CCF20090428001

Zadania z funkcji wielu zmiennych (lista3)

1. Obliczyć a) lim    ⁺2-—- Odp : - b) lim ^ ⁺\—- odp; 0

(jr,y)-*(0,0) x + y²    3    (x,y)-*(Q,0) _x + y

l-cos(x²+^²)    1

lim -r-²—, , Odp: -

(x,y)-H0,0)    (_x²+y²)²    2

2.    Uzasadnić, że granice nie istnieją

x    x⁶

a) lim - b) lim —5-

(jr,y)-K0,0) _X + y    (■*,}')”H0,1) y* — 1

3.    Znaleźć dziedzinę funkcji a)

f(x,y) = yl~6-6x-2y-y²-x² ,b) f(x,y) = ^(>x-x² -y² , c) f(x,y) = J(x-2)y ,

₂    Jix-y²

d) z = ln(y - 4x + 8) e) z = ——-₁-jT

ln(l-x -y )

4.    Obliczyć pochodne cząstkowe 1-szego rzędu funkcji

a) f(x,y) = (3x + 4yf^y,b) f (x,>0 = Jx³y + 3xy² + 2xy - 3x + 2y - 5 , c) f(x,y) = lncos— ,

d) f(x,y) = tgln- e)f(x,y) = [2x-3y)^x, f) /(x,^) = (:c>')^2jt+6y, g) /(x,.y) = ln(x³ + sin.y)

y

r² 4. k/²    ..... ^y

h) f(*,y)=    ₂

*²*^y2, 0    /(*,p) = *',k)/(x,.y) = _eⁱV+y),

---1

5. Obliczyć c) f(x,y) = e*, d) /(x,>) = J:sin(xy + y)

,    ■ x y , ..    .    , Jc + y¹

_T;y) = sm—oos— n)_/(jc, v) = arctg ,

y x    '    x-y

5. Obliczyć pochodne rzędu 2-go funkcji a) f(x,y) = ln(2x² + _y³) ,b) f(x,y) = (x² + l)^hl>’,

6. Znaleźć ekstremum funkcji :a.) f(x,y) = x² -xy + y² -x-y+ 2,b)

f(x,y) = x³ +y³ -9xy,c) f(x,y) = r* - xy + y³, d) /(*,}0 = 3x³ + 3x²y- y³ -\5x

1

Odp; a) /„„(1,1) = 1 ,b)/_min(3,3) = -27, c) f ) /.„('/?,-V5) = -10-75,

/_(-V5,V5) = 10V5 7.Sprawdzić, czy funkcja

\_ J_

V3 ’ V3

a)    f(x,y) = x² +xy + y² + — + — ma minimum w punkcie F₀ = I-7=-,

* y    Vv3

b) . f(x,y) = x⁴ + y⁴ - 2x² - 4jty - 2>>² ma maksimum w punkcie P₀ = (V2.V2)

8. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

a.)V(5.01)²-(2,97)²    b)(1.02)⁴ (0.97)² , c) (1.04)³⁰¹ , d)

^v    arcsin0.49

Odp: b) 1.02, c) 1.12 , d) 1,53403