I Modelowanie - cele, etapy, zasady - Modelem matematycznym systemu (obiektu) lub procesu jest zestaw wzorów matematycznych, ogólnie zestaw relacji matematycznie logicznych)określających zależności pomiędzy wyrażanymi wielkościami. Są to wielkości wejściowe i wyjściowe systemu, a system taki nazywamy względnie odosobnionym. Dobór określonego modelu z określonej klasy, wprowadza się kryterium, które będzie rozróżniać który model lepszy który gorszy, że minimalizując kryterium można uzyskać algorytm identyfikacji, żeby jakieś dane pomiarowe przekształcić na dany parametr.

Półkryterium, wyjście obiektu, wyjście modelu

System jest pewną całością, w której współdziałają wyodrębnione części składowe. Funkcjonowanie systemu zależy od funkcji części składowych i związków między nimi. Powiązania części składowych

Określają strukturę systemu.

cele budowy modelu systemu

1. Opis i wyjaśnienie działania mechanizmu systemu - model fenomenologiczny

2. Przewidywanie zachowania się systemu w przyszłości i przy różnych

Warunkach oddziaływania na system - model prognostyczny

3. Wybór właściwych oddziaływań wejściowych spełniających określone warunki - model decyzyjny ( w szczególności wybór optymalny)

4. Wybór struktury lub parametrów systemu , spełniającego określone zadania - model normatywny

Etapy modelowania matematycznego

1. Sformułowanie celów modelowania

2. Wybór kategorii modelu i określenie jego struktury

3. Identyfikacja

4. Algorytmizacja obliczeń

5. Weryfikacja

Modelem matematycznym systemu (obiektu, procesu) jest zestaw wzorów matematycznych (ogólnie zestaw relacji matematyczno-logicznych) określających zależności pomiędzy wyróżnionymi wielkościami.

Są to wielkości wejściowe i wyjściowe systemu, a system taki nazywamy

Względnie odosobnionym.

W pojęciach wejście i wyjśćie zawarte jest domniemanie o związku

Przyczynowo-skutkowym między tymi wielkościami, w tym sensie , że znając (obserwując) wejście można określić jakie będzie wyjście

Weryfikacja modelu jest to porównanie wyników modelowania z zachowaniem się systemu rzeczywistego z punktu widzenia zgodności z wiedzą teoretyczną oraz badaniami empirycznymi

Kryteria wewnętrzne :

-zgodność formalna

-zgodność algorytmiczna

Kryteria zewnętrzne :

-zgodność heurystyczna

-zgodność pragmatyczna

1.zgodnść replikatywna

2.zgodność predykatywna

3.zgodnść strukturalna

II Sformuluj zadanie identyfikacji

1. Wyznaczenie modelu systemu na podstawie badań eksperymentalnych

2. określamy własności modelu o jakie nam chodzi

3. wybieramy kryterium modelu i najlepszy model z danego kryterium

4. Znalezienie algorytmu identyfikacji, czyli znalezienie takiej wartości a dla której model będzie najdokładniej przybliżał rzeczywisty obiekt w sensie określonego wskaźnika jakości

5. Wyróżniamy identyfikację bierną (na podstawie obserwacji i spostrzeżeń) i identyfikację aktywną („nastawienie” określonych wartości x i obserwacji rezultatów y)

Suma odległości rzeczywistych od modelowych musi być jak najmniejsza (liczymy min. po a)

wyznaczenie
na podstawie układu czterech równań:

III Opisz zadanie analizy w sterowaniu systemu- Narysować kółeczko i powiedzieć, że to jest system i powiedzieć, ze polega to na tym, że badamy odpowiedź systemu na różne wymuszenia i dlatego to robimy żeby nabrać przekonania jak system reaguje na różne wymuszenia

Zadaniem analizy jest badanie zachowania się systemu o znanym modelu; wartościach parametrów oraz przyjętych wielkościach działających na system z zewnątrz.

Analiza ilościowa - ­Polega na wyznaczeniu wartości interesujących nas wielkości lub wskaźników jakości charakteryzujących.....

Wyznaczenie dla danego procesu takiego momentu w którym: rozmiar produkcji y(T) osiągnie zadaną wartość należy znaleźć wartość T spełniającą równanie wzorek gdzie c jest zadaną wartością y(T).

