181208593299489960999338924 n

82

82

III. Rćmjuma różniczkowe zwyczajne wy****' “#H>w

§ 14. RÓWNANIA UMOWĘ O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH I. Całka ogólna równania liniowego jcdnoro<Incgo o stałych współczynnikach

y^<'^>+fl..,/*'^,>+...+fl,/+a_oy=»0 >'o=Ci>i+C₂y₂ + ...+C.y,,

'

14.2. Całka ogólna równania liniowego niejednorodnego rzędu n o stałych ^Eł,/'^c >*. /■ 1.2...../;. jest całką szczególną równania

czynnikach

linioH_t

witych

) jest WKlomiancm _MOpnu «. przewidując. I*

nanu

yW+a._,y<""^,, + ...+«i/+•»♦>■./!(*)•    ^,ml'².....*•

(•) Układ (6) ma dokUdrue jedno rozwiązań* w/eRdem znucnnych G.I-1.2.....«. POdewaZ

"r/nacznik (wroóskian) układu

jXi zi

**'    od zera. na mocy liniowej mezaletook. ciek ««cOłnych ..........

14.1

(1)

jest postaci

(2)

gdżic C, (/**!, 2.....ⁿ) *4 stałymi dowolnymi, a funkcje y,*y,(x)(i = 1.2.....n) ^

rozwiązaniami szczególnymi liniowo niezależnymi równania (1).

Funkcje y, znajdujemy następująco: piszemy równanie charakterystyczne równani,j

{U. tzn. równanie liczbowe

(3)    r"+o.-,r*“ + ...+<iir+ao=0

o niewiadomej r i rozkładamy lewą stronę równania (3) na czynniki postaci <a)    r-a,

<b)    {r-af (k> 1),

<c)    rⁱ+pr+g,

(dj    (r*+pr+tf (fc> 1),

gdzie d=p^J-4$<0.

Czynnikom (a)-(d) odpowiadają kolejno następujące rozwiązania szczególne r<5» nania (I);

<•*>    y,-«".

<*>')    y,-*^. WV\

(O    y, =e"cos fix,    y,=e“sinj?x,

(d')    y,-«“cos£x, y,-xe"co$0x.....    y_k-x*-¹ f*cospx,

y,-«“«in^x, y₂-xe“i in0x.....    y₄-x*-V'sin/?x.

gdzie a- -Jp. fi-ł-Jig-pK

Znalezione w powyższy sposób funkcje *(1-1,2.....n) są liniowo niezależne.

<4)    ’    y^w+o.-i/“^,> + ...+a,y'+a₀y-/(x),

określona jest za pomocą wzoru

(5)    y-yo+y*.

gdzie y₀ oznacza całkę ogólną równania jednorodnego (1) (powstającego z (4) P^tt&\ stąpienie funkcji /(x) funkcją tożsamościowo równą zeru), a y* jest dowolną całka & gólną równania (4).

* ¹⁴ Rów

wipółczynrukad,    ₈ j.

Całkę y* można znaleźć metoda •

«> jtwi/w-z-^,).    i r^^k

przy czym liczba p oznacza krotność pierwiastka L ,/__    .

_(pr,v,»0c_k 0    * , nic *

domym wielomianem stopnia n;    ¹ "    ^D,c*^u

Pi jtócli /W-Z_W)cos4x₊0J,_)ń,_tal ^ ^ i _e „ miany odpowiednio stopnia /r&O i m^O. przewidując, że    ^W

y* - *V'[S/x)cos bx+R/x)sin 6x],

przy czym p jest krotnością pierwiastków zespolonych k±,b równania cbarakteryttycz-’ nego (3) (przypadek p«*0 oznacza, że liczby k±ib nic są pierwiastkami równania (3)), a S,(x) i R,(x) oznaczają wielomiany stopnia f-max {n.m}.

W przypadku dowolnej funkcji /(x), całkę y* znajdujemy metodą uzmicn niania łych (metoda Lagrangc‘a). Mianowicie, jeżeli

yo“C,y,+C₂y₂+...+C,y.. to

y*-C,(x)y,+C₂(x)y₂+...+C/x)y„

przy czym funkcje Qx) (/-1.2.....n) znajdujemy z układu równań(‘)

C',(x)y,+Ci(x)y_J+...+CUx)y.-0.

Ci(x)yi+C₂(x)y'₂ +...+CW.-0.

(o)    .........................

ci(x)/•-^,ł+ci(x)y?'ⁿ+• + WrS*'^,ł-/w •

14.3. Jeżeli funkcja /(x) w równaniu (4) ma posUĆ /(x)-/,(*)+/a(*)^{+ +}^^x)'

to całka ogólna równania (4) określona jest za pomocą wzoru

₍₇₎    y-y₀+y:+r;+-⁺rf-

W-

	/»	... /.
ri	/.	... /.
I*"*