m304

304

ułamek dziesiętny

Dzielenie takie nie zawsze kończy się po pewnej liczbie kroków, rrp. przy dzieleniu 1 przez 3 otrzymuje się:

0,333-

1: • 3

10

9

10

_9

10

9

10

Wobec tego nie każdą liczbę można zapisać w postaci u. dz., w którym występuje skończona liczba cyfr [zob. liczby dziesiętne] i jest potrzebne uogólnienie; rozważa się u. dz. nieskończone. U.dz. odkrywano w historii trzykrotnie i. o ile wiadomo, niezależnie od siebie; po raz pierwszy w Chinach w 11 w. n. e.. po raz drugi w Europie w XIV w. i po raz trzeci w XV w. na Bliskim Wschodzie (astronom arab. al-Kas/i). W Europie pojęcie u. dz. rozwinęło się w związku z obliczaniem pierwiastków' kwadratowych (astronom franc. J. de Mcurs, matematyk niem. A. Riese), układaniem tablic sinusów i tangen-sów (matematyk niem. Regiomontanus) oraz układaniem tablic procentu składanego {matematyk niem. Ch. Rudolff). Za twórcę u. dz. uważa się jednak matematyka hol. S. Stevina. który w 1585 opublikował pracę De ThienJe. franc. La disme (Dziesięcina}, w której przedstawił pojęcie u. dz. i podał reguły działań na nich. Gwałtowny rozwój zapisu liczb w postaci u. dz. nastąpił w związku z odkryciem logarytmów.

ułamek dziesiętny nieskończony , granica ciągu uiamków dziesiętnych, z których każdy następny powstaje z poprzedniego przez dopisanie na końcu pewnej cyfry. Każda liczba rzeczywista może być zapisana w- postaci pewnego u. dz. n., przy czym w szczególności moee to być ułamek dziesiętny skończony, tj. zawresający tylko skończoną liczbę cyfr różnych od -zera. Przedstawienie liczby rzeczywistej za pemacą u. dz. n. nazywa się przedstawieniem dziesiętnym liczby. Przedstawienie to nazywa się skończone albo nieskończone, w zależności od tego, czy występuje w nim skończona, czy też nieskończona liczba cyfr różnych od zera.

ułamek dziesiętny okresowy, ułamek dziesiętny nieskończony, dla którego istnieje liczba

naturalna 7~_{ć^Zc_k (zw. okresem) o tej własności, że poczynając od pewnego miejsca kolejnymi cyframi rozważanego ułamka są

c₁c₂...cj_lcic₂...c_fcc₁c₂...c_k..., np. ^ = 0,333... jest

u. dz. o., okresem jest liczba 3, podobnie 0,107232323... jest u. dz. o., okresem jest liczba 23. Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne w postaci ułamka dziesiętnego skończo-

Thi en d e.

HET ANDER DEEL

der Thie nde v a n d e

Wi RCKINCH E.

I VOORSTEL V A N DE Veagaderinche.

^cfcnckgbcgFnn Thimdctaltn te vcr-gddrnn: harc S&nrnt tc Vmden.

T’Ghechevsm. Het (ijn drieoirdem ran Thiendcułen, welckerenfłe 27 ©8 (1)4(5 7vT^ł* detweede, $7@6 ©7© 5 (T . de derde, S7t@7^08®l(3\P«fCHEE»OE. moecen haer Sommc vinden . Wercki*g. Men fal degheghcven ghe-talcn in oirdcn Hellen ais hicrncven, die yergaderen-denaerdeghemeene manie re der vergaderinghe van hcclegetalenaldus:    9 4 ¹ } o 4

Comc in Sommc (door het i. problem onfe? Franfcher Arith.) 9 4 1 304 dat fyn r*we:k de tceckcnen boven de ghetalen ftaende, an ✓ *r.J 9 4 * © $    lek (ć^ghedefebere wria

dewrvbegheerdeSommc. Bevts.Dc g ven 2 7©^(04(i'7Cr» doenfdoorde rm. ^I,ng) rh • ^mactk' ^rClrr^ ; rrr-

E nde door de felvc reden fulłen de ?70«©70 5 Q) wcndichfijn    Emie de *7)073

*0

77*47 5767) * 7 f 7 * i

Strona z książki De ThienJe 15*5 matematyka hol. S. Sie-att Reprodukcja przedstawi piersia drugiej części tej ksażi:. W szej części Siote »yjaśa3 orspasą przez siebie n<xxję. *_at cp_ liczbę 941J04 zapssyw-fc- r-i«i-rpsjąco: 941 @3 (p O 0 4 {£. ffSńe symbol <D *siazyni. x sa 3 czzsa iaesjętne, symbol O wwtazywaŁ ~ jest l> części srtnydŁ i imW ^ ze są 4 części

Stevin wy-dodawa-i dziele-ezKÓętnych. Reprodu-przcd&iwia następu-dodawania

-175,782 = 941304.

nego albo u dz. o., natomiast rozwinięć* dziesiętne liczby niewymiernej nse jest u dz. o. _x2 = 1.4142..., n *= 3.1-41 i ^— me są u. dz o.

zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek

zwykły, przedstawienie w oostaca ui —Jta zwy kłego liczby wymiernej, a więc liczby zapisanej w postaci ułamka dziesiętnego aloo ułamka dziesiętnego okresowego. Ułamek dziesiętny

skończony 0. a_la₂--a_m jest równy    nato

miast ułamek dziesiętny okresowy jest suma

x = U. a_la₂~ajc_lc₂-.c_tc₁c₂~c_k— =0-    ~

+ 0.0... Oc,c₂ ...c_kcic₂ -c_k ... = a_xa₂-.a_B *10"*-

-t~ 10 OjCjCj-CjC

Ułamek 0,c₁c₂..x*c₁c₂...c_i... można potraktować jako sumę nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie 0x_xc₂~.c_k i ilorazie 10" \ Suma takiego ciągu geometrycznego wynosi

_^ł» ——i= ^ClC2^'’Jr * Ostatecznie więc ltf i-io-^k ttf ltf-i    ^

10"    lO^lO¹-!)*

Na przykład: 0,333...=    = j 0,107232323...=

107    23    _ 107    23    _ 10616

“ 1000⁺ 10Ó(H]00-1)    1000^" 1000 99    99Ó00*

przybliżenie dziesiętne, przybliżenie liczby rzeczywistej przez ułamek dziesiętny mający określoną liczbę cyfr po przecinku dziesiętnym. P. dz.