Ogólnie dla obiektu statycznego y = F(x). Typowe zadanie analizy polega na znalezieniu wyjść y dla danych wartości wejść x. Dla obiektów dynamicznych analogicznie zadanie polega na wyznaczeniu przebiegu czasowego odpowiedzi na zadany przebieg wejścia x(t) przy znanych warunkach początkowych.

ANALIZA ILOŚCIOWA

jeżeli znamy wartości liczbowe parametrów
to

wstawiamy dane
do modelu i wyliczamy

Analiza jakościowa - czy system ma określone, interesujące dla nas wartości  czy układ jest stabilny (czy powraca do stanu równowagi, po ustaniu zaburzeń, które go z tego stanu wytrąciły  dąży do danej wartości)

IV Opisz zadanie syntezy w sterowaniu systemu - odwrotne do analizy - jest postawiony cel i należy wymyślić jak go zrealizować, czyli odrzucenie według zadania analizy. Poprzez odpowiednie kryteria dowiemy się jak to osiągnąć. Jak przygotować wejście i wyjście, aby układ reagował w odpowiedni sposób.

Synteza\projektowanie - jako dobrać wejście oraz parametry żeby wyjście spełniało nasze oczekiwania (system powinien spełniać określone wymagania ilościowe i jakościowe). Sterownie - bieżące zmiany projektu spowodowane zmianami zakłóceń i polegające na wyznaczeniu oraz realizacji uaktualnianych decyzji. Przyjmijmy, że jeden z parametrów zmienił się lub zmienia (np. okresowo). Celem sterowania jest osiągnięcie pomimo zakłóceń pożądanych efektów. Dobieramy wejścia x (te które możemy) tak aby osiągnąć wyjście (y*). Przyczyną tego co się dzieje w systemie są wejścia oraz zakłócenia - skutki obserwujemy na wyjściu. Zakłócenia - wielkości, które mają wpływ na system, ale możemy je tylko obserwować - nie zmieniać.

PROJEKTOWANIE - PODEJMOWANIE DECYZJI

dla danych wartości a oraz zadanych wartości
,

można wyliczyć decyzje

V Scharakteryzuj przyczyny właściwości dynamicznych systemów - Zmiany stanu energetycznego nie mogą następować niezwłocznie, bo wymagało by to mocy o wartości nieskończoność, a ponieważ takich źródeł nie ma to musimy się liczyć z intercją

Droga przez opóźnienie w systemie - punkt przyłożenia wymuszenia i punkt obserwacji tych efektów wymaga przestrzeni, a skoro tak to pokonanie przestrzeni wymaga czasu, a to jest opóźnienie, które następuje pomiędzy wielkością wejściową a wyjściową

VI Omów pojęcie stanu układu dynamicznego - Zbór pewnych wielkości na podstawie których skumulowana jest cała historia systemów. Na podstawie zmiennych stanu jesteśmy w stanie przewidzieć zachowanie systemu w przyszłości.

Własności dynamiczne systemów wynikają z działania następujących ogólnych zasad f i z y c z n y c h :

• Przy ograniczonych wydajnościach źródeł , każda nie nieskończenie mała zmiana stanu energetycznego lub materiałowego wymaga pewnego czasu (bezwładność=inercja)

• Każde skończone przemieszczenie się w przestrzeni zjawiska materialnego wymaga pewnego czasu (opóźnienie)

Stan systemu dynamicznego

Jest to najmniejsza liczba danych (wektor stanu) , których znajomość w danej chwili, przy znajomości wielkości wejściowych , począwszy od tej chwili - pozwala jednoznacznie określić stan i wielkości wyjściowe systemu w przyszłości.

Wielkości stanu są więc zmiennymi wewnętrznymi systemu, które reasumują w sobie całą przeszłość i determinują jego przyszłość.

Zdeterminowanie systemu wynika z postulatów :

• Przyczynowość

• Zupełność

VI Omów na przykładzie opis za pomocą równań stanów.

Zbiór pewnych wielkości na podstawie których skumulowana jest cała historia systemów. Na podstawie zmiennych stanu jesteśmy w stanie przewidzieć zachowanie systemu w przyszłości.

