00098474

240

ID- FUNKCJE ZM1ENNNEJ ZESPOLONEJ

nie można porównywać co do wielkości. Niektóre pojęcia przenoszą się natomiast w naturalny sposób. Na przykład:

Def. {z,} jest ograniczony <*■ \J /\ )r.| < U

PrzyUW. Rozważmy dat

{**}

z* - r« e>**

oo, Sdy r> J

OHM)

nie tanieje, »dy r — 1 i tf W 0

<> piy ' — t i r “ o

o, Sdy 0 < r < 1

Szeregi o wyrazach zespolonych. Nieć* będzie dany ciąg liczbowy o wyrazach

zespolonych

*«.*», ~.*_v

Z wyrazów tego ciągu tworzymy nowy ciąg który zapisujemy krótko:

|g‘*i    <^mi!>

Def. Ciąg (III. 15) nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazach zespolonych i oznaczamy symbolem

Wyrazy ciągu (111.15) nazywamy sumami czficlowymi szeregu (III.16). Szereg jest więc ciągiem swych sum częściowych.

Jeżeli ciąg (III. 15) ma granicę właściwą S, to granicę tę nazywamy sumą szeregu (III.16). Mówimy przy tym, że szereg (111.16) jest zbieżny. Jeżeli ciąg (III. 15) nie ma granicy właściwej, to mówimy, że szereg (HI. 16) jest rozbieżny.

Ponieważ

więc z uwagi na równoważność (III. 12) szereg (III.16) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są następujące dwa szeregi

Def. Szereg zbieżny 011.16) nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeżeli zbieżny jest szereg

Szereg (III. 18) jest szeregiem o wyrazach rzeczywistych i nieu n y c h, będących modułami wyrazów szeregu 011.16).

Tw. Meli zbieżny jen szereg (111.18), to zbieżny jest szereg (IU.16). DOWÓD. Jeżeli zbieżny jest szereg (III. 18), a więc szereg

ŚY3+S

to z uwagi na nierówności

0 < W < V*i+yi    0 < |y„| < /zj+yj

zbieżne są — na mocy kryterium porównawczego — szeregi

E w ^ S w

ybipWmSć szeregów (10.19) zapewnia zbieżność (bezwzględna) szeregów (01.17), a ta z koki zapewnia już zbieżność szeregu (111.16), cod,

Z udowodnionego twierdzenia oraz z definicji bezwzględnej zbieżności wynika, te zbieżność szeregu (UI.18) stanowi warunek konieczny i wystarczający bezwzględnej zbieżności szeregu (UI.16).

Szereg zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżny, nazywamy warunkowo zbieżnym.

Przykład. Zbadać zbieżność szeregu

.§■

(in.20)

sin yj+jhoraa

l+»*

g utworzony z modułów wyrazów szeregu (HI.20)

r+i?-

5¹

1+a*    " 1+a*

■rengo zbieżny jest smog (OL21), a zatem szereg (IIL20) jest

ĆWICZENIA