img102

102

Ćwiczenia

8.1. Pokazać, że funkcja

0,    jeśli x f y albo x

1,    Jeśli x ■ y j O

(x,y)

na n punkcie (0,0) wszystkie pochodne cząstkowa drugiego rzędu, a nino to nie jest cięgła w tym punkcie.

8.2. Niech f tR²r> A —► R, gdzie A * |(x,y): l x-x_ci < r, i y-y_Di <    .

Pokazać, że Jeśli pochodne    ^ oraz    istnieję w zbiorze A

i jeżeli pochodna g—y- Jost cięgła w punkcie (x₀,y₀), to w punkcie

(x₀,y₀) istnieje również pochodna

_-f

&x 3

przy czyn

•tHy ^(xo''^,o⁾ • jy L ^(xo-Yo)

8.3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji . (xj.....x„) —    . Ą ♦

n+2

( )

8.4

gdzie

“(3xj ♦ 4x₂ ♦ ... ♦ (n+2)x_n)

Znaleźć największy i najmniejszy wartość funkcji f:R³9 (x,y,z) —»a²x² ♦ b²y² ♦ c²z² - (ax² ♦ by² ♦ cz²)² e > b> c >O, w kuli K(0,1) *    {(x,y,z): x² ♦ y² ♦ z² 4 i}

Zadahia

8.1.    Wyznaczyć wszystkie pochodne częstkowe drugiego rzędu funkcji

f:R² » (x,y) -» x • 2y ♦ ln ^x²+y² ♦ 3arctg £

8.2.    Pokazać, źa jeśli funkcja f:R²3(x,y) —R spełnia równanie

z z

•» 0, to funkcja gj«²e(x,y) —.ft—JL. óx    dy^£    \_x*_fy

j-i)

♦y /

2~? • X7

ecełrtla równanie 4 g « 0.