Zgodnie z 2- gim prawem Kirhoffa dla obwodu zamkniętego mamy:

Ostatni człon R­₂*I₁(t)=U₂(t), czyli wyjściu tego układu. W tak wyznaczonym równaniu jest zbyt wiele niewiadomych

Ogólna postać równania stanu:

x'=ax+bu

y=cx

VII Omów na przykladzie opis za pomocą równania różniczkowego we-wy.

Bierzemy jakiekolwiek równanie z obiektów dynamicznych. Piszemy równanie i piszemy, że to łączy przebiegi czasowe które pojawiają się na wejściu z tymi, które pojawiają się na wyjściu. Ponieważ są dynamiczne opis za pomocą równania różniczkowego jest adekwatny. Piszemy równanie np. obiekt inercyjny 1-go rzędu . Można dodać, że to równanie różniczkowe jest z takim ogólnym opisem, bo warunki początkowe są różne od zera. We wzorach różniczkowych można uwzględnić warunki różne od zera, czego nie można zrobić w postaci przypadku transmitancji.

(Rysunek- pyt. 6)

Nasze równanie wejścia ma poctaćU₂(t)=R₂*I₁(t); różniczkujemy je obustronnie

podstawiając do równania **** i przeliczając otrzymamy

Ogólna postać różniczkowego równania we-wy.

U₁(t)=a₁U₂(t)+a₂U₂'(t)

u=a₁y+a₂y'

VIII Omów na przykładzie opis w postaci transmitancji.

Transmitancja - transformata odpowiedzi do transformaty wymuszenia przy zerowych warunkach początkowych. Ten iloraz jest wartością stałą charakterystyczną dla danego obiektu. Wynika z tego, że dobrze służy do opisu obiektów, bo złożone systemy można łatwo analizować poprzez budowę schematów zastępczych z wykorzystaniem transmitancji, że łatwo wyliczać na podstawie transmitancji odpowiedź obiektu, bo w trudnej zmianie dziedziny czasu i równań różniczkowych przechodzimy na algebraiczne działania w postaci wielomianów zmiennej zespolonej n. - 4p.

Układ całkujący idealnie - równanie we-wy:

y' = ku zatem

korzystając z właściwości transformaty otrzymujemy:

IX Omów na przykładzie odpowiedź skokową układu.

Odpowiedź skokowa - to jest odpowiedź na skok jednostkowy, że to ma taki sens, że często badamy układy włączając zasilanie i patrząc jak to dążą do wartości zadanej i temu właśnie odpowiada odpowiedź skokowa i, że ta ka....kówke oznaczamy odpowiedź skokową to jest jak wyjście zachowuje się do wejścia. Na wejściu rysujemy skok, na wyjściu np. [zapłonu] inercyjnego. Że to jest opis dynamiki obiektu jeden z możliwych.

Układ całkujący idealnie - wyjście to całka wejścia

u y

Równanie we-wy y'=ku zatem

Korzystając z właściwości transformaty otrzymujemy:

Transformata odpowiedzi jednostkowej wynosi

Przebieg czasowy skoku jednostkowego otrzymamy przez transformatę odwrotną:

X Omów na przykładzie odpowiedź impulsową układu.

„Napisać Co to jest ten impuls”. Może to posłużyć do obserwacji jak układ będzie się zachowywał przy nagle pojawiających się zakłóceniach krótkotrwałych, bo one mają właśnie charakter takich impulsów. Skoro wiemy jak ten układ reaguje na te impulsy to możemy zaplanować działania przeciwdziałające destabilizacji obiektu. Można podać związek z odpowiednią skokową, że jedna jest pochodną drugiej, albo, że odpowiedź impulsowa to jest transformata odwrotna transmitancji i pokazać to.

u y

Równanie we-wy y'=ku zatem

Korzystając z właściwości transformaty otrzymujemy:

Przebieg czasowy odpowiedzi impulsowej otrzymany przez transformatę odwrotna transmitancji układu:

Korzystając z odpowiednich tablic odpowiedź impulsowa jest pochodną odpowiedzi impulsowej.

