POLITECHNIKA WARSZAWSKA

INSTYTUT MASZYN ELEKTRYCZNYCH

Zakład Konstrukcji Urządzeń Elektrycznych

INSTRUKCJA ĆWICZENIA LABORATORYJNEGO

Szeregowe i równoległe obwody RLC

zasilane prądem zmiennym

Laboratorium Elektrotechniki w Inżynierii Komunalnej

Warszawa 2003

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawowymi zjawiskami zachodzącymi w obwodach RLC przy zasilaniu napięciem sinusoidalnie zmiennym oraz zdobycie podstawowej wiedzy z zakresu łączenia obwodów elektrycznych i doboru właściwych przyrządów pomiarowych.

2. Wprowadzenie

1. Napięcie sinusoidalnie zmienne

Napięciem i prądem zmiennym nazywamy wielkości, których wartość i zwrot zmieniają się w czasie. Szczególny przypadek stanowią napięcia i prądy zmieniające okresowo wartość i zwrot w ten sposób, że ich całka w granicach okresu jest równa zero.

(2.1)

W elektrotechnice szerokie zastosowanie znalazły prądy i napięcia, których przebieg ma charakter sinusoidalnie zmienny. W Polsce otrzymywanie tego rodzaju prądów i napięć jest możliwe dzięki generatorom napędzanym w większości przypadków turbinami parowymi lub wodnymi. Wytworzona w ten sposób energia elektryczna jest wielokrotnie przetwarzana, a następnie przesyłana za pomocą sieci elektroenergetycznych. Napięcie panujące w sieci oświetleniowej w Polsce ma kształt sinusoidalny, częstotliwość 50Hz i wartość skuteczną 230V (napięcie fazowe).

2. Zależności między sinusoidalnie zmiennymi napięciami a prądami w obwodzie RLC

1. Gałąź z rezystancją

Jeżeli przez rezystancję R płynie prąd sinusoidalnie zmienny o zmieniającym się w czasie natężeniu i:

(2.2)

gdzie:

- pulsacja prądu (
),

- faza początkowa prądu,

to na rezystancji wystąpi spadek napięcia u_R równy:

(2.3)

A zatem napięcie u_R na zaciskach rezystancji R oraz prąd i_R przepływający przez rezystancję osiągają swoje wartości: maksymalne (U_m i I_m), minimalne i zerowe w tych samych chwilach, czyli są zgodne w fazie (rys.1).

Rys. 1. Wykres czasowy i wskazowy prądu i napięcia w gałęzi z rezystancją R

Kąt przesunięcia fazowego
między prądem i_R i napięciem u_R jest równy zero (
).

Wartości chwilowe, maksymalne i skuteczne napięcia i prądu są związane prawem Ohma:

,
,
(2.4)

Przyjmując, że wielkość G = 1/R nazywać będziemy konduktancją, wzory (2.4) można zapisać w postaci:

,
,
(2.5)

Zależność między prądem a napięciem w rozpatrywanym obwodzie można przedstawić graficznie. Reprezentantami wartości chwilowych prądu i napięcia są obiekty przypominające wektory, ale nazywane wskazami ze względu na fakt, że prąd i napięcie nie są wielkościami wektorowymi. Wykresy wskazowe rysuje się podobnie jak znane z kursu fizyki wykresy wektorowe. Przy konstruowaniu i analizie wykresów wskazowych można korzystać ze znanych reguł rachunku wektorowego. Na rysunku 1 widoczny jest wykres wskazowy napięcia i prądu gałęzi z rezystancją. Wskazy są równoległe, ponieważ kąt przesunięcia fazowego między prądem i napięciem jest równy zero.

2. Gałąź z indukcyjnością

Elementem elektrycznym wykazującym indukcyjność L jest cewka indukcyjna. Przyjmując, że prąd i_L przepływający przez element indukcyjny ma przebieg sinusoidalny, otrzymujemy wzór na wartość chwilową napięcia na elemencie L:

(2.6)

Z zależności tej wynika, że napięcie u_L na cewce wyprzedza prąd płynący przez cewkę o kąt
(rys.2).

Rys. 2. Wykres czasowy i wskazowy prądu i napięcia w gałęzi z indukcyjnością

Napięcie na cewce u_L zmienia się proporcjonalnie do szybkości zmiany prądu
_. Napięcie u_L osiąga więc wartość maksymalną dodatnią lub ujemną, gdy wartość pochodnej
jest równa zero.

