sygnał wyjściowy y(t) dążyć będzie do skończonej wartości ustalonej dla czasu t dążącego do nieskończoności. Niekiedy precyzuje się dodatkowo, że gdy po zaniknięciu, zakłócenia układ powraca do tego samego stanu równowagi co zajmowany poprzednio, wówczas jest stabilny asymptotycznie.

0x01 graphic

Rys. Schemat zamkniętego układu regulacji automatycznej: O - obiekt regulacji, R - regulator

Przykłady przebiegów y(t) występujących w układach stabilnych i niestabilnych pokazano na rys.

0x01 graphic

Rys. Przebiegi przejściowe: a) układ stabilny b) układ niestabilny

Jeżeli układ zamknięty opisany jest za pomocą liniowego równania różniczkowego

0x01 graphic

lub odpowiadającej mu transmitancji operatorowej

0x01 graphic

to czasowy przebieg sygnału wyjściowego y(t) po dowolnym zakłóceniu o wartości skończonej opisany jest wzorem o następującej postaci ogólnej (przy założeniu ze równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków wielokrotnych ani równych zeru)

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
są pierwiastkami równania charakterystycznego układu zamkniętego (mianownika transmitancji operatorowej równego zeru)

0x01 graphic

a 0x01 graphic
jest wartością zakłócenia. Zakłócenie z(t) może być wprowadzone w dowolnym miejscu układu, w szczególności zakłóceniem może być również zmiana wartości zadanej w(t).

Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności asymptotycznej układu jest, aby pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego miały ujemne części rzeczywiste.

0x01 graphic

Wówczas

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest współczynnikiem o wartości skończonej i układ jest stabilny w podanym uprzednio sensie. Składowe przejściowe wielkości wyjściowej zanikają wówczas do zera przy 0x01 graphic
, a pozostaje jedynie składowa ustalona, określona statycznymi własnościami układu. W przypadku pierwiastków zespolonych

0x01 graphic

odpowiednie wyrazy sumy 0x01 graphic
mają postać

0x01 graphic
.

Wyrazy te dążą do zera przy czasie 0x01 graphic
, jeżeli spełniony jest warunek 0x01 graphic
. Jeżeli chociaż jeden z pierwiastków równania 0x01 graphic
ma część rzeczywistą dodatnią:

0x01 graphic
,

to

0x01 graphic

i układ jest niestabilny.

Jeżeli równanie 0x01 graphic
ma pierwiastki wielokrotne, to w sumie 0x01 graphic
pojawią się wyrazy typu

0x01 graphic

W tym przypadku warunek stabilności 0x01 graphic
pozostaje również ważny, gdyż funkcja 0x01 graphic
rośnie wolniej niż funkcja wykładnicza; zatem dla 0x01 graphic
mamy

0x01 graphic
.

Jeżeli równanie 0x01 graphic
ma pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie oraz jednokrotne na osi liczb urojonych (np. jeden pierwiastek zerowy lub parę pierwiastków urojonych sprzężonych), to w układzie będą występować drgania o stałej amplitudzie, określonej warunkami początkowymi. Układ jest wówczas na granicy stabilności, a ściśle mówiąc, nie jest stabilny asymptotycznie. Jeżeli pierwiastki zerowe są wielokrotne, to przebieg y(t) oddala się od początkowego stanu równowagi, układ jest oczywiście niestabilny.

Warunek 0x01 graphic
będziemy więc uważać za ogólny warunek stabilności liniowych układów automatyki. Potrzeba ściślejszego rozróżniania rodzajów stabilności wystąpi w układach nieliniowych.

