1tom135

6. ELEKTROTECHNIKA TEORETYCZNA 272

przy czym:
[/„, = C/„e^j* — amplituda zespolona napięcia	(6-10)
U(t) = Uj,,e^iaI — wektor wirujący	(6.11)
u = Im [D'(t)j — wartość chwilowa napięcia	(6.12)
Z rachunku liczb zespolonych wynika
LLn = b^T„(cosi/i+jsint/i) = Uml+jUm2	(6.13)

Związek pomiędzy wartością chwilową przebiegu sinusoidalnego i wektorem wirującym na płaszczyźnie zespolonej stanowi podstawę zastosowania rachunku liczb zespolonych do analizy przebiegów sinusoidalnych. Działania na wektorach odwzorowujących przebiegi sinusoidalne zastępujemy działaniami na liczbach zespolonych. Zamiast amplitud zespolonych powszechnie stosujemy wartości skuteczne zespolone w odniesieniu do napięć i prądów.

Zbiór kilku wektorów odwzorowujących napięcie i prądy sinusoidalne w obwodzie, położonych na płaszczyźnie, nazywamy wykresem wektorowym. Na wykresie wektorowym wartości sinusoidalnie zmienne odwzorowujemy dla chwili t = 0, a więc działania na wektorach wirujących zastępujemy działaniami na wektorach nieruