CCF20101004002

12 1. Wprowadzenie

To oszacowanie jest celem teorii błędów, tzn. jest nim podanie nierówności:

12 1. Wprowadzenie

x — A < Xo < x + A ,

oraz prawdopodobieństwa, że nierówność (1.1.4) jest spełniona, czyli że wartość rzeczywista x₀ mieści się w pewnym przedziale. W nierówności (1.1.4) X i A są wielkościami wynikającymi z pomiarów; sposoby obliczania ich są celem niniejszego wykładu.

W celu znalezienia nierówności (1.1.4) i oszacowania prawdopodobieństwa, że ona zachodzi, stosuje się statystyczne metody analizy danych. W przypadkach gdy to jest niemożliwe dokonuje się oceny tzw. błędu maksymalnego i w ten sposób znajduje się przedział, w którym jest zawarta wartość rzeczywista mierzonej wielkości fizycznej.

1.1.3. Błąd bezwzględny i błąd względny

Różnicę między wartością zmierzoną x danej wielkości fizycznej a jej wartością rzeczywistą xq nazywamy błędem bezwzględnym, czyli:

(1.1.5)

(w szeregu opracowań błąd bezwzględny jest definiowany jako: 8 = zo — x). 7,e wzoru (1.1.5) wynika, że błąd bezwzględny musi być zawsze wyrażony w lycli samych jednostkach co wynik pomiaru, czyli ma. zawsze ten sam j wymiar co wielkość mierzona, .leżeli wykonujemy serię pomiarów, to wówczas błąd bezwzględny i-tego pomiaru jest równy <5; =    — x₀, a więc

otrzymujemy nic tylko zbiór wartości x,, ale również zbiór wartości błędów bezwzględnych 5,-. Błędu bezwzględnego wyniku danego pomiaru nigdy nie znamy, ponieważ nie znamy wartości rzeczywistej x₀. Stosując metody teorii błędów możemy go jednak oszacować.

I Błędem względnym zmierzonej wielkości nazywamy wartość bez-| względną stosunku błędu bezwzględnego do wartości rzeczywistej, czyli:

••"3*

błąd względny

(1.1.6)

Jest on wielkością bezwymiarową. Błąd względny wyrażony w procentach bywa nazywany błędem procentowym

1 <5
błąd procentowy = — 1*0	100%.

1.1. Pojęcia podstawowe. Cel i zadania teorii błędów

13

1.1.4. Przedstawianie błędów pomiarowych i zaokrąglanie wyników

Jeżeli otrzymana z pomiarów wartość jakiejś wielkości fizycznej jest równa x i błąd pomiaru wynosi A, to wynik pomiaru przedstawiamy w postaci:

x = x ± A .    (1.1.7)

We wzorze (1.1.7) nie precyzujemy jak wyznaczamy x i A, ponieważ będzie to przedstawione w następnych rozdziałach. Należy zaznaczyć, że wzór (1.1.7) jest równoważny, przy założeniach omówionych w następnych rozdziałach, nierówności (1.1.4).

Podanie samego błędu pomiaru mija się z celem. Zawsze bowiem musimy podać wartość wielkości fizycznej wynikającą z pomiarów (z) i oszacowany błąd (A). Czasami podaje się wartość wynikającą z pomiarów x z komentarzem ile wynosi błąd względny lub procentowy, np. długość stołu wynosi 181.5 cni z dokładnością 0.1%. Błąd pomiaru A, niezależnie od tego w jaki sposób został oszacowany, podajemy zawsze jako liczbę dodatnią.

Otrzymaną z pomiarów wartość jakiejś wielkości fizycznej x, jak i jej błąd A podaje się najczęściej w postaci liczb dziesiętnych.

Ponieważ błąd pomiaru A jest wielkością oszacowaną, nic ma sensu podawać wszystkich cyfr, które otrzymujemy z obliczeń. Podobnie nie ma sensu podawanie wszystkich cyfr, jakie otrzymujemy z obliczeń prowadzących do otrzymania wartości x. Dlatego obliczone wartości x i A podajemy zaokrąglone. Oznacza to, że przybliżamy wartości otrzymane z obliczeń. Przy ocenie błędu pomiaru oraz w obliczeniach przybliżonych stosuje się dwa terminy pozwalające określić do ilu cyfr należy zaokrąglić x i A. Są to cyfra znacząca i cyfra pewna.

Cyframi znaczącymi danej liczby różnej od zera nazywamy wszystkie jej cyfry z wyjątkiem występujących na początku zer.

Do cyfr znaczących zalicza się również zera końcowe, jeśli są one wynikiem rachunków a nie zaokrągleń. Z definicji tej wynika, że pierwsza cyfra znacząca zawsze musi być różna od zera, natomiast druga, trzecia i dalsze mogą być zerami. Na przykład liczba 0.00102 ma trzy cyfry znaczące: 1, 0 i 2. W przypadku liczby 100/3 mającej w zapisie dziesiętnym postać 33.33(3), wszystkie jej cyfry są znaczące i są trójkami.

Cyfry pewne określamy następująco. Jeżeli błąd spowodowany przybliżeniem liczby dziesiętnej jest mniejszy od jedności na ostatnim miejscu dziesiętnym, to mówimy, że wszystkie jej cyfry są pewne.

Z określenia tego wynika, że np. jeśli w przypadku liczby sześciocyfrowej błąd trzeciej cyfry jest mniejszy od jedności, to mamy trzy cyfry pewne.