img025

WSKAZÓWKI, ROZWIĄZANIA, ODPOWIEDZI

2.26.    xjl + 2x-^(l + 2x? +C. x

2.27. —sin(ln x) -cos(lnx) + C.    (całkować dwa razy przez części).

2

2.28.    tg*(lncos* + l)-*+C(przyjąć / = In cos*, g'=—— i skorzystać z przykładu 2.4).

₂.₂₉..ir_4__+ctj_+c

2{sm²x    ^    ' sin³x    2sin²*J

2-30. Ponieważ

/ = *sin*|/' = sin* + *cos*

g = e

/ = sin*]/' = cos* g = e^x

/ = *cos*|/^, = cos*-*sin*

J" xe^x sin xdx = oraz je*sinxdx =

g' = e^x

i jxe^x

cosxdx =

= *e^xsin x-je^x sinxdx- jxe^xcosxdx = e^xs\nx- je^x cos xdx

= xe^x cos*-Je^x cosxdx+ Jxe^x sin*zŁc,

g = c-

więc J xe^x sin *zŁc = xe^x sin*-e^x sin * + j e^x cos xdx - xe^x cos* + J e* cos *ćir - j xe^x sin*dx. Stąd    2 J xe^x sin xric = *e^x(sin*-cos*)-e^x sin x -t- 2J" e^x cosxdx = *e^x(sin*-cos*)-

, sm* + cos*

-e^xsin* + 2e

(zobacz przykład 14 lub całkuj dwa razy przez części) i dlatego

j xe^x sin xdx = ~e^x [*(sin * - cos *) + cos *] + C.

2.31.	1 —ctg'
2.32.	3 -(3*^2
2.33.	15^V-e^x\
2.34.	2
2.35.	—sin^4
	4

, „„    1    ,    „ ( r dx    r sin * + cos * , t dx r cos * dx

2.31. —ctg³*-ctgr+C -V"= -"1-^dx=\—r⁺ |—i—

^    l * cin r " cin r    ^ cin*' r * cin r

sin x

sm x

sin x * sin x cos x y

_    / 2

2.34. V*² -4 -2arctg—-+ C (podstawić: V*²-4 = < = ę>_,(t)).

25