Przy badaniu stabilności układów, których własności dynamiczne opisane są za pomocą równań różniczkowych wyższych rzędów (lub odpowiednich transmitancji), natrafia się na duże trudności przy obliczaniu pierwiastków równania charakterystycznego 0x01 graphic
, gdyż jest to równanie algebraiczne tego samego stopnia co rząd równania różniczkowego. Stosuje się wtedy jedno z kryteriów stabilności, tzn. twierdzeń pozwalających ocenić stabilność układu na podstawie wartości współczynników równania charakterystycznego lub przebiegu charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego, bez obliczania pierwiastków równania 0x01 graphic
. Należy jednak pamiętać, że wszystkie kryteria wywodzą się z warunku podstawowego 0x01 graphic
.

KRYTERIUM HURWITZA

Aby wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego

0x01 graphic

miały części rzeczywiste ujemne, muszą być spełnione następujące warunki:

a) wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są większe od zera (jest to warunek konieczny, ale nie dostateczny):

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, ..., 0x01 graphic
,

b) podwyznaczniki 0x01 graphic
, od 0x01 graphic
do 0x01 graphic
, wyznacznika głównego 0x01 graphic
, są większe od zera. Wyznacznik 0x01 graphic
, utworzony ze współczynników równania charakterystycznego, ma n wierszy i n kolumn:

0x01 graphic

podwyznaczniki 0x01 graphic
mają postać:

0x01 graphic
0x01 graphic
, ...

Powyżej przedstawiono praktyczne sformułowanie kryterium Hurwitza. W oryginalnym sformułowaniu Hurwitza wymaga się, aby wszystkie podwyznaczniki 0x01 graphic
, tzn. od 0x01 graphic
do 0x01 graphic
, były większe od zera. Ponieważ jednak zachodzi

0x01 graphic
0x01 graphic
,

zatem w przypadku spełnienia warunku a) sprawdzanie dodatniości podwyznacznika 0x01 graphic
i wyznacznika głównego 0x01 graphic
jest niecelowe.

Jeżeli któryś ze współczynników równania charakterystycznego jest ujemny lub równy zeru albo któryś z podwyznaczników jest ujemny lub równy zeru, to układ jest niestabilny. W przypadku szczególnym, kiedy któryś z podwyznaczników jest równy zeru, równanie charakterystyczne ma, między innymi, pierwiastki czysto urojone i w przebiegu czasowym y(t) występują drgania o stałej amplitudzie. Mówimy wówczas, że układ znajduje się na granicy stabilności (granica stabilności należy do obszaru niestabilnego).

Jeżeli rozpatrywany układ jest niestabilny, kryterium Hurwitza nie pozwala określić, ile pierwiastków równania charakterystycznego ma dodatnią część rzeczywistą.

Przykład 1. Dana jest transmitancja układu zamkniętego

0x01 graphic
.

Podać warunki stabilności układu.

Układ jest stabilny, jeżeli spełnione są następujące warunki:

1) 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,

2) 0x01 graphic
, a zatem 0x01 graphic
,

oraz

0x01 graphic
, a zatem 0x01 graphic
.

Przykład 2. Zbadać stabilność układu opisanego równaniem różniczkowym

0x01 graphic
.

Równanie charakterystyczne układu ma postać:

0x01 graphic
.

Układ jest niestabilny, gdyż współczynnik 0x01 graphic
. Sprawdzanie znaku współczynników 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
oraz podwyznacznika 0x01 graphic
jest niepotrzebne.

KRYTERIUM MICHAJŁOWA

Kryterium Michajłowa pozwala na wykreślne sprawdzenie stabilności układu regulacji automatycznej. Podane zostanie wyprowadzenie tego kryterium.

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego

0x01 graphic

można przedstawić w postaci:

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, ..., 0x01 graphic
są pierwiastkami tego równania.

Jako zmienną niezależną, s możemy wybrać m. in. zbiór punktów położonych na osi liczb urojonych, wówczas 0x01 graphic
i lewa strona równania charakterystycznego przyjmuje następującą postać:

0x01 graphic
.

