Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej				IMIE I NAZWISKO: Jan Muskała Maciej Śpiewak
LABORATORIUM TEORII STEROWANIA I TECHNIK REGULACJI				SEMESTR: IV
ROK AKADEMICKI: 2012/2013		ROK STUDIÓW: II		GRUPA: 7.2
KIERUNEK: Elektrotechnika				NR ĆWICZENIA: 1, 2
TEMAT ĆWICZENIA: Charakterystyki dynamiczne podstawowych członów UAR.
DATA WYKONANIA: 8,15.03.2013	DATA ODDANIA: 27.03.2013		DATA ZALICZENIA SPRAWOZDANIA:

Spis treści

1 Charakterystyki wykorzystywane do opisu członów automatyki

• Charakterystyki wykorzystywane do opisu członów automatyki

Analiza układów sterowania automatycznego opiera się na wykorzystaniu charakterystyk dynamicznych. Charakterystyki te opisują zachowanie się układu sterowania jako całości lub poszczególnych jego elementów w stanach dynamicznych, tj. podczas trwania procesów przejściowych. Rozróżniamy dwa rodzaje charakterystyk dynamicznych: charakterystyki czasowe oraz charakterystyki częstotliwościowe.

Charakterystyka czasowa jest to przebieg w czasie odpowiedzi y(t) układu dynamicznego na ściśle określone wymuszenie u(t). Odpowiedzią jednostkową (odpowiedzią skokową obiektu nazywamy sygnał, jaki występuje na wyjściu tego obiektu po przyłożeniu do jego wejścia, sygnału będącego funkcją jednostkową 1(t). Odpowiedzią impulsową obiektu nazywamy sygnał, jaki występuje na wyjściu tego obiektu po przyłożeniu do jego wejścia, sygnału będącego funkcją impulsową Diraca δ(t).

Charakterystyka amplitudowo-fazowa (wykres Nyquista) jest wykresem transmitancji widmowej układu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Składa się z punktów o wartości odpowiadającej transmitancji widmowej dla kolejnych wartości pulsacji. Ważnym jest oznaczenie kierunku wzrostu pulsacji (strzałką). Wykres odczytuje się prowadząc wektor ze środka układu współrzędnych do interesującej nas wartości pulsacji, możemy wtedy określić np. przesunięcie fazowe dla danej pulsacji (jest to kąt nachylenia wektora do osi OX) itp.

Wykresy Bodego są jednymi z najważniejszych charakterystyk układów regulacji. Na wykresy te składają się 2 charakterystyki: amplituda wyjściowa w dziedzinie częstotliwości (obie skale najczęściej logarytmiczne) oraz przesunięcie fazowe względem wejścia w funkcji częstotliwości (tylko skala częstotliwości jest logarytmiczna). Skalę logarytmiczną w przypadku częstotliwości stosuje się, aby ukazać wyraźny przebieg zarówno dla małych częstotliwości, jak i wielkich. Skala liniowa uniemożliwiłaby poprawny odczyt interesujących parametrów. W przypadku amplitudy do określenia jej tłumienia również używamy skali logarytmicznej, gdzie poziom 0dB mówi nam, że wartość amplitudy wyjściowej jest równy amplitudzie wejściowej, a np. poziom -3dB oznacza, iż moc wyjściowa jest dwukrotnie mniejsza od wejściowej (amplituda wyjściowa równa jest 0,707 amplitudy wejściowej).

• Opis podstawowych członów automatyki

1. Człon proporcjonalny

Człon proporcjonalny, zwany również bezinercyjnym to człon, który na wyjściu daje sygnał y(t) proporcjonalny do sygnału wejściowego x(t). Zmianie ulega jedynie amplituda sygnału wyjściowego a jego głównym zadaniem jest przenoszenie sygnału wejściowego na wyjście w sposób nieodkształcony. Przykładem tego członu jest np. dzielnik napięcia lub wzmacniacz operacyjny

Równanie ogólne: y (t ) = k ⋅ u (t ) Transmitancja operatorowa: G(s) = k

Gdzie: u(t) - sygnał wejściowy, y(t) - sygnał wyjściowy, k - współczynnik wzmocnienia.

Wnioski

- sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do sygnału wejściowego, a zależność ta jest określona przed współczynnik wzmocnienia k

- sygnał odpowiednio wzmocniony gdy k>1, a gdy k<1 sygnał jest tłumiony

- wzmocnienie jest stałe nie zależy od częstotliwości

- faza jest stała niezależna od pulsacji, dla k ≥ 0 nie wprowadza przesunięcia fazowego,

natomiast k < 0 element odwraca fazę.

- część urojona transmitancji widmowej jest równa 0, a część rzeczywista k.

2. Człon całkujący

Zadaniem członu całkującego jest podawanie sygnału wyjściowego proporcjonalnego do całki sygnału wejściowego. Człony całkujące w układach dynamicznych przyjmują funkcję elementów magazynujących (np. kondensator gromadzący energię). Integratory w ciągłych układach sterowania mają zastosowanie jako urządzenia zapamiętujące przez co sygnały wyjściowe takich integratorów mogą być rozważane jako zmienne, które definiują wewnętrzny stan układu . Jeżeli na wejściu członu całkującego idealnego pojawi się stały sygnał, to sygnał wyjściowy będzie narastał w funkcji czasu liniowo. Współczynnik k reprezentuje stosunek pochodnej względem czasu (prędkości) odpowiedzi do wartości wymuszenia, stąd też nazywany jest wzmocnieniem prędkościowym.

