100 40

88

tego elementy jego transformują się do nowego układu według prawa tensorowego, któro w tym przypadku przyjmuje postać

Oq « flta****,,    (3-19)

gdzie a_v jest /-tą współrzędną /-tego wersora osi x\ w układzie starym (X|).

Przypomnijmy przy tej okazji, że współrzędne wersorów c/ nowych osi w starym plrhHyył (xj zapisujemy w postaci macierzy

(3.20)

(*n» «ia* “uj «ai* *aa. «aa I

*31» ^te32» *33/

którą nazywamy macierzą przejścia. Kolejne wiersze macierzy przejścia są współrzędnymi wersorów (*,') nowych osi, odniesionymi do układu starego (jtj), kolumny zaś przedstawiają współrzędne wersorów starych osi e, określonych w układzie nowym (*,'). Macierz przejścia jest więc ortonormalna względem wierszy i kolumn, zachodzą więc relacje:

^akt'^akj)

gdy i

gdy i =/

gdzie 6u jest symbolem zwanym deltą Kroneckera.

Przedstawione w tym punkcie zagadnienie transformacji zilustrujemy następującym przykładem. W ustalonym punkcie B dana jest macierz naprężeń określona w układzie (X|):    j

fi 0, 1\

T,- 0, -1.3).

\U 3,2/

Należy znaleźć: a) długość naprężenia normalnego w punkcie B przy przecięciu bryły płaszczyzną o wersorzc normalnym    b) naprężenia styczne leżące w płaszczyźnie jak w (a) i równoległe do wersorów i,    oj.

Rys. 33

ad a) Oznaczmy przez Xj oś równoległą do wenom *, który zgodsóe z rys. 34 bffieÓC

spełniał rolę wersora () o współrzędnych «_lt •    a_ta **    a,, ■ JL»

*    i

będziemy naprężenia o, - </_u. Zgodnie ze wzorem (3.19) mamy

®il " *l**lr®*r " «ll«ll*M+«U«l2*ia+*l|*»S®|*+

+*»⁸I1⁸»1 + *J**»⁸«+*,ł*u⁸M ■

Jfc

4W**ii*    . I

i i . i i _. i i ,

⁺ji'2 ⁺t mż-fi'² i

|    4

/ i

a' i	a" są	wzajemnie
1	1	1 l
2*	2*
1	1	l
2*	2*	u	%
1	1	0

”⁴⁺Vⁱ’    |

ad b) Zauważamy, że wersory v, t' i r" są wzajemnie ortogonalne, ich współrzędne tworzą więc macierz przejścia

||

która określa nowy układ (x/)w okładzie fo). Zadanie więc sprowadza się do znalezienia c\. oraz oJ₃, które łatwo znajdziemy rozpisując wzór (3.19) w pierwszym przypadku <fla i ~ 1, j = 2 oraz w drugim dla i *= 1, j — 3.

■ 1.8. Naprężenia główne

Jeśli w pewnym punkcie jest macierz naprężeń <r_w określona w nkłartrir (rj. możemy bez trudu obliczyć naprężenie normalne do każdej płaszczyzny, którą podzaefimy bryłę przez dany punkt. Naprężenie to określa wzór (3.19), jeśli oba wskaźniki przy m będą jednakowe, czyli

a'_m —    (nk ma sumowania względem i).    (121)

Spośród tego nieskończonego zbioru naprężeń normalnych w danym pan brie przyporządkowanych każdej płaszczyźnie o normalnej »^(l\«in⁸u> *o) wybierzmy — jedli śaafcją —