Każdy z czynników 0x01 graphic
można przedstawić graficznie jako różnicę dwóch wektorów, wektora 0x01 graphic
oraz wektora 0x01 graphic
, przedstawiającego k-ty pierwiastek równania charakterystycznego

0x01 graphic

Rys. Interpretacja graficzna składnika 0x01 graphic

Funkcję 0x01 graphic
, jako funkcję zmiennej zespolonej, można przedstawić w postaci wykładniczej

0x01 graphic
,

gdzie

0x01 graphic

oznacza moduł funkcji 0x01 graphic
, natomiast

0x01 graphic

oznacza argument funkcji 0x01 graphic
.

Zmiana argumentu każdego z czynników 0x01 graphic
przy pulsacji 0x01 graphic
zmieniającej się od 0x01 graphic
do 0x01 graphic
wynosi 0x01 graphic
dla pierwiastka 0x01 graphic
położonego w lewej półpłaszczyźnie oraz 0x01 graphic
dla pierwiastka 0x01 graphic
położonego w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s.

0x01 graphic

Rys. Zmiana argumentu składnika 0x01 graphic
przy zmianie 0x01 graphic
od 0x01 graphic
do 0x01 graphic

Jeżeli przyjmiemy, że spośród n pierwiastków równania charakterystycznego {n— m) pierwiastków znajduje się w lewej półpłaszczyźnie, a m pierwiastków znajduje się w prawej półpłaszczyźnie, to zmiana argumentu 0x01 graphic
przy zmianie 0x01 graphic
od 0x01 graphic
do 0x01 graphic
wyniesie

0x01 graphic
.

Ponieważ warunkiem stabilności jest, aby wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego miały ujemne części rzeczywiste, układ będzie więc stabilny, jeżeli 0x01 graphic
, tzn. jeżeli

0x01 graphic

Warunek ten można uprościć, jeżeli wykażemy, że 0x01 graphic
jest krzywą symetryczną względem osi liczb rzeczywistych. Podstawiając w równaniu

0x01 graphic

0x01 graphic
zapiszemy lewą stronę w postaci

0x01 graphic
.

Części rzeczywista i urojona 0x01 graphic
wynoszą

0x01 graphic

Mamy zatem

0x01 graphic
0x01 graphic

oraz

0x01 graphic
0x01 graphic

Wystarczy więc zbadać przebieg jednej gałęzi krzywej 0x01 graphic
, dla pulsacji zmieniającej się od 0 do 0x01 graphic
.

Kryterium Michajłowa można sformułować ostatecznie następująco:

Układ regulacji automatycznej jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy zmiana argumentu krzywej 0x01 graphic
przy zmianie pulsacji od 0 do 0x01 graphic
wynosi 0x01 graphic
, gdzie n oznacza stopień równania charakterystycznego

0x01 graphic

Krzywą 0x01 graphic
nazywa się niekiedy krzywą charakterystyczną lub hodografem Michajłowa.

Z równania

0x01 graphic

wynika, że 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
jest liczbą rzeczywistą i ma : wartość 0x01 graphic
. Następnie, dla rosnących pulsacji 0x01 graphic
, krzywa 0x01 graphic
układu stabilnego przechodzi kolejno w kierunku .dodatnim przez n ćwiartek płaszczyzny 0x01 graphic
0x01 graphic
.

Przykładowe przebiegi 0x01 graphic
dla n =1,2, 3, 4 przedstawiono na rysunku.

0x01 graphic

Rys. Przykładowe przebiegi krzywych 0x01 graphic
układów stabilnych

Konstrukcja graficzna wektora 0x01 graphic
, którego grot zakreśla krzywą 0x01 graphic
wynika z równania

0x01 graphic

Otrzymujemy

dla n = l 0x01 graphic
,

dla n = 2 0x01 graphic
,

dla n = 3 0x01 graphic

Na rysunku pokazano konstrukcję wektora 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
, w punkcie 0x01 graphic
.