XI Na przykładzie opisz Człon inercyjny

Odpowiedź układu nie jest niezwłoczna tylko z taką inercją gdzieś się ustala ale po pewnym czasie. Wyrysować [styczna ] z lewej i powiedzieć - to jest stała czasowa - im większa stała czasowa tym później nastąpi to ustalenie tego wyjścia. Transmitanją to jest 1/Te+1 i jeszcze przykład (najlepiej elektryczny - czwórnik RC, RL)

Na początku musimy założyć że mamy zerowe warunki początkowe

różniczkuję

Równanie we-wy

XII Człon całkujący z inercją

Nieobciążony czwórnik RC

XIII Człon różniczkujący z inercją

Nieobciążony czwórnik RL.

T- stała czasowa odpowiedzialna za inercję

k- współczynnik wzmocnienia

XIV Człon oscylacyjny

Nieobciążony czwórnik RLC

Powracamy do U₁(t)

jeżeli wprowadzimy teraz że
oraz LC=T_L*T_C mamy:

w naszym wypadku k=1

Aby układ spełniał warunki oscylacji musi być zachowana zależność T_c<4T_L inaczej inercyjny II rzędu

** ** <0 - niestabilny; =0 - drgania nietłumione; >0 - drgania tłumione

XV Człon opóźniający

Przykładem członu opóźniającego jest rurociąg.

Przyjmujemy że przewód rurociągu ma długość l i przekrój s. Przepuszcza w jednostce czasu q₁(t) jednostek objętości cieczy. Pomijamy zjawiska spowodowane odkształceniem się rurociągu. Znajdujemy średnią prędkość przepływu cieczy:

Jeżeli w chwili od której liczymy czas (tzn. t=0), do wlotu rurociągu wpłynie cząstka cieczy, to możemy przyjąć, że dojdzie ona do wyjścia po upływie czasu
.

W związku z tym natężenie q₂(t) przepływu na końcu rurociągu wynosi q₂(t)=q₁(t-τ₀) a zatem rozważany rurociąg jest członem opóźniającym o wzorze:

y(t)=ku(t-τ₀) h(t)=k 1(t-τ₀).

XVI Opisz i narysuj układ regulacji automatycznej.

E(s) - sygnał uchybu

U(s) - sygnał nastawiający

Błąd (uchyb regulacji) jest różnicą wartości zadanej Y*(s) obiektu i jego wartością rzeczywistą Y(s).

E(s)=Y*(s)-Y(s)

Rozpatrując poszczególne części układu na zasadzie we-wy.

Dla regulatora mamy:

U(s)=G_r(s)⋅E(s)

Wyjście całego układu Y(s) = G₀(s)⋅U(s)podstawiamy U(s)

Y(s)=G₀(s)⋅G_r(s)⋅E(s)

Liczymy dalej

E(s)=Y*(s)-G₀(s)G_r­(s)⋅E(s)

Y*(s)=E(s)[G₀(s)⋅G_r(s)+1]

Transmitancja uchybowa jest ilorazem uchybu regulacji i jego wartości zadanej

Transmitancja zastępcza wynosi:

Dokonując dalszych przekształceń otrzymujemy, że:

gdzie M_z, L_z - wielomiany z wyrażeniem wolnym. n = 0 układ statyczny.

wraz ze wzrostem czasu

- błąd ustalony
0 stąd

astatyczny 1-go rzędu

uchyb sprowadza do zera.

Przy bardziej skomplikowanej wartości żądanej układ astatyczny 1-go rzędu nie wystarczy do zlikwidowania uchybu.

XVII. Wyznacz transmitancję wypadkową układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym w przypadku umieszczenia w torze sprzężenia zwrotnego członu H(s) oraz bez tego członu.

Dwa proste rysuneczki. Obiekt ze sprzężeniem zwrotnym. Jakieś G(s), H(s) sprzężenie albo przez człon o transmitancji G(s) albo przez sprzężenie sztywne gdzie cały sygnał z wyjścia wprowadza się na wejście. Robimy 2 rysuneczki i wyprowadzamy wzory na zmiennej zespolonej [{male} L], że y=transmitancja obiektu razy U - jego wejście , czyli sterowanie to jest y. U = transmitancja regulatora razy U i 3 równanie, że y*-y=U i z tych 3 równań trzeba wyprowadzić transmitancję układu

Sprzężenie z członem H(s)

Mamy:

wiemy jednocześnie, że

Transmitancja wypadkowa wynosi

Sprzężenie bezpośrednie

Transmitancje wypadkową otrzymamy przyjmując H(s)=1

,

a dla dodatniego sprzężenia zwrotnego

XVIII Wyznacz transmitancję układu n elementów połączonych szeregowo oraz róznolegle.

