skanowanie0005

Ekstrema funkcji dwu zmiennych

1. Wyznaczyć ekstrema fimkcji dwóch zmiennych:

a.    A^x>y) = 2x³ + xy² + 5x² +y²

b.    A^x>y) ~x⁴+y⁴-x²-2xy~y² o. A^x>y)^mx3+y³-3xy

d.    A^x-y) 0 t*³ + (x -y)²+y^: -2x + 2

e.    A^x<y) ~ ^xl + yy³ — xy + 2x - y.+2 i A^x>y) = e~*(x+y²)

g. Ax,y) = (x²+y²)e-^(xlv’⁾.

2.    Wyznaczyć wartość największą i najmniejszą tunkcji:

a.    A^x>y) ~ sto'* + siny + sin(x + y) w prostokącie < O. rr > x < 0,?r >

b.    A^x>y) —x²~xy+y² wkole x² +y² gil,

C. A^x>y) ⁼ xy² + 4xy - 4x w prostokącie -3 < x < 3, -3 < y < 0

d.    A^x>y) ~ x²y(4 -x—y) w trójkącie o wierzchołkach 0(0,0), ,4(6,0), 5(0,6)

e.    A^x>y) = 2x² + 2y² + (z -1 )² + (y -1 )² w trójkącie domkniętym o wierzchołkach 0(0,0), ,4(1,0) i 5(0,1)

f. A^x->y) ⁼ (^x+y)^e~^²^ wobszarze D = -{(x,y): x² +y² < 1, X> 0,y > 0}

9- Ax,y) m sin* + siny+sin(x+y) wprostokącie < 0,rr > x < 0,ff!P*^

h.    A^x<yy^ąsx²'*“xy+y² w kolę x² ły² < 1,

i.    A^x,y) Way² + 4xy ~ 4x w prostokącie -3 < x < 3, —3 < y < 0,

j.    A^x>y) ** *²y(4 -x-y) w trójkącie o wierzchołkach 0(0,0), A(6,0), 5(0,6)

k.    A^x<y) - 2x² + 2y² + (.t- l)² + (y- I)² w trójkącie domkniętym o wierzchołkach 0(0,0), ,4(1,0) i 5(0,1),

l.    A^x?y) ~ (x+y)e~te²^ wobszarze D = {jx,y): x² +yf < 1, x > 0,y > Oj-

3.    Wykazać, że xe*0+>'²) > -e~^l dła x,y e R.

4.    W trójkącie o wierzchołkach ,4(—1,5), 5(1,5). C(2,3) znaleźć punkt, dla którego suma kwadratów odległości od wierzchołków jest najmniejsza.

5.    Wśród trójkątów o danym obwodzie p znaleźć trójkąt, którego pole jest najmniejsze.