img295

Wielkości p,, p₂ , .... p, noszą nazwę korelacji kanonicznych. Każdemu z tych pierwiastków odpowiada wektor kanoniczny¹ L,(t =1,2,    s). Zerowym pierwiastkom

równania (14.5) odpowiadają wektory własne oznaczone L, o numerach s < t < p. Mając wektor L,, sprzężony z nim wektor M, wyliczymy ze wzoru

M, =    (14.6)

Zachodzi również symetryczna zależność

(14.6a)

L, = _P-‘

Wektory kanoniczne L, i M, określają zmienne kanoniczne u, i v„ przy czym

cov (n,, v,) =

P,

0

dla / = /’ dla t*t'

Jest to bardzo istotne, gdyż oznacza istnienie korelacji tylko między sprzężonymi zmiennymi kanonicznymi — wszystkie pozostałe korelacje są zerowe! Dodatkowo zmienne u, oraz v_f są wewnętrznie nieskorelowanie, tzn.

cov(w„ U/-) = 0    dla / * t ’

i analogicznie

cov(v„ ty) = 0    dla t * t'

Innymi słowy, pierwsza zmienna kanoniczna w p-wymiarowej przestrzeni x jest skorelowana jedynie z pierwszą zmienną kanoniczną w ^-wymiarowej przestrzeni y, druga zmienna kanoniczna w przestrzeni ,v jedynie z drugą zmienną kanoniczną w przestrzeni y, ... itd. Odpowiednie współczynniki korelacji są równe p,, p₂ , .... p,.

Jak wynika z tych ustaleń macierz kowariancji zmiennych kanonicznych u oraz v ma postać blokową:

295

1

czyli wektor własny macierzy A