4530

96

Macierze i wyznaczniki

Rozwianie    ...    . .    . ,    „ „_Vwmv liczbę dcl A określoną

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [•uJ.*. nazywamy

wzorem

det A == ) ' *gn (p) • «i_r, • ^-l»i ¹

gdrie p - f *    4    p" ) ’ *    °*"*^c*^a *^bk5r w«yz»kich permutacji n-clcmen-

t owych Inaczej mówiąc. wy*miernik jest sumą algebraiczną wszystkich możliwy- h iloczynów n elementów macierzy, wybranych po jednym w każdym wierszu w len .pozób. aby nie wybrano dwóch elementów w lej nuncj kolumnie. Znaki (±) stojące przed tymi iloczynami równe są znakom permulacji określających te iloczyny. Oczywiście, w tumie wystarczy uwzględnić tylko te iloczyny, które są utworzono * niczerowych czynników

_n) W wyznaczniku z ćwiczenia a) jedynym niczerowym elementem w trzecim wierszu jest element stojący w pierwszej kolumnie, tj. -3. Z kolei jedynym niczerowym elementem stojącym w drugim wierszu, ale nic stojącym w pierwszej kolumnie, jest element stojący w drugiej kolumnie, tj. 5. W końcu jedynym elementem niczerowym w pierwszym wierszu. nie stojącym w pierwszej ani w drugiej kolumnie, jezt element stojący w trzeciej

kolumnie, tj. 3. Elementy te wyznaczone są przez pcrmutaęję P" I j j )• której

znak jest równy —I. Zatem

1 2 -*l 5 -3    0

(—1) • (—3) ■ 5 • 3 = 45.

b) W wyznaczniku z ćwiczenia b) jedynymi niczerowymi elementami stojącymi w drugim i trzecim wierszu są odpowiednio elementy stojące w pierwszej kolumnie, tj. —2 oraz w drugiej kolumnie tj. 3. Z kolei jedynymi niczerowymi elementami pierwszego wiersza, nic stojącymi w pierwszej ani w drugiej kolumnie, są —1 oraz 1. Jeżeli w pierwszym wierszu wybierzemy element stojący w trzeciej kolumnie, tj. — 1, wówczas niczcrowy element w czwartym wierszu musi być wybrany w czwartej kolumnie, tj. 5. Podobnie, jeżeli w pierwszym wiersza wybierzemy element stojący w czwartej kolumnie, to niczcrowy element w czwartym wierszu musi być wybrany w trzeciej kolumnie tj. 2. Pierwsza czwórka

elementów macierzy jest wyznaczona przez per mutację p * ^    ^    *^łłU8a

mutację f	I		2 3 1 2
- Zatem
0 5	-1	•1
-2 0	0	0	■ 1 -
0 3	0	0
0 —7	2	5

Zadania

O Zadanie 7.1

Obliczyć podane wyznaczniki drugiego i trzeciego stopnia:

Siódmy tydzień - zadania

^a)

-3 2 8 -5

I sin q cos a I . ^b) sin/1 coa/M^{: C}}

1 1 1 1 2 3 1 3 6

d)

1 i 1 + ł -I 1    0

1 - i 0 1

O Zadanie 7.2

Napisać rozwinięcia Laplace’a podanych wyznaczników względem wskazanego wiersza lub kolumny:

‘ -1 2 —3 4

i l+» 2 1 — 2i 3 -i -4 l-i3+i

, trzecia kolumna; b)

0 5 3 -7 13-59 2-246

, drugi wiersz.

O Zadanie 7.3

Stosując rozwinięcie Laplacc'a obliczyć podane wyznaczniki. Wyznaczniki rozwinąć względem wiersza lub kolumny z największą liczbą zer.

b)

3	2	0	0	0		2	7	-1	3	2
0	3	2	0	0		0	0	1	0	1
0	0	3	2	0	; «)	-2	0	7	0	2
0	0	0	3	2		-3	-2	4	5	3
2	0	0	0	3		i	0	0	0	1

3-2    0    5

»)

-2 1-2 2 0 -2    5    0

5    0    3    4

O Zadanie* 7.4

Korzystając z zasady indukcji matematycznej uzasadnić podane tożsamości (n oznacza stopień wyznacznika W_n)'

C) W_n =

ⁿ)

5 1 0 4 5 1 0 4 5

0 0 0 0 0 0

. 0 0		a ... 0 0 ... 6
. 0 0
. 0 0	4^n+l —| = -y—-i b) W^n =	0 ... a 6 ... 0 0 ... 6 a ... 0
.5 1
. 4 5		b ... 0 0 ... a

2 cos z	•£*■	0	-,.v. 0
li^v"	2cosz	1	1. 0	1
0		2 cos z	... 0	0
0	0	0	...2cosx	i
0	0	0	Wmi	2cosz

_ sin [(n + I)fj sin z

gdzie z =£ kx, k € Z.

O Zadanie 7.5

Nic obliczając wyznaczników znaleźć rozwiązaniu podanych równań*

1	|pjj|	1	-1:-' •		1 -2	3	-4
2	5-x	2	2	= 0; b)	-1 *	-3	4®
3	3	5-z	3		1 -2	x -4
4	|	4	5 - z		-l X	-* * + 3

= 0.