Macierze i wyznaczniki5

72

Macierze i wyznaczniki

r

przykłady

73

	5 3 4	, druga kolumna; b)	12 3 4 0 1-2 5			1 -1 2 0		1 2 0		1 -1 2
a)	1 -2 0 -3 6 -1		6-1-40 -3 0 2 7	, czwarty wiersz.		3 2—2 4 2 3 11	= 1(-1)^2+2	3-2 4 2 1 1	+ (-3). (—1)2+4	3 2-2 2 3 1

1	2	0
3	-2	4
2	1	1
1	-1	2
3	2	1 to
2	3	1

(2 + 4 + 18) - (8 - 6 - 3) = 25.

• Przykład 3.8

Napisać rozwinięcie Laplace’a podanych wyznaczników względem wskazanego wiersza lub kolumny:

Rozwiązanie

Rozwinięcie Laplace’a wyznacznika macierzy kwadratowej .4 stopnia n > 2 względem i-tego wiersza ma postać

det A = anDn 4- a.viDi2 + . • • + ai„Di,

gdzie Dij oznacza dopełnienie algebraiczne elementu (tij tej macierzy, tj. wyznacznik macierzy powstałej przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny tej macierzy, pomnożony przez (—1)*^+J. Podobnie wygląda wzór na rozwinięcie Laplace’a wyznacznika względem j-tej kolumny

det A = aijDij -i- o,2j Dij 4-... 4* (i_njD_nj• a) Rozwinięcie rozważanego wyznacznika względem drugiej kolumny ma postać

Rozwiązanie

a) Pierwszy wyznacznik obliczymy stosując rozwinięcie Laplace’a względem drugiego wiersza. Mamy

Do obliczania wyznaczników trzeciego stopnia zastosujemy regułę Sarrusa. Mamy

(-2+ 16 + 0) - (0 + 4 + 6) = 4.

oraz

Poszukiwany wyznacznik jest zatem równy 1 • 4 + (—3) • 25 = —71. b) Drugi wyznacznik obliczymy stosując rozwinięcie Laplace^!a względem czwartej kolumny. Mamy

5	3	4
i		0
-3	6	-1

— 3 • (—1)

1+2

1 0 -3 -1

+ (-2) ■ (-1)

2+2

3+2

5 4 1 0

b) Rozwinięcie rozważanego wyznacznika względem czwartego wiersza ma postać

12    3 4

0    1-2 5

6-1-40

2 3 4 1 -2 5

+ 0(-l)⁴⁺²|?l

= (—3) • (-1)⁴⁺¹ +2 • (—1)⁴⁺³

-1 1	-4 0 2 4			i	2	3
0	1	5	+ 7 ■ (—1)^4+4	0	1	-2
6	-1	0		6	-1	-4

W wyznaczniku występującym w drugim iloczynie nie ma potrzeby wypisywania wszystkich elementów, gdyż ten iloczyn i tak będzie równy 0.

3.9

Stosując rozwinięcie Laplace’a obliczyć podane wyznaczniki. Wyznaczniki rozwinąć względem wiersza lub kolumny z największą liczbą zer.

a)

1	-1	2	0
0	1	0	-3
3	2	-2	4
2	3	1	1

b)

1	4	3	2	0
2	-3	5	0	-1
-1	1	2	0	3
0	3	4	0	1
-5	0	-1	0	2

1	4	3		0
2	-3	5		-1
-1	1	2	0	3
0	3	4	0	1
-5	0	-1	^0	2

= 2 • (—l)¹

-3    5

1    2

3    4

0 -1

Otrzymany wyznacznik czwartego stopnia obliczymy stosując rozwinięcie Laplace’a względem trzeciego wiersza. Mamy

2	-3	5	-1
-1	1	2	3
^0	3	4	1
-5	0	-1	2

3-(-l)³

2    5-1

-12    3

-5 -1    2

2 -3 -1 1 -5 0

+ 4- (—1)³⁺³

2	CO 1	-1
-1	1	3
-5	0	2

4-l-(-l)³⁺⁴

Otrzymane wyznaczniki trzeciego stopnia obliczymy za pomocą reguły Sarrusa. Mamy

= (8 - 75 - 1) - (10 - 6 - 10) = -62,

2	5	-1
-1	2	3
-5	-1	2
2	-3	-1
-1	1	3
—5	0	2
2	-3	5
-1	1	2
-5	0	-1

= (4 + 45 + 0) - (5 4 0 4- 6) = 38,

= (-2 +- 30 + 0) - (-25 +- 0 - 3) = 56.