10 (50)

201

Różniczkowanie całek

Ze (102) wynika, że ip'->(D₂ <p)\ przy t~*s, jednostajnie na <a, fe>. Ponieważ każda z funkcji i//' należy do St (a), więc żądana konkluzja wynika ze (103) j twierdzenia 7.16.

9.43. PRZYKŁAD. Oczywiście, można wykazać twierdzenie analogiczne do twierdzenia 9.42 zastępując odcinek <a, 6> przez (— oo, + oo). Zamiast to zrobić, przeanalizujmy następu^ jący przykład. Określmy dla — oo < t < + ęń^,:v

(104)    f(t) = J e~^x2cos(xt)dx oraz

(105)    g(t)— f xe~*² sin (xt)dx.

Obie z całek istnieją (i są bezwzględnie zbieżne), ponieważ funkcje podcałkowe są majoryzo-wane odpowiednio przez exp(—x²) oraz |x|exp(—x²).

Zauważmy, że g otrzymujemy z f różniczkując funkcję podcałkową względem t. Twierdzimy, że / jest różniczkowalna oraz że

(106)    ^; ‘    /'(O = 0(0    (- oo < t < + oo).

Aby to wykazać, rozpatrzmy ilorazy różnicowe cosinusa. Jeżeli p > 0, to

«+*

cos(a+fl)-cosa .    1 f,.    ...

(107)    -2--hsina = — (sina— smt)dt.

P    P J

Ponieważ |sina-sint| < |t- a|, prawa strona (107) jest nie większa co do wartości bezwzględnej niż >9/2; analogicznie rozpatruje się przypadek p < 0. Wobec tego dla dowolnej wartości fi

|cóś(a+/Q-cos/? . 1'

(108)    |— -—+sinaj < |>Sj.

(W przypadku P — 0 interpretujemy lewą stronę (108) jako równą 0.)

Ustalmy teraz t oraz /i / 0, i zastosujmy (108) przy a * xt, P = xh. Ze (104) i (105) wynika, że

-00

Przy h-*0 otrzymujemy stąd (106),

Pójdźmy jeszcze o krok dalej: całkowanie przez części zastosowane w (104) daje

(109)    /(O - 2 J xe~*²?^dx.

Zatem tf(t) = -2g(t) i ze (106) wynika, że/spełnia równanie różniczkowe

(no) ***