Transmitancja szeregowa

Schemat dwuelementowy:

Łatwo zauważyć, że kolejne elementy schematu będą tworzyły układ o tych samych własnościach, gdyż praktycznie cały czas wpinamy człon, którego własności dynamiczne przed zmianą i po zmianie będą takie same.

Teraz wykorzystamy definicję transmitancji. Sygnały wejściowe poszczególnych członów spełniają warunek:

W₁(s)=G₁(s)⋅V₁(s)

W₂(s)=G₂(s)⋅V₂(s)=G₂(s)⋅W₁(s)=G₂(s)⋅G₁(s)⋅V₁(s)

ogólnie:

W_n(s)=G_n(s)⋅V_n(s)=G_n(s)⋅G_n-1(s)⋅V_n-1(s)=G_n(s)⋅G_n-1(s)⋅…⋅G₂(s)⋅G₁(s)⋅V₁(s)

Zatem:

Transmitancja równoległa

W₁(s)=G₁(s)⋅V₁(s)

W₂(s)=G₂(s)⋅V₂(s)

Ogólnie:

W_n(s)=G_n(s)⋅V_n(s)

Czyli:

transmitancja wypadkowa wynosi:

Wymień zalety i wady układów regulacji z regulatorami P, PI. - Trzeba wyszczególnić obiekt wyszczególnić regulator, pokazać węzeł sumacyjny, gdzie wyjście obiektu porównuje się z wartością zadaną i że to co wychodzi to jest epsilon, że ten epsilon wchodzi na regulator, z regulatora do U sterowanie. Opisać te sygnały sterowanie, wyjście obiektu, wartość zadana, układ regulacji i transmitancji. Transmitancja układu zamkniętego to jest Y/G* Transmitancja uchybowa to jest Y/Epsilon. To one opisują własności układu jako całości tzn, że mieści się tam i obiekt i regulator i taki układ trzeba analizować jako całość. Nie można oddzielić obiektu od regulatora, bo one pracują wspólnie i wspólnie mają dopiero te własności dynamiczne, własności typu statycznego lub astatycznego, własności typu stabilność albo jej brak.

W regulatorze Pi mamy do czynienia z przebiegami oscylacyjnymi, które długo dosyć wpływają, dużo dłużej niż z regulatorem typu P, ale w stanie ustalonym jak się popatrzy na tą funkcję układ osiągnie dokładnie wartość zadaną. Kosztem długiego czasu ustalania się stanu (kosztem oscylacji) osiągamy dokładnie to co sobie życzymy. W regulatorze P osiąga się szybko wartość zdaną, ale mniej dokładnie. Pi - wolne ale o charakterze astatycznym sprowadzającym uchyb do zera i w efekcie

Regulator P (proporcjonalny) - wady:

• występująca przy praktycznej realizacii wzmacniacza, nieliniowość jego charakterystyk(zniekształca)

• wrażliwość na zmiany niektórych parametrów powoduje, żę współczynnik wzmocnienia nie jest stały, i może przybierać wartości zawatre w szerokich granicach(aby go zniwelowa: duże wzmocnienie)

Zalety:

• Jego sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do wejściowego

• dość szybki

Regulator PI (proporcjonalno - całkujący) wady - brak;

zalety:

• można wykorzystać do regulacji statycznej i astatycznej.

• Szybko reaguje na zmiany warunków pracy

• uchyb może zostać zlikwidowane przez odpowiednie PI

Pytanie 24:

• Regulator PD (proporcjonalno - różniczkujący)

wady - brak wymienionych

zalety:

• możliwość wyznaczania dokładniejszego oddziaływania na przebiegi przejściowe w układach statycznych(dokładniejsze niż w P)

• Część regulatora o działaniu różniczkującym wytwarza składnik sygnału wyjściowego regulatora zależny od pochodnej uchybu względme czasu dlatego regulator PD narzuca właściwe waruki pracy w układzie już od początku procesu przejściowego -> gwarantuje to szybką likwidację uchybu dynamicznego przy zmianach sygnału zadającego oraz zapewnia złagodzenie skutków zmian zakłóceń.