Kątem przesunięcia fazowego ϕ nazywa się kąt między wektorem napięcia i wektorem prądu. Jest to kąt, o jaki należy obrócić wektor prądu, aby był skierowany tak samo jak wektor napięcia. W rozpatrywanym przypadku
.

Wartości maksymalne i skuteczne napięcia oraz prądu związane są prawem Ohma:

,
(2.7)

Wielkość
, mającą wymiar oporu, nazywamy reaktancją indukcyjną a jej odwrotność
susceptancją indukcyjną.

Zależności (2.7) można więc zapisać w postaci:

,
(2.8)

3. Gałąź z pojemnością

Elementem zdolnym do gromadzenia ładunku elektrycznego, mającym pojemność C jest kondensator. Przyjmując, że napięcie u_C na kondensatorze ma charakter sinusoidalny, to znaczy
, otrzymujemy zależność na wartość chwilową prądu i_C przepływającego przez gałąź z pojemnością C:

(2.9)

Ładunek elektryczny zmienia się sinusoidalnie zgodnie z doprowadzonym napięciem u_C. Gromadzenie się przy tym na przemian ładunków dodatnich i ujemnych na okładzinach kondensatora C wywołuje przepływ prądu sinusoidalnego, którego miarą wartości jest szybkość zmian ładunku w czasie
.

Z zależności (2.9) wynika, że prąd i_C wyprzedza w fazie napięcie u_C na kondensatorze o kat
(rys.3). Napięcie u_C opóźnia się więc względem prądu o kąt
.

Kąt przesunięcia fazowego ϕ napięcia względem prądu, podobnie jak w poprzednim przypadku, jest katem, o jaki należy obrócić wektor prądu, aby był skierowany tak samo jak wektor napięcia, czyli
.

Rys. 3. Wykres czasowy i wektorowy prądu i napięcia w gałęzi z pojemnością

Tak więc kąt ϕ jest wielkością algebraiczną dodatnią w przypadku indukcyjności i ujemną w przypadku pojemności.

Wartość maksymalna i wartość skuteczna napięcia i prądu związane są prawem Ohma:

,
(2.10)

Wielkość
, mającą wymiar oporu, nazywamy reaktancją pojemnościową. Jej odwrotność zaś
- susceptancją pojemnościową.

Zależności (2.10) są równoważne następującym:

,
(2.11)

Z powyższych rozważań wynika, że prąd płynący przez element indukcyjny opóźnia się względem napięcia o kąt
, natomiast prąd płynący przez element pojemnościowy wyprzedza doprowadzone napięcie o kąt
.

3. Gałąź szeregowa RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym

Łącząc szeregowo rezystancję, pojemność oraz indukcyjność otrzymujemy gałąź szeregową RLC przedstawioną na rysunku 4a. Rozpatrujemy obwód w stanie ustalonym. Zakładamy, że gałąź szeregowa RLC jest poddana wymuszeniu sinusoidalnemu, czyli przepływa przez nią prąd i =
.

Rys. 4. Gałąź szeregowa z elementami R, L, C przy wymuszeniu sinusoidalnym

a) schemat

b) wykres wektorowy i wykres czasowy prądu i napięć na elementach R, L, C

Wartości chwilowe napięć na poszczególnych elementach są wtedy również funkcjami czasu i wynoszą odpowiednio (patrz wzory: (2.3), (2.6) i (2.9)):

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Napięcie chwilowe na całej gałęzi szeregowej, zgodnie z drugim prawem Kirchoffa, jest równe sumie napięć na poszczególnych elementach:

(3.4)

a po uwzględnieniu zależności (3.1-3.3):

(3.5)

Korzystając z tożsamości:

(3.6)

otrzymujemy:

(3.7)

Równanie (3.7) stanowi trygonometryczną postać zapisu drugiego prawa Kirchoffa dla gałęzi o szeregowo połączonych elementach R, L, C. Wielkość
nosi nazwę reaktancji danej gałęzi. Gałąź szeregowa ma charakter indukcyjny, jeśli reaktancja X>0, a więc X_L>X_C. W przeciwnym przypadku gałąź ma charakter pojemnościowy, czyli jeśli X_L<X_C, to X<0.

1. Moduł impedancji gałęzi i prawo Ohma

Korzystając z zależności przedstawionych na początku rozdziału 3 można określić funkcje trygonometryczne kąta przesunięcia fazowego:

(3.8)

gdzie wielkość cosϕ nosi nazwę współczynnika mocy oraz:

(3.9)

wartość
nazywamy wartością bezwzględną impedancji lub modułem impedancji. Moduł impedancji oznaczamy jako |Z| i obliczamy korzystając ze wzoru:

(3.10)

Prawo Ohma dla gałęzi szeregowej przy przebiegach sinusoidalnych prądu i napięcia można wyrazić za pomocą zależności:

(3.11)

(3.12)

Prawo Ohma zapisane w postaci (3.12) przy przebiegach sinusoidalnych jest zależnością liniową między wartościami skutecznymi prądu i napięcia.

Z zależności (3.10) wynika, że wielkości fizyczne R, X, |Z| są ze sobą związane twierdzeniem Pitagorasa. Interpretację graficzną tej zależności (tzw. trójkąt oporów lub impedancji) przedstawia rysunek 5.

Rys. 5. Trójkąt oporów (impedancji)

Prawdziwe są następujące relacje:

(3.13)

(3.14)

W zakresie nas interesującym rezystancja R jest wielkością nieujemną, przy czym może przyjmować wartości graniczne:
(stan zwarcia) i
(przerwa w gałęzi). Reaktancja natomiast przybiera wartości rzeczywiste od
do
.

2. Napięcie czynne i napięcie bierne

Jeżeli obie strony równań (3.13) i (3.14) pomnożymy przez wartość skuteczną prądu I, to uwzględniając równanie (3.12) otrzymamy dwie następujące składowe napięcia:

• napięcie czynne, zwane tez składową czynną napięcia, określone wzorem:

(3.15)

• napięcie bierne, zwane tez składową bierną napięcia, określone wzorem:

(3.16)

Wielkości fizyczne |U_cz|, |U_b| i |U| są ze sobą związane twierdzeniem Pitagorasa i spełniają następujące relacje:

(3.17)

(3.18)

Rysunek 6 przedstawia interpretację geometryczną przedstawionych zależności w postaci wykresów wskazowych.

Rys. 6. Wykresy wskazowe napięć i trójkąty oporów gałęzi szeregowej RLC

a) indukcyjny charakter gałęzi

b) charakter pojemnościowy

Konstruując wykresy wskazowe na podstawie wyników pomiarów należy wziąć pod uwagę to, jaką wartość zmierzył zastosowany miernik. Na przykład przyrząd elektromagnetyczny wskaże wartość skuteczną mierzonego prądu lub napięcia.

4. Gałąź równoległa RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym

1. Charakter gałęzi indukcyjny lub pojemnościowy

Niech będzie dana gałąź równoległa RLC (rys. 7) zasilana napięciem sinusoidalnym:

(4.1)

Rys. 7. Gałąź równoległa RLC

Przyjmujemy, że faza początkowa napięcia wynosi zero. Wartości chwilowe prądów płynących przez poszczególne elementy są wówczas opisane funkcjami sinusoidalnymi czasu i wynoszą odpowiednio :

(4.2)

(4.3)

(4.4)

Zgodnie z pierwszym prawem Kirchoffa w odniesieniu do prądów płynących w poszczególnych gałęziach połączonych równolegle:

(4.5)

Podstawiając do (4.5) równań (4.2-4.4) otrzymujemy:

(4.6)

Z zależności (4.6) wynika, że prąd płynący w elemencie rezystancyjnym R jest w fazie z napięciem, jego wartość maksymalna wynosi
zaś skuteczna
.

Prąd płynący przez kondensator o pojemności C wyprzedza w fazie napięcie o kąt
, jego wartość maksymalna wynosi
, a skuteczna
.

Prąd płynący przez cewkę indukcyjną opóźnia się w fazie względem napięcia o kąt prosty, jego wartość maksymalna wynosi
a skuteczna
. Zależności te ilustruje rysunek 8.

Rys. 8. Wykres wskazowy i wykres czasowy napięcia i prądu sinusoidalnego w gałęzi równoległej RLC

przy fazie początkowej napięcia 0

Przyjmujemy ogólnie, że prąd opóźnia się w fazie względem napięcia o kąt ϕ. Prąd w gałęzi głównej wyrażony jest wzorem:

(4.7)

Równanie (4.6) można przekształcić do postaci:

(4.8)

Analogicznie jak poprzednio:
i
.

Wielkość określona wzorem:

(4.9)

Nazywamy susceptancją pojemnościową, wielkość:

(4.10)

susceptancją indukcyjną, a różnicę tych wielkości, występującą w (4.8), określoną wzorem:

(4.11)

lub:

(4.12)

susceptancją wypadkową lub krótko susceptancją gałęzi równoległej RLC. Gałąź równoległa ma charakter pojemnościowy, jeżeli jej susceptancja B jest dodatnia, a więc susceptancja pojemnościowa B_C większa od susceptancji indukcyjnej B_L. W przeciwnym przypadku gałąź ma charakter indukcyjny.