0x01 graphic

Rys. Konstrukcja wektora 0x01 graphic

Przykłady krzywych 0x01 graphic
układów niestabilnych zostały przedstawione na rysunku.

0x01 graphic

Rys. Przykładowe przebiegi krzywych 0x01 graphic
układów niestabilnych

Wszystkie te krzywe nie spełniają warunku stabilności 0x01 graphic
: dla n = 2 ze względu na niewłaściwy kierunek obrotu (zmiana argumentu równa 0x01 graphic
), dla n=3 ze względu na ominięcie drugiej ćwiartki płaszczyzny, - dla n = 4 ze względu na zmianę argumentu wynoszącą 0x01 graphic
zamiast wymaganej 0x01 graphic
. Jeżeli krzywa 0x01 graphic
przechodzi przez początek układu, jak pokazano na rysunku dla n = 3, to mówimy, że układ znajduje się na granicy stabilności.

W przebiegu czasowym y(t) występują wówczas drgania niegasnące, a zmiana argumentu 0x01 graphic
jest nieokreślona.

Przykład 1. Za pomocą kryterium Michajłowa zbadać stabilność układu zamkniętego, którego transmitancja jest następująca:

0x01 graphic

Piszemy równanie krzywej 0x01 graphic

0x01 graphic

Obliczamy wartości części rzeczywistej 0x01 graphic
i części urojonej 0x01 graphic
dla kilku 0x01 graphic
, zestawiamy wyniki obliczeń w tablicy i sporządzamy wykres.

0x01 graphic

0

0,5

0,8

1

2

0x01 graphic

2

1,5

0,72

0

-6

0x01 graphic

0

0,875

-0,16

-2

-34

0x01 graphic

Rys. Przebieg krzywej 0x01 graphic

Układ jest niestabilny, ponieważ krzywa 0x01 graphic
omija drugą ćwiartkę płaszczyzny i zmiana argumentu wynosi (jak widać z rys.)

0x01 graphic
,

co jest niezgodne z warunkiem stabilności.

Przykład 2. Na podstawie przebiegu przedstawionej na rys. krzywej 0x01 graphic
dla n= 3 udowodnić, że z kryterium Michajłowa wynikają te same warunki stabilności układu jak z kryterium Hurwitza.

0x01 graphic

Rozwiązanie:

a.

Kierunek przebiegu krzywej jest przeciwny do kierunku obrotu wskazówek zegara, jeżeli

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

b.

Krzywa przechodzi kolejno przez I, II i III ćwiartkę płaszczyzny, jeżeli 0x01 graphic
, tzn. 0x01 graphic
. Odpowiada to warunkowi Hurwitza: podwyznacznik 0x01 graphic
.

0x01 graphic

97

Wykład
Podstawy Automatyki
prof. dr hab. inż. Stanisław Płaska



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
kon0, automatyka konspekt
kon6, automatyka konspekt
kon9, automatyka konspekt
regulatory, automatyka konspekt
kon13, automatyka konspekt
sprawozdanie automatyka2, studia, V semestr, Automatyka i robotyka, sprawko automaty stabilność
Konspekt wykładów z Podstaw automatyki wykład 5
Konspekt korektywa FIN (Automatycznie zapisany) 2
stabilizatory o dzialaniu ciaglym konspekt sprawozdanie
macierz2, studia, V semestr, Automatyka i robotyka, sprawko automaty stabilność
konspekt automatyka
Wykład 6 Stabilność liniowych układów automatyki (2013)
Stabilność układów automatyki
konspekt wydruk (Automatycznie zapisany)
Ula SPRAWOZDANIE AUTOMATYKA granica stabilnoscix1 emf
Ula SPRAWOZDANIE AUTOMATYKA granica stabilnoscix2 emf
Ula SPRAWOZDANIE AUTOMATYKA granica stabilnoscix0 emf
Ula SPRAWOZDANIE AUTOMATYKA granica stabilnoscix3 emf

więcej podobnych podstron