Równanie ogólne: Transmitancja operatorowa:

Gdzie: u(t) - sygnał wejściowy, y(t) - sygnał wyjściowy.

Wnioski:

- Na podstawie obserwacji odpowiedzi skokowej zauważamy brak stanu ustalonego, co ma wpływ na stabilność pracy badanego obiekt. Na podstawie wykresów możemy również wnioskować, że odpowiedź układu całkującego zależy tylko od wzmocnienia k. Zwiększając k zwiększa się szybkość narastania sygnału wejściowego, zatem zmniejsza się stała czasowa

- Badany człon może być traktowany jako połączenie szeregowe członu proporcjonalnego i całkującego

- Kąt nachylenia krzywej na wykresie odpowiedzi członu na skok jednostkowy jest równy arctg(k).

- Sygnał wyjściowy jest przesunięty w fazie o -90 stopni względem sygnału wyjściowego.

3. Człon różniczkujący

Znajduje największe zastosowanie w wzmacniaczach operacyjnych przekształcających sygnały analogowe, wygenerowane przez różnego rodzaju czujniki. Jako przykład posłużymy się przemieszczeniem. Jeżeli dany czujnik podaje sygnał o wartości odpowiadającej przemieszczeniu, to po przejściu przez człon całkujący sygnał ten będzie miał wartość proporcjonalną do prędkości ruchu, czyli vx = dx/dt. W członie różniczkującym idealnym sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do pochodnej sygnału wejściowego względem czasu. Ponieważ stopień licznika transmitancji jest wyższy od stopnia mianownika człon ten jest niemożliwy do zrealizowania w praktyce i może być modelowany jedynie w przybliżeniu.

Równanie ogólne: Transmitancja operatorowa:

Gdzie: u(t) - sygnał wejściowy, y(t) - sygnał wyjściowy.

Wnioski

- Odpowiedzią na skok jednostkowy członu jest nieskończenie krótki impuls o nieskończonej amplitudzie, będący iloczynem współczynnika k i delty Diraca δ(t) co uniemożliwia wykreślenie takiej charakterystyki

- Charakterystyka Nyquista ma kształt półprostej o początku w punkcie przecięcia osi rzeczywistej i urojonej, zmierzającej do punktu o współrzędnych P(ω) = 0, Q(ω) = + ∞. Nie zależy ona od wartości współczynnika k (dla różnych wartości tego współczynnika półproste nakładają się na siebie)

- Charakterystyka Bodego proporcjonalna jest do współczynnika k i częstotliwości. Amplituda sygnału wyjściowego wzrasta wraz z jej wzrostem. Na podstawie tej charakterystyki widzimy, że wzrost wzmocnienia układu wynosi 20 dB na dekadę.

- Przy wzięciu pod uwagę idealnych członów, jest on filtrem górnoprzepustowym. Na podstawie wzoru
widać że dla częstotliwości wymuszenia równej częstotliwości charakterystycznej członu układ zachowuje się jak człon proporcjonalny..

- Charakterystyka fazowa członu zależna jest jedynie od wartości współczynnika k:

.

4. Człon różniczkujący z inercją (rzeczywisty)

Stanowi połączenie szeregowe członu różniczkującego idealnego z członem inercyjnym (ponieważ człon różniczkujący opisany transmitancją G(s)=ks nie jest realizowalny fizycznie). Ma on duże znaczenie praktyczne, gdyż każdy fizycznie realizowalny człon różniczkujący posiada pewną inercję. Jako najlepszy przykład może służyć czwórnik elektryczny CR.

Równanie ogólne: Transmitancja operatorowa : .

Gdzie: u(t) - sygnał wejściowy, y(t) - sygnał wyjściowy, T - stała czasowa członu.

Wnioski

- Na podstawie porównania charakterystyk amplitudowo-fazowych członów różniczkujących rzeczywistego i idealnego zauważamy, że rzeczywisty różniczkuje poprawnie zakres niskich częstotliwości.

- Dzięki opóźnieniu odpowiedzi układu poprzez obecność stałej czasowej zauważalne jest że w przeciwieństwie do członu różniczkującego idealnego istnieje charakterystyka czasowa. Współczynnik wzmocnienia k ma wpływ na wartość amplitudy początkowej odpowiedzi.

- Odpowiedź na skok jednostkowy członu różniczkującego rzeczywistego ma postać krzywej wykładniczej malejącej do zera. Wraz z wzrostem stałej czasowej T rośnie czas zejścia krzywej do zera.

- Charakterystyka Nyquist'a dla członu różniczkującego rzeczywistego jest zdecydowanie bardziej skomplikowana niż dla członu idealnego. Punkt przegięcia paraboli znajdujący się na tej charakterystyce to punkt dla którego
(pulsacja własna układu). Amplituda dla tej pulsacji wynosi
podczas gdy wzmocnienie członu maleje o 3dB.

