053

Róv:nanie stanu 53

Przykład 7.4. Wyznaczymy trajektorie dla, rozpatrywanego w przykładzie 7.1, problemu opisu zmian położenia obiektu w przypadku zerowego przyspieszenia. Na rys. 7.2 przedstawiono nykresy zmian współrzędnych wektora stanu jako krzywe określone wzorem (7.11). Oś odciętych oznacza położenie x,(/), oś rzędnych zaś prędkość x₂(l). W rozważanym przykładzie zachodzi następująca zależność między’ wartościami współrzędnych wektora stanu: x₂{t) = x_x(t). W tym przypadku przestrzeń stanów jest tradycyjnie nazywana przestrzenią Jazową¹. Wzór (7.11) stanowi parametryczny opis trajektorii w przestrzeni fazowej (parametrem jest czas)'.

Układ dynamiczny

Macierz e^{At? ?0} ' określa operator, który dla zadanej chwili t odwzorowuje stan początkowy x(r₀) w aktualny x(f). Z tego powodu macierz e^Al jest nazywana macierzą tranzycji stanów (ang. State transition matrix). Macierz tranzycji stanów ma następującą ważną właściwość:

(7.17)

A(f+r) A: Ar

e ’ - e e

Właściwość ta nie jest widoczna bezpośrednio na podstawie definicji (7.5)'. Można jednak na podstawie (7.4) dla ;₀ = 0 zauw^rażyć, że

*A(r+r)

n—Ci    Ti—O    k~ 0

'"~V‘ _

oc    n    .    n

₌y±_A» y_2!_,-v₌Ya" y——

I podobnie:

Ar_fiAr

e

1

Nazwę tę można wywodzić od możliwości zobrazowania faz (położenia w ruchu cyklicznym). ' W niektórych przypadkach parametr można wyrugować, otrzymując równanie krzywej w postaci g(.V). .w) - 0 .

’ Nie jest to jednak zbyL trudne do stwierdzenia bezpośrednio na podstawie definicji. Mamy bowiem: