517 2

517

Rozdziat 9

(b) Całkujemy przez części pierwszą całkę z (9.5.3):

00

plalcgo transformatą Fouriera funkcji / jest 2nitg{r). Wynik otrzymuje się po (k — J)-krot-! nym powtórzeniu tego przekształcenia.

’ 3. Z (9.5.3)

<z>    cd

?(£)“ ( p(r)exp(2it^l)rfr* J J fi(x)0j(r-x)exp(2ni£i)rfxdt.

X    “ 8C - 00

Wprowadzamy nowe zmienne u=x, v=t-x. Jakobtan przekształcenia jest równy 1,

t=u ~v,

* X

?(0= / J 5i(u)ff2(Ł’)oxp(27W«Ocxp(27ti^)^wdt: =

= f g,{u)cxp(2Kiuź)du J ^(u)exp(2nmO^= Pi(0 <M£)*

- «o    - x

4. Załóżmy, ie / ma okres L:

/0)~ L Cjexp(2ni/7/L).

i*-«s

j^Oznaczmy kreską sprzężenie liczby zespolonej. Niech będzie

L/Z    L/2

1= j |/(f)|⁵di= J Y Cj&pilnijtfUY c_kcxp{-IniktIL)di =

-Liz    -Lii J    *

L/Z

= 1 I *i*k f ^cxP[2nri(J—k)t/L]di.

J *    - Ł/2

Tc całki są równe I dla j-fc i 0 w przeciwnym razie. Stąd

i for-

I Wzór (9.2.7) otrzymuje się dla L-2n. Aby udowodnić wzór (9.5.4)postępujemy w ten sam ,..heurystyczny” sposob. jaki zastosowano dla (9.5.3). Stąd C]=>Ł~ ^l9jjJlL),

i = I    f \gUtfdt, gdy I-oc.

ż= - «    - «?