069 2

136

Przyrównując części rzeczywiste i urojone otrzymujemy

(8.1.3)    r=\Ja²+b²,

(8.1.4)    cos <p -

(8.1.5)

=    + gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Stąd odpowiednio dla

otrzymujemy

z₂ = cos gTt + ism g7t, z₄ = cos ~n + i sin    .

YIU. Algebra

a²+b² __b_

'a²+b²

Aby podnieść liczbę zespoloną do potęgi naturalnej, posługujemy się tzw. wzorem Moivre'a:

(8.1.6)    (r (cos <p + i sin q>))ⁿ = r"(cos n<p + i sin n <p).

Zadanie 8.1. Obliczyć \]75

Rozwiązanie. Liczbę zespoloną ,/3—/ sprowadzamy do postaci trygonometrycznej

(8.1.2):

(1)    ,/3-i = r(cos ę> + isin <p).

Przyrównując części rzeczywiste i części urojone otrzymujemy układ dwóch równań: rcosę> = 73,    rsinę>=— 1.

Podnosząc te równości stronami do kwadratu i dodając otrzymujemy r²(cos² <p+sin² tp) = 3 +1, czyli r²=4, skąd r=2. Mamy więc

cosę»=|^3, sin <p= —i.

Układ ten jest spełniony dla <p=j-n. Równanie (1) przybierze postać:

(2)    _N/3-i = 2(cos-y-7t + isin-^-7t).

Oznaczmy

3—i=p(cos0 + isin0).

Podnosząc stronami do trzeciej potęgi otrzymujemy

73 - i=(p (cos 6 + i sin 8))³.

Stosując teraz wzór .(8.1.6) Moivre’a otrzymujemy

(3)    y/2 — i=p³(cos30 + isin30).

Równości (2) i (3) będą jednocześnie spełnione, jeżeli p³ = 2, czyli p=lj2, oraz ^

-    ■    -.....jfe-ft^1.

§ 8.1. Liczby zespolone    137

pla inny⁰*¹ całkowitych wartości k otrzymalibyśmy, po odrzuceniu okresu 2n, te same •artości 9u 0₂, d₃. Ostatecznie otrzymujemy trzy wartości wyrażenia \[yjT—i: _x == l]2 (cos    + i sin jgir),    x₂=l/2 (cos ffjr + i sin f§7c),    x₃=l/2 (cos f|łt + i sin ffn) •

Zadanie 8.2. Obliczyć z=7—i.

Rozwiązanie. Sprowadzamy —i do postaci trygonometrycznej jjj    —i=l(cos fir+isin §n).

Oznaczmy V - i=p (cos 8+sin 6). Podnosząc tę równość do czwartej potęgi mamy (2)    - i=p⁴ (cos 48 + i sin 40).

Z zestawienia równości (1) i (2) otrzymujemy p⁴ = l, czyli p= 1, oraz 40=fu+2*71, gdzie k=0, 1,2, 3. Podstawiając kolejno k=0, 1,2, 3 otrzymujemy według wzoru (2) cztery różne wartości yj—i:

Zj=cos gTt + ism gir, z₃=cos ~-n + i sin ^-n,

Zadania

Znaleźć miejsce geometryczne punktów spełniających nierówności (zad. 8.3 - 8.5):

83. |z|<4.    8.4. |z|<2 i 0<ę><3ic.    8.5. |z-3+4i|<5.

8.6. Znaleźć miejsce geometryczne punktów, których a) moduł równa się 3, b) argu-roent równa się

Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby (zad. 8.7 - 8.10):

⁸-⁷- -5.    8.8. 2i.

⁸⁹-l+f.    8.10.V3+i.

%konać działania (zad. 8.11-8.13):

8.12. -.

8.15. V8+6i. 8.17. (2 + i yfl2)⁵.

8.13.