- Również charakterystyka Bode'go przedstawia się w bardziej skomplikowanej postaci dla członu różniczkującego rzeczywistego. Na podstawie porównania charakterystyki obu członów możemy zauważyć iż wraz ze spadkiem pulsacji i stałej czasowej charakterystyka ta staje się coraz bardziej zbliżona do idealnej. Dla pulsacji własnej członu
układ przesuwa sygnał o kąt fazowy 45º niezależnie od wartości i znaku współczynnika wzmocnienia.

- Człon ten możliwy jest do zastąpienia innymi układami elementarnymi - połączeniem kaskadowym układów proporcjonalnego, różniczkującego idealnego oraz inercyjnego

5. Człon inercyjny

Cechą charakterystyczną dla członu inercyjnego jest proporcjonalność sygnału wyjściowego do wyjściowego dopiero po upływie danego czasu. Odpowiedź czasowa członu na skutek pewnej bezwładności (inercji) charakteryzuje się występowaniem stanu przejściowego, po zaniknięciu którego sygnał wyjściowy staje się proporcjonalny do sygnału wejściowego (ze współczynnikiem proporcjonalności k). Znajduje on zastosowanie w wszelkich urządzeniach magazynujących energię dostarczoną przez sygnał wejściowy (np. zmagazynowanej energii kinetycznej w obracającej się masie silnika elektrycznego po zmianie napięcia wysterowania.

Równanie ogólne: Transmitancja operatorowa:

Gdzie: u(t) - sygnał wejściowy, y(t) - sygnał wyjściowy, T - stała czasowa członu.

Wnioski:

- Ich dwoma cechami charakterystycznymi jest stała czasowa oraz magazynowanie energii

- Po podaniu skoku jednostkowego na człon inercyjny, sygnał na wyjściu zaczął narastać wykładniczo.

- Człony inercyjne wygładzają przebiegi szybkozmiennych sygnałów wejściowych. Z tego powodu człony te nazywa się też filtrami dolnoprzepustowymi pierwszego rzędu, ponieważ przepuszczają one sygnały wolnozmienne, tłumią zaś sygnały o wysokich częstotliwościach.

- Czas narastania sygnału zależny jest od stałej T a wartość ustalona równa się wzmocnieniu elementu

- Jako że jest to element I rzędu wzmocnienie jest zależne od częstotliwości z szybkością 20 dB/dek

- Charakterystyka ta ma sens dla ω>0 przez co górna połówka wykresu sensu fizycznego nie ma podczas gdy dolna ma.

6. Człon oscylacyjny

Równanie ogólne: Transmitancja operatorowa:

Gdzie: u(t) - sygnał wejściowy, y(t) - sygnał wyjściowy. T - okres drgań rezonansowych członu, ξ - współczynnik tłumienia członu.

















Wnioski:

- Odpowiedź ma kształt cosinusa po podaniu skoku jednostkowy dla ξ = 0 (brak tłumienia)

- Dla wartości mniejszych od 0 układ jest niestabilny (oscylacje zamiast wytłumieniu ulegają wzmocnieniu). Dla tłumienia z zakresu od 0 do 1 odpowiedź układu oscyluje wokół wartości wzmocnienia k (im wartość ξ większa oscylacje są tłumione w bardziej widoczny sposób). Układ zachowuje się jak człon inercyjny przy wartościach równych i większych od 1. Dzieje się tak ponieważ tłumienie ma tak dużą wartość że oscylacje nie występują. zachowuje się jak człon inercyjny.

- Współczynnik tłumienia ma wpływ na charakter członu: układ może być oscylacyjny, mieć charakter członu inercyjnego lub charakteryzować się niestabilnością w zależności od jego wartości

- W charakterystykach Bode'go na kształt charakterystyki fazowo-częstotliwościowej duży wpływ wywiera współczynnik tłumienia ξ. Wraz ze wzrostem wartości ξ charakterystyki Bode'go staja się gładsze

• Symulacyjna weryfikacja poprawności charakterystyk bodego przy wykorzystaniu programu Matlab-Simulink




Wnioski:
- Po zasymulowaniu członu inercyjnego w programie Simulink oraz po porównaniu z wykresami Bodego dla tegoż członu możemy stwierdzić, że wyniki pokrywają się, tzn człon wprowadza przesunięcie w fazie (zależne od częstotliwości) oraz dodatkowo tłumi przebieg wyjściowy (również zależnie od częstotliwości)

Wykorzystana literatura

1. http://www.pl.pro-qwerty.com/czlony_matlab.php

2. „Teoria sterowania i technika regulacji” - Skrypt AGH pod redakcją Stanisława Potrawki

3. „Podstawy Teorii Sterowania” - Tadeusz Kaczorek

Charakterystyki dynamiczne podstawowych członów UAR

Jan Muskała Maciej Śpiewak

str. 2

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Jan Muskała

Maciej Śpiewak

Charakterystyki dynamiczne podstawowych członów UAR

Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

---