171(1)

Ostatnią całkę obliczamy przez części; otrzymujemy

vi; =

2 ln 2

(4In4-3) = 12-- — X 5,507

Również i tutaj przy odwrotnej kolejności całkowania obszar ABC należy podzielić na dwie części AEC i ABE, w wyniku czego pole S wyrazi się sumą dwóch całek podwójnych

0    4    2    4

S = J f dxdy — | | dxdy 4- ( j dxdy = | dx I dy-f- I dx j dy

ABC    AEC    ABE    — t ₂~^2i    0    2^X

3) Przedstawiamy oba okręgi w układzie współrzędnych biegunowych (rys. 168) i szukane pole obliczamy ze wzoru (2)

b cosę>

S = j'j' Qd(pdg~2 ^ j ęd(pdQ— 2 j" dcp | odo =

ABO

0 a cos (p n ~2

12 Z

— Qr—a²) I cos² <pd<p ——2~~ ( ^ +cos 2(p)ihp —

b^l-a^z r

<?+ —-Sin2ęj

T = ^(ó²-n²)

o

Uwzględniliśmy tu symetrię obu okręgów względem osi biegunowej oraz to, że obydwa górne półokręgi otrzymujemy prz}' zmianie kąta <p od 0 do ?r/2.

4) Pole figury ograniczonej przez daną krzywą zamkniętą (lemniskatę) najprościej jest obliczyć we współrzędnych biegunowych. Podstawiając

w równaniu krzywej x = ocosip, y = ęsinrp, po uproszczeniach, otrzymamy jej równanie we współrzędnych biegunowych g² - a² sin 2<p.

Kreślimy krzywą (rys. 169). Jest ona symetryczna względem bieguna układu. Przy zmianie kąta (p od 0 do rr/2 punkt bieżący przebiega połowę krzywej, leżącą powyżej osi biegunowej. Biorąc to pod uwagę i stosując wzór (2), znajdujemy

Obliczyć pola figur ograniczonych liniami:

814. 3a'² = 25y, 5y² == 9*    815. xy = 4, x+y = 5

816. y = e^x, y — e^2x, x = 1    817. g = acos2<p

818.    .r I-y— 1, x+3y = 1, * = y, x = 2y

819. o = 4sin<p, g = 2sin<p 820. g =

821.    (x²—;r)² = 2y³    | przejść do ws

822.    (at-tJ’²)³ = a²(x^Ąjry^A)\ biegunowych

819.    o = 4sin<p, g = 2sin<p 820. g = asmlcp

821. (w²—>’²)² = 2y³    | przejść do współrzędnych

§ 4. Obliczanie objętości bryły

Objętość pionowej bryły cylindrycznej, mającej za podstawę obszar D leżący na płaszczyźnie xOy (rys. 170) i ograniczonej od góry powierzchnią z = f(x, >•), wyraża się całką podwójną

D

(a)

Z

z=f(*,y)

Rys. 170

Dla brył o bardziej złożonym kształcie, obliczanie objętości sprowadza się do obliczenia sumy algebraicznej objętości kilku brył cylindrycznych pionowych (o tworzących równoległych do osi Oz),

345