img053

Wykład 5

Twierdzenie 5,1. Mech (Z^,d) będzie pr2estrzenię zupełnę. Deśli podzbiór ZCZj wraz z metrykę d Jest przestrzeni? prezwartę, to (Z,d) jest kompaktem wtedy 1 tylko wtedy, gdy Z Jest zbiorem domkniętym w przestrzeni (Z^,d).

Dowód. Oeśli Z jest domknięty w przestrzeni zupełnej (Z^.d), to (1.4) Jest również przestrzeni? zupełnę. Ale (Z;d) jest też z założenia przestrzeni? prezwartę, zatem (Z_#d) Jest kompaktem.

Odwrotnie, jeśli (Z,d) jest kompaktem, to (Z,d) jest przestrzeni? prezwartę i należy tylko udowodnić, ż* zbiór Z jest domknięty w (Z^,ci), Przypuśćmy, że Z nie jest oomknięty w (Z^,d). Wówczcs istoiełby cięg ł,?,... elementów zbioru Z zbieżny do pewnego punktu xcZj\ Z. Ale cięg £,£«••• jest fundamentelny i na mocy kompaktyczności przestrzeni (Z,d) jego granica 9 powinna należeć do Z. Mielibyśmy więc cięg me-jęcy dwie r$*ne grenicet Jednę należęcę do zbioru Z, a drugę do Z^\Z. co jest oczywiście niemożliwe (zobacz twierdzenie l.l).

Łęczęc twierdzenia 4.8 i 5.1 otrzymujemy

Twierdzenie 5.2. Deśli (Z^,d) Jest przestrzenie zupełnę oraz ZCZj, to (Z,d) Jest kompaktem wtedy i tylko wtedy, gdy Z Jest domknięty w (Z_1#d) i dla każdego t > 0 istnieje w Z^ skończona e - sieć dla zbioru Z.

Wynika stęd w szczególności, że w przestrzeni R_n dowolne nula domknięta jest kompaktem i w konsekwencji (zobacz twierdzenie 4,5 i 4.6) każda funkcja rzeczywista cięgła na takiej kuli jeet w niej ograniczona i osięga w niej maksimum i minimum.