str026

48

gdzie Fu(P + *) jest przedziałem i zachodzi nierówność

(2)    /i{?u(p+*)}<|Mn

Przypuśćmy, że (BflF)n ((B n P) + x) = 0. Wtedy

ti{(BnP)u(BnP) + z)} = mb nP) > |*i(P).

Stąd, wobec (1) i (2) otrzymujemy sprzeczność. Zatem istnieje y £ (B n P) n ((B fi P) + x), a więc x £ D(B), skąd wynika, że ’(-5, 5) C D[B).

112.    Wskazówka: skorzystać z zadania 111.

113.    Wskazówka: skorzystać z zadania 111.

114.    Niech Qo będzie zbiorem zdefiniowanym w rozwiązaniu zadania 101, Qi = Qo + Wi, gdzie Wi £ [0,1) i u;; jest liczbą wymierną dla dowolnego i £ N. Z konstrukcji zbiorów Qi wynika, że miara zewnętrzna Lehesgue'a dowolnego zbioru Qi jest dodatnia. Przypuśćmy, że zbiór .4,, = U"₌₁ Q_f jest mierzalny. Na podstawie zadania 111 istnieje 5 > 0 taka, że (—5, 5) C D(A_n). Niech ty będzie liczbą wymierną z przedziału (—5,5), która nie jest postaci wt — Wj, ani postaci ty* — wj — 1, ani

postaci Wi -Wj + 1, gdzie i £ {1,2.....n). Wtedy w = x - y, gdzie z £ [J?=t Q_t,

y = ULiGi. istnieją i 6 {1.....n} oraz j £ {1.....n) takie, że i £ Q₍,

y € Qj. Stąd x = z₀ + tUi(mod 1), y = y₀ + uij(mod 1), gdzie jt₀ € Qo, yo G Qo,

x — y = *o — Vo +    — Wj lub x - y = x₀ - yo + tu< - Wj + ł

lub x - y zz xo - y₀ + uh — wj — 1.

Z drugiej strony x - y = w. Zatem xo - yo jest liczbą wymierną różną od zera, skąd otrzymujemy sprzeczność z określeniem zbioru Qo. A zatem -4„ jest zbiorem niemierzalnym dla dowolnego n £ N.

115.    Zauważmy, że dla dowolnego i £ N mamy ta = n; + Zj, gdzie ni jest liczbą całkowitą, z,- £ [0,1), przy czym n,-, z,- są wyznaczone jednoznacznie. Niech P będzie dowolnym przedziałem otwartym, Pci Istnieje i £ PI takie, że p(P) > P Rozważmy liczby z,- dla i = 1,2,... , k + 1. Przypuśćmy, że dla dowolnych

* = 1,... ,k + 1; j = 1.....k + 1, i 5Ć j, zachodzi nierówność |x,- - xj\ > p

Niech yi,... ,y*₊1 oznacza ciąg złożony z liczb z,- (i = 1,... , k + 1) ustawionych w kolejności rosnącej. Wówczas mamy |yt+x — Vi I < 1 oraz zachodzi nierówność |yt+i - yil = £t=i l»+i — y;| > 1 • Otrzymaliśmy sprzeczność, zatem istnieją punkty Xi, Xj takie, że |z,- - ij\ < Istnieje więc taka liczba całkowita n, że n(x,- — Xj) £ P. Ale n(z,- — Xj) £ A, skąd wynika, że A jest zbiorem gęstym w IR.

116.    Wskazówka: w przypadku zbioru B rozwiązanie jest analogiczne jak rozwiązanie zadania 115. W rozważaniach przedział [0,1) należy zastąpić przedziałem [0,2). Dowód gęstości zbioru C wynika z równości C = B + 1.

117.    Zachodzą następujące równości: E — F = (E — F) — A oraz

p(£) - /i*(£ - A) = jt{(E-P)U(£n F)} - /i*{((£ DF) U (E — F)) - .4}

= /t(E - F) + p(BnF)-/t{(£ - F) - A)} - HF) -A)

= n(En F) - /i’{(£nF)-,4).

Analogicznie można wykazać, że

H (F) — p‘(F - A) = p(E n F) - n‘{(E HF)- .4}.

Otrzymaliśmy więc, że ma miejsce żądana równość.