Regulator PID (proporcjonalno, całkująco - różniczkujący)

wady - może wystąpić interakcja (wzajemne zależności nastawu poszczególnych wielkości) gdy stała czasowa inercji regulatora T=0 układ NIE !!!!!!! do fizycznej realizacji.

Zalety: -większa skuteczność ->zapewnia mały uchyb regulacji w zakresie małych częstotliwości i zerowy uchyb w stanie ustalonym oraz leprzą stabilność układu przy szerszym zakresie skutecznego działania i szybszej reakcji na zakłócenia.

Wyznacz algorytm identyfikacji przy kwadratowym kryterium jakości dla modelu y = a * u. Jest obiekt i on ma swoje wyjście, ma swoje wejście i ja dysponuje takimi parami pomiarowymi no i teraz chce wyznaczyć charakterystykę statyczną która łączy wielkość wyjściową z wejściową ( w stanach ustalonych). Ponieważ nie znam rzeczywistej charakterystyki, a dysponuje tymi punktami pomiarowymi to jeżeli ja nie znam tej charakterystyki to ja wprowadzam sobie pewien model czyli zależność, że y to jest I(U) i jakimś parametrem B. Np. model liniowy i teraz poszukuje wśród modeli liniowych czyli wśród tych wszystkich prostych poszukuje takiej prostej, że minimalizuje kryterium jakości identyfikacji. Kryterium jest takie, że suma odległości pomiarów od tej prostej jest najmniejsza. Minimalizacja kryterium i wyprowadzenie wzoru w oparciu o kryterium typu, po zminimalizowaniu. U i y to są liczby bo są dane, to zostanie a. -

Y=a*u to wzór modelu jednowymiarowego, czyli takiego, który posiada jedno wejście i jedno wyjście. Poszukujemy najlepszego `a'. Tabela danych pomiarowych tego układu złożona jest z 2 wierszy:

u		...
y		...

Korzystam z kryterium kwadratowego dla obiektu:

najlepszą wartość `a', dla której Q(a) osiąga minimum, wyznaczamy przyrównując pochodną funkcji do zera:

algorytm identyfikacji

Omówić zasadę wyznaczania costam na wektory z zastosowaniem rozłożenia na ułamki proste - Beznadziejnie trudne. - Zaczynamy od przedstawienia metodologi takiej, że odpowiedź układu to jest funkcja wymiany s przez licznik i mianownik. Napisać jakiś wzór ogólny.........................

Dla każdego ułamka prostego znamy odpowiedź w dziedzinie czasu i jest ona prosta, na ogół jest to e ^-at czy e^-st jeżeli s jest liczbą rzeczywistą to mamy do czynienia z przebiegami typu wykładniczego tłumionymi albo wzmacnianymi w zależności od tego czy jest e do ⁺ jakiejś liczby czy e^- jakiejś liczby. O ile pierwiastki są zespolone, to okazuje się, że z natury rzeczy przy rzeczywistych współczynnikach będą to pary liczb sprzężonych. Jak jest para pierwiastków sprzężonych to na końcu po przekształceniach skrócą się wszystkie zespolone czynniki. Jeżeli pierwiastki są zespolone, to muszą być parami sprzężone bo to wynika z matematyki. Konsekwencją tego jest to, że jak jest para sprzężone, że pojawiają się w układzie przebiegi oscylacyjne tłumione, albo nie.

Przebieg w układzie regulacji - może albo osiągać stan wartości zadanej albo, że nie jest w stanie osiągnąć tej wartości zadanej. Wynika to z tego, że układ traktowany jako całość wraz z regulatorem jest układem statycznym, a więc w stanie ustalonym ma uchyb różny od zera. Co wynika z zależności matematycznych.

Układy astatyczne - W stanie ustalonym mają uchyb równy zeru. Układ astatyczny 1-go rzędu potrafi wartość skoku jednostkowego wprowadzić uchyb ustalony do zera, podajemy przykład

---