3 (4)

f# 4. Ciągłość

. 4.17. TWIERDZENIE.,iViec/i f będzie ciągłym 1:1 od wzorowaniem zwartej przestrzeni’ tnetrycznejXmą:przestrzeń metryczną Y. Wówczas przekształcenie odwrotnef~¹ określone na Y pr zez ‘ ,

/"'(/(*))/=* (x*X)

jest odwzorowaniem ciągłym przestrzeni Yna X.

Dowód. Stosując twierdzenie 4,8 dla ff^ł zamiast /, widzimy, że wystarczy wykazać, że /(P) jest zbiorem otwartym w Ydla każdego otwartego zbioru Kw X. Ustalmy taki zbiór V.

Dopełnienie F^żBiOru*Y jest doniknr|t# w Y i stąd zwarte (twierdzenie 235); stąd jest zwartym podzbiorem przestrzeni F( twierdzenie 4.14X a więc jest domknięty w ^twierdzenie 2.34). Ponieważ/jest Wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem A" na Y, więc zbiór /||^ pokrywa się z dopełnieniem zbioru/(F*). Stąd/(F)jest otwarty.

odwzorowaniem przestrzeni metrycznej X w przestrzeń metryczną Y. Będziemy mówić,, że odwzorowanie/jest jednostajnie ciągłe na. X, jeśli dla każdego e » 0 istnieje S > 0 taką^że v

||||l    ^dyif;(-p}, f{q$ < s

dlawszystkichp i; q~z Ajdlaktórych d_x(p, q) < 5.    :

Zobaczmy, na czym polega różnica między ciągłością a ciągłością jednostajną. Przede wszystkim ciągłość jednostajną jest własnością funkcji na zbiorze, podczas gdy ciągłość może być zdefiniowana dla jednego punktUi Nie ma sensu pytanie, czy dana funkcja jest ciągła jednostajnie w jakimś punkcie. Po drugie, jeśli /jest ciągła na X, to dla każdego s > 0 i dla' każdego punktu p zbioru X można Żnaleźć liczbę 5    0 posiadającą własność podaną

w definicji 4.5. To ó zależy od ei od p. Jeśli / jest jednostajnie ciągła na X, to dla każdego <:> 0 m©żta*»naleźć tylko jedną^lirabęj !>,%,ktpra jest odpowiednia dla wszystkich punktów p zbioruA.

Oczy wiście. każdą funkcja jediiostajnie ciągła jęst cjągla. W przypadku zbiorów zwartych :tęś4^;P°j§!PWvjak paką|iąje następne twierdzenie, są równoważne.

4.19. TwiERPZĘlPE. błMfMf łjędżie odwzoró%^raf$ept ciągłym zwartej przestrzeni metry-\łphmMfinte(tfcżńą Y. Wówćzdsfjest jednostajnie ciągła na X.

Dowód. Niech będzie dane e > 0. Ponieważ /jest ciągła, każdemu punktowi p e X odpowiada liczba dodatnia <p(p) taka, że

(I"⁶)    <łeX, d_x(p, q) < <p(p) implikuje dy(/(p), f(q)) < ie.

Niech/jp) będziezbiorem- wszystkich q €_:A, dląktórych-^! ił_x(p; q)<\ ₉(p).

Ponieważ p e ]{p), rodzina wszystkich zbiorów J(p) tworzy pokrycie otwarte przestrzeni X; ponieważ przestrzeń X jest zwarta, znajdziemy w niej skończoną ilość punktów p_lt..., p„ takich, żę \

(18)    i 1 f X~,<zi J(p₄)u,i.uJ(p_JI).

Przyjmijmy

(19)

Wtedy 6-> 0. (Niezbę finicji zwartości. Mini kres dojny nieskończo Niech teraz p i q b< całkowita m'(l < m <

(20)

i mamy także

4*(ś

Na koniec, ż (16) wyni

dl

Dowód został zakc Inny dowód został Przejdziemy teraz i 4.14j 4.15,4.16 i 4.19.

4.20. Twierdzenii • af .istnieje funkcja c B) istnieje ciągła i o Jeśli dodatkowo zbi c) istnieje funkcja c Dowód. Załóżmy n E, który nie należy do i

9S®

Ta funkcja jest ciągła nr że funkcja (21) nie jest i piinkt .flctkk, aby |x-I/W-/WI większą odą >'X),więc funkcja / nie j Funkcja 0 dana przi

jest ciągła na E i jest ogra

wtedy, gdy g(x) < 1 dla Udowodniwszy twie czony. Wówczas waran