2. Moduł admitancji gałęzi i prawo Ohma

Korzystając z poprzednich zależności łatwo można określić funkcje trygonometryczne kąta fazowego ϕ.

(4.13)

oraz

(4.14)

Wartość
nazywa się wartością bezwzględną admitancji lub modułem admitancji i oznaczana jest symbolem |Y|:

(4.15)

Interpretację graficzną tej zależności (tzw. trójkąt admitancji) przedstawia rysunek 9.

Rys. 9. Trójkąt admitancji

Podobnie jak w przypadku trójkąta oporów, prawdziwe są następujące relacje:

(4.16)

(4.17)

Prawo Ohma dla gałęzi równoległej przy przebiegach idealnych prądu i napięcia wyraża zależność:

(4.18)

oraz

(4.19)

Prawo Ohma napisane w postaci (4.19) dla przebiegów sinusoidalnych jest zależnością liniową między wartościami skutecznymi prądu i napięcia. W zakresie nas interesującym konduktancja G jest wielkością nieujemną, przy czym może przyjmować wartości graniczne:

, a więc rezystancji nieskończenie wielkiej stanowiącej przerwę w gałęzi oraz
, której odpowiada wartość
(stan zwarcia). Susceptancja przyjmuje wartości od
do 
.

3. Prąd czynny i prąd bierny

Dokonując przekształceń wzorów (4.16-4.19) oraz analizy podobnej do opisanej w rozdziale 3.1, otrzymamy zależności przedstawiające dwie podstawowe składowe prądu:

• prąd czynny, zwany tez składową czynną prądu, płynący przez element R gałęzi określony wzorem :

(4.20)

• prąd bierny, zwany tez składową bierną prądu, płynący przez element C gałęzi, określony wzorem :

(4.21)

Wielkości fizyczne: I_cz, I_b i I związane są ze sobą twierdzeniem Pitagorasa i oprócz powyższych dwóch zależności spełniają relację

(4.22)

Rys. 10 Trójkąty prądu : a) gałęzi równoległej RC b) gałęzi równoległej RL

Rys. 11. Gałąź równoległa RLC i wykres wektorowy prądów

Rysunki 10 i 11 przedstawiają schematy i przykładowe wykresy wskazowe układów równoległych: RC, RL i RLC.

5. Moc czynna, bierna i pozorna

Moc w obwodach prądu zmiennego rozpatruje się biorąc pod uwagę składowe zwane mocą czynną i bierną. Moc czynna związana jest ściśle z pojęciem pracy prądu zmiennego. Obliczana jest z zależności:

(4.23)

Moc czynna jest zawsze dodatnia. Jej jednostką jest wat (W). Pobór mocy czynnej wynika z obecności w obwodzie rezystancji R. Idealna cewka, a także idealny kondensator nie pobierają mocy czynnej. Przyrządem służącym do pomiaru mocy czynnej jest watomierz.

Moc bierna związana jest z obecnością w obwodzie elementów indukcyjnych lub/i pojemnościowych. Elementy rezystancyjne nie pobierają mocy biernej. Moc bierną wyznacza się z następującej zależności:

(4.24)

i wyraża się za pomocą jednostki woltoamper reaktancyjny (VAr). Moc bierna może być dodatnia (charakter indukcyjny obwodu) lub ujemna (charakter pojemnościowy). Przyrządem służącym do pomiaru mocy biernej jest waromierz.

Sumę geometryczną mocy czynnej i biernej nazywamy mocą pozorną, której jednostką jest woltoamper (VA). Zależność miedzy mocą czynną, bierną i pozorną wygodnie jest przedstawić graficznie rysując tzw. trójkąt mocy.

Rys. 12. Trójkąt mocy

Kąt ϕ jest kątem przesunięcia fazowego, tym samym, który występuje między napięciem i prądem. Moc pozorną oblicza się z twierdzenia Pitagorasa:

(4.25)

lub korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ϕ:

(4.26)

6. Pomiary

1. Połączyć układ według schematu przedstawionego na rys.10 włączając miedzy zaciski wyjściowe elementy R, L, C połączone w sposób podany w tabeli. Dobrać i podłączyć odpowiednie mierniki celem pomiaru napięć, prądów i mocy w obwodzie.

