189(1)

W sposób analogiczny obliczamy całkę krzywoliniową po odcinkach BC i CA. Otrzymujemy

nc y_B=7

Wobec tego

/ =.J+/ -I- / = -4+10-3 = 3

ABC A    AB BC CA

2) W tym przypadku wyrażenie podcałkowe jest różniczką zupełną pewnej funkcji dwóch zmiennych, ponieważ (y cos x)' — (sin x)'_x — cos x. Wynika z tego, że dana całka krzywoliniowa wzięta po ^bwodzie rozważanego trójkąta jest równa zeru. Będzie ona równa zeru i po dowolnym innym zamkniętym konturze.

Obliczyć całki krzywoliniowe:

876.    /y{x—y)dx \-xdy po liniach: 1) y = 2x, 2) y = 2x², 3) y² — 4x,

O A    *

łączących punkty 0(0,0) i A(l, 2).

877.    § (x²—y)dx po Ibwodzie prostokąta, utworzonego przez linie

A~C    W

x — 0, y = 0, x = 1, y = 2.

odcinku prostej x—2y = 4, łączącym punkty

A (0, —2) i B(4, 0).

^w 879. / ydx+zdyĄ-xdz wziętą: 1) po odcinku prostej OC i 2) wzdłuż

nr'

łamanej 0.4BC; 0(0, 0, 0); „.4(1,0,0), B(\, 1,0), <7(1, 1, 1). 880. j (x²—y²)dx-h(x²-ry²)dy po elipsie    = 1.

881.    12ysin2xrfx—cos2xdy po dowolnej linii, łączącej punkty M(-2-, 2

A/.V    \⁴

882. I yxe^xdx^-(x— l)e^xdy po dowolnej drodze, łączącej punkty /i(0,2)

AB

i *0,2).

883. §2x(y— Y)dxĄ-x^ldy po konturze figury ograniczonej liniami

+c

y — a² i y — 9.

§ 9. Obliczanie wielkości za pomocą całek krzywoliniowych

Całki krzywoliniowe, podobnie jak i pozostałe rodzaje całek oznaczonych służą do obliczania różnych wielkości geometrycznych i fizycznych.

Za pomocą całek krzywoliniowych łatwo oblicza się następujące wielkości:

1) Długość łuku AD płaskiej albo przestrzennej linii

AB

0)

2) Pole figury, leżącej na płaszczyźnie xOy i ograniczonej zamkniętą linią C

+C

(3)

(4)

3) Masę m łuku materialnego AB

m= | <5 (M)dl

AB

gdzie <5(M) oznacza gęstość liniową materiału w punkcie M łuku.

4) Współrzędne środka ciężkości C łuku AB

f a-<5 (M) dl    fy<5 (A/) dl'    f z<5 (A/) dl

AB    AB    _ AB_

m

m

(W przypadku równomiernego rozkładu masy <5 = const i wzory (4) upraszczają się po wyłączeniu <5 przed znaki całek).

L == f Pdx+Ody+Rdz

5) Pracę L, jaką wykonuje siła F działająca na punkt, przy jego przemieszczaniu się wzdłuż łuku AB

(5)

AU

gdzie: P, Q, R składowe siły wzdłuż, osi współrzędnych.

884. Obliczyć długość kardioidy a — 2ccosf—acoslt, y = 2<zsinf — asin2f.

381