240520111773

skierowanym dodatnio;

d)    J ■0Z_rdx+    gdzie jest łukiem hiperboli y = X., x e< 1,2 >,

aS

e)    f (_—y³)dx + x³cfy, gdzie r jest dodatnio skierowanym okręgiem x² +■ y¹ ₌ ^ r

f)    ^    , gdzie r jest okręgiem "r CO = [acos/,asin/j, t e< 0,2rc > , a > o

r

skierowanym ujemnie.

6.    Zbadać, czy pole wektorowe 7? = [e^²,2xye^yl, 3z² j jest potencjalne.

Jeśli tak, to wyznaczyć jego potencjał.

7.    Wyznaczyć potencjał pola wektorowego W, jeśli;

a)    = [y,*],

b)    = [3jc² — 2xy +y²,—jc² + 2xy — 3y²j

c)    T?' = [jc² — 2yz,y² — 2xz,z² — 2xy],

d)    # = [1 - $ + §, f +    f°’⁰⁾

* ^{z z} y²’z^1J 3 (0,1)

a)/=    j l^o dr, 7^ = [jc +3/ — 1,jc — y],

8.    Wyznaczyć potencjał pola wektorowego 7? i wykorzystać go do obliczenia całki I: (1,0)

(0.1)

(1A3)

b) / = J o dr, ~P — \zy,zx,xy\

(0,0,0)

9. Obliczyć pracę siły F przy przesunięciu punktu materialnego od punktu A do punktu B wzdłuż krzywej K jeśli:

a)    ~P = [2xy,y,xy], K : ~r{t) = [cos(,sin(,(], .4(1,0,0), B(0,1,-|-),

b)    ~P — [jc,>',jc +_y² - 1], K : ~r = [cosr,sint,l - sint - cosi], .4(1,0,0),B(—1,0,2)

10. Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całki:

a)    ^ (y² + ln J1 + jc²) dx + (12xy + siny)dy, gdzie K jest dodatnio zorientowaną

r

krzywą, będącą brzegiem obszaru D = ■{(x,y) : y > —:c — 2, y < 4 — x²~y,

b)    j ydx - xdy, gdzie T jest ujemnie skierowanym brzegiem obszaru r

ograniczonego krzywymi y — x i y = x²,

c)    ^ e^x(\ - cosy)dx -e^x(y- siny)dy, gdzie T jest brzegiem obszaru r

D : 0 < x < jt, 0 < y < sin* skierowanym dodatnio.

11. Zbadać niezależność całki od drogi całkowania oraz obliczyć całkę:

a) f (yz + -y)dx + (xz + y)dy + (xz + -j)dz, jeśli K jest dowolnym łukiem

K

gładkim leżącym w pierwszym oktancie układu współrzędnych o początku A( 1,2, y) i końcu B(l,e,e³),

b) f (2jc +yz)dx + (3y²xz)dy - {Az²xy)dz, gdzie K jest dowolnym łukiem gładk

K

o początku w punkcie >1(0,0,0) i końcu w punkcie 23(1,1,1)