2. Pomiary wykonuje się przy napięciu podanym przez prowadzącego ćwiczenie.

3. Wyniki pomiarów i obliczeń wpisać do tabeli według zamieszczonego wzoru (tabela 1).

Rys. 13. Schemat układu pomiarowego

4. Wykonać wykresy wskazowe napięć i prądów dla poszczególnych przypadków połączeń elementów R, L, C.

5. We wnioskach podać sposób obliczania rezystancji, reaktancji, impedancji obwodu, mocy: czynnej, biernej i pozornej oraz cosϕ. Podać charakter obwodu.

Lp	Układy połączeń	Pomiary								Obliczenia
				I	I1	I2	I3	U	U1	U2	U3	R	X	Z	cosϕ	P	Q	S
				A	A	A	A	V	V	V	V	Ω	Ω	Ω	-	W	VAr	VA
1			-	-	-				-
2			-	-	-				-
3			-	-	-				-
4					-		-	-	-
5					-		-	-	-
6							-	-	-
7					-				-
8					-				-
9					-

7. Pytania sprawdzające i zadania

1. Co to jest prąd przemienny?

2. Jakiego rodzaju napięcie panuje na zaciskach instalacji oświetleniowej? Podać parametry tego napięcia.

3. W jaki sposób wytwarza się napięcie sinusoidalne?

4. Co to jest pulsacja prądu sinusoidalnego?

5. Czym różnią się pojęcia fazy początkowej i kąta przesunięcia fazowego?

6. Jak zdefiniowany jest współczynnik mocy układu ? Co to jest trójkąt oporów?

7. Czym różnią się odbiorniki o charakterze: rezystancyjnym, indukcyjnym i pojemnościowym?

8. Co to są : rezystancja, konduktancja, reaktancja, susceptancja, moduł impedancji i moduł admitancji?

9. Podać prawo Ohma dla obwodów prądu stałego i zmiennego.

10. Co to jest wartość skuteczna i amplituda napięcia sinusoidalnego? Podać zależności między tymi wielkościami.

11. Przerysować rysunek 6b uzupełniając go o oznaczenia składowych czynnej i biernej napięcia (por. rys. 6a).

12. Wyjaśnić pojęcia: moc czynna, moc bierna i moc pozorna układu. Podać zależności między tymi wielkościami.

13. Jaką moc mierzy watomierz ferrodynamiczny?

14. Na czym polega rysowanie wykresów wskazowych?

15. Podczas zajęć laboratoryjnych z elektrotechniki dokonano pomiarów napięcia na szeregowo połączonych elementach R, L, C otrzymując: U_R = 10V, U_L = 157V,
    U_C = 10V. Częstotliwość napięcia zasilającego f = 50Hz, amperomierz włączony szeregowo z układem RLC wskazał natężenie skuteczne prądu I = 1A. Obliczyć rezystancję opornika R, indukcyjność cewki L, pojemność kondensatora C, moduł impedancji |Z| i współczynnik mocy cosϕ. Jakie napięcie panowało na zaciskach autotransformatora zasilającego obwód?

16. Narysować wykres wskazowy układu z zadania 15.

17. Obliczyć moc czynną, bierną i pozorną układu z zadania 15.

Literatura :

1. Miedziński B. Elektrotechnika. Podstawy i instalacje elektryczne PWN 2000

2. Hempowicz P. Elektrotechnika i elektronika dla nieelektryków WNT 1999

3. Praca zbiorowa Elektrotechnika teoretyczna t.1 WNT 1988

4. Koziej E., Sochoń B. Elektrotechnika i elektronika PWN 1976

SPIS TREŚCI

1. Cel ćwiczenia 3

2. Wprowadzenie 3

2.1 Napięcie sinusoidalnie zmienne 3

2.2 Zależności między sinusoidalnie zmiennymi napięciami a prądami w obwodzie RLC 3

2.2.1 Gałąź z rezystancją 4

2.2.2 Gałąź z indukcyjnością 4

2.2.3 Gałąź z pojemnością 5

3. Gałąź szeregowa RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym 6

3.1 Moduł impedancji gałęzi i prawo Ohma 8

3.2 Napięcie czynne i napięcie bierne 9

4. Gałąź równoległa RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym 10

4.1 Charakter gałęzi indukcyjny lub pojemnościowy 10

4.2 Moduł admitancji gałęzi i prawo Ohma 12

4.3 Prąd czynny i prąd bierny 13

5. Moc czynna, bierna i pozorna 14

6. Pomiary 15

7. Pytania sprawdzające i zadania 17

3

i_L




U_R=U_cz

U_b

I




G

B

|Y|

P

Q

S

ϕ

---