26 (497)

156

ODPOWIEDZI. WSKAZÓWKI, ROZWIAZ-ANIA

ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI I ROZWIĄZANIA DO ZADAŃ MATURALNYCH

CIĄGI

1.    a) <i|₀= 1204; b)o75ft.

2.    a) Np. 11.2). (5, 14); b) dziewięć wyrazów.

Rozwiązanie. a) Ciąg (b..\ jc.%1 funkcją, której dziedziną jest zbiór liczb całkowitych dodatnich. Zatem współrzędne punktu należącego do wy-kic-.ii ciągu znajdujemy w laki sam sposób, jak punktu należącego do wykresu ../.wyklej" funkcji. Każdy punkt należący do wykresu ciągu (£1 ma posiać (u. 3//- I). gdzie n e (\. więc np. punkty A = < 1, 2l i K~i5. I-I) należą do wykresu tego ciągu l>) Musimy ustalić, ile jest liczb całkowitych dodatnich // takich, ze a„ e (20; 49). czyli ile jest liczb it g które spełniają zarówno nierówność 3/t 1 >20. jak i nierówność 3n- I 54*). Nierówność 3n- 1 >20spełniają liczby //>?. a nierówność 3//- I <49 spełniają liczby «<10*. Je-.t dziew ięć liczb n >l C. spełniającymi obie nierówności (są to liczby 8. 9.....16). zatem jest dziewięć wyrazów należących do przedziału (20; 49;

(wyrazy a*. u*.....o^ł.

3.    a) o-i = 1.6; b) siedem:    c) .ą = 16. Oi=6, o* 4. o,, = 2.

Rozwiązanie, b) Musimy ustalić, ile jest liczb całkowitych dodatnich n takich, że ~~ > 3. Wiemy, że n >0. więc możemy pomnożyć obir

sliony nierówności > 3 przez. n. Otrzymamy wówczas nierówność n + 15 >3«. któtą spełnia siedem liwzb całkowitych dodatnich (mi to lic:by I, 2.....7). Zatem siedem wyrazów ciągu, to wyrazy większe od 3 (wyrazy a\,Ot.....a7).

°) >'. =    = 1 +~. Liczba I +—• gdzie mg C„ jest liczbą naturalną wtedy, gdy liczba 15 jest pod/ielna przez. 11. czyli gdy

ug 11,3. 5. 15|. Zatem szukanymi wyrazami są«) = 16.0.1=6, <;,=4 i o,*=2.

4.    a) <M-t-6)(M-9j;    b)o,j(=56^;;    c)o|,=»54.

Rozwiązanie, c) Szukamy takiej liczby naturalnej n> 1, dla której zachodzi równość i/, = 20 i-o_n

“■ ■ ~ Ot- * ‘ -3(« - D-54 = » -5u-5(l. Rozw iązaniem równania u'-3/1-54 = 2l)+«'-5«-50 jest liczba n = 12. więc dwunasty wyraz, jest o 20 większy ih! wyrazu jedenastego <Oi;=54. rt„=34).

5. n) fl|i - O; b) n:.//..//.,. oh; c) Ry.s. 1/1M.		<ln i -i-i -i- i i i i	5	i/„ ..«
	3 2
6. 8)041=22.00=17; b) Rys. 2/1M:		' T ? ' ' . * * : 1 ; '	2	t^! T i r r n Ti
				; ’ ; : i , . . ł
c) /i - 1 lub /i jest liczbą pierwszą; d) jeden wyraz.
		I 2 3 4 5 6 7 8 n		1 ? J J 5 t> 7 S V 10
7. -1.		Rys. KIM		Rys 2/IM
Rozwiązanie. ^ = big(~y)^T ~-^-log-^-. O|-łrt;+o(4-.	■ + o,*+log - + -L log •=• +—log jj- + .

Wyłączając - przed nawias i korzy stając ?e wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie. otrzymujemy 8. Piąty.

Rozwiązanie. ./.,= 1‘ 1 -2^: + .a_A,<- l^:+2^: + ...+»^J+(n+ lr+(n+2)L

b_K=<i_u.;-a„ = I² +2^: + ...+/r + (// + 1)+(n + 2)^:-(I + 2’ + ...t/r> = (//+ I)• + (//-t 2r - 2/t^? + 6n +5.

Szukamy takiej liczby n e dla klóie.i />.. = 85. czyli takiej, która spełnia rów nanie 2/r t 6n • 5 - 85. Równanie to sprowadzamy do postaci /r^:+ 3/1-40 = 0. Rozwiązaniami równania kwadratowego /i* + 3/t-4d=0 są liczby /;. ^-Sz C. i /r. = 5e C_t, więc piąty wyraz ciągu (b.i jest równy 85.

9. A €(2,6}.

10. a) z/|= 1; b) 04=37; c) «/., = 3/i' -3/i -*■ I. Wskazówka. Patrz rozwiązanie zadania 1.9.

11. a) i/i = 2. </s = 5;

b) liczbą parzystą:

|rt| =0, = I

=«*-2+<*«-! *Hani3'

Wskazówka, b) Zauważ. ze po dwóch wyrazach będących liczbami nieparzystymi następuje wyraz, który jest liczbą parzystą, .1 kolejne dwa wyrazy znów są liczbami nieparzystymi.