118. Skonstruujemy najpierw niemierzalny zbiór E₀. Zdefiniujemy relację 72 w sposób następujący: z pozostaje w relacji 72 wtedy i tylko wtedy, gdy z—y £ A, gdzie A jest zbiorem zdefiniowanym w zadaniu 115. Łatwo sprawdzić, że relacja 72 jest relacją równoważności. Wybierzmy z każdej klasy abstrakcji tej relacji dokładnie jeden element, korzystając z pewnika wyboru. Tak otrzymany zbiór oznaczmy Eo. Niech F będzie zbiorem domkniętym zawartym w Eo- Przypuśćmy, że p(F) > 0. Na podstawie zadania 111 istnieje z yć 0 takie, że z 6 A i z £ D{F) = {ar-y : x £ F, y £ E}, a więc istnieją x, y € Eo i x - y £ A. Otrzymaliśmy sprzeczność z określeniem zbioru Eo. A zatem y(E) = 0, skąd na podstawie zadania 91 mamy, że y.(Eo) = 0.

Przypuśćmy, że (Eo + en) O (Eo + aj) yć 0 dla tn # 83, a więc *i + <n = ri + 03, gdzie Xi,X2 6 Eo- Stąd wynika, że xi —    = a? — tn g A, co jest sprzeczne

z definicją zbioru Eo- Otrzymaliśmy więc, że (Eo + tn) O (Eo + tn) = 0. Pokażemy, że Eo + ,4 = R, gdzie Eo + A = {x + y : x £ Eo, y 6 A}. Niech rgK, wtedy z należy do zbioru będącego pewną klasą abstrakcji wyznaczoną przez relację 72. Niech y będzie tym jedynym elementem z tego zbioru, który należy do Eo. Wówczas x - y = a g A, czyli x € Eo + A. Przypuśćmy, że Eo jest zbiorem mierzalnym, zatem y(Eo) = M-(Eo) = 0, stąd y(Eo + a) = 0 dla a g A. Ponieważ zbiór A jest przeliczalny, więc y(R) =    + <0 = 0. Otrzymaliśmy sprzeczność, a więc

Eo jest zbiorem niemierzalnym.

Rozważmy teraz zbiory A, B, C zdefiniowane w zadaniach 115 i 116. Oczywiście A = BUC. Niech H = Eo + B. Rozumując analogicznie jajc'w dowodzie y.(Eo) = 0, otrzymujemy, że p.[H) = 0. Z równości IR - B = Eo + C = £o + (B + l) = B + l wynika, że y.(R-B) = 0. Napodstawie zadania 117otrzymujemy p.{(R-H)C\E} = y(E)-y*(tf n£), więc p’(H O E) = y(E).

119.    Załóżmy najpierw, że zbiór A jest ograniczony. Zatem istnieje taki przedział

[o, c], że A C [a, c], —oo < a < c < -ł-oo. Niech A_x = A fi [o, ar], /(ar) = p{A_x) dla x g [a,c]. Niech a < on <    <    c, wtedy /(aro) - /(*j) = y(A fi [sn.za]) < £3 — *i.

Funkcja / spełnia więc warunek Lipschitza, jest zatem funkcją ciągłą określoną na [a,c]. Zauważmy, że /(o) = 0, /(c) = y(A) < 00. Na podstawie własności Darboux istnieje taki punkt d, że f(d) = 6, a więc B = A O [o, d]. Niech A będzie teraz dowolnym mierzalnym podzbiorem R. Wtedy A = 0^=1^ ⁿ [^_n,n]). Połóżmy A_n = A O [-n, nj, Oczywiście n(A) = lim_n__M y(A_n), a więc istnieje takie no € M, że b < /j(A„₀). Zbiór A„„ jest ograniczony, więc istnieje taki mierzalny zbiór B, że B C A„₀ C A i ji(B) = b.

120.    Należy wykazać, że dla dowolnych A, B,C g nJl(/i) zachodzą warunki:

1)    p(A,B)>0,?(A,A) = 0,

2)    p(A,B)=p(B,A),

3)    p{A,B) <p(A,C) + p(C,B).

Warunek 1) wynika z nieujemności miary i równości /a(0) = 0.

Warunek 2) wynika z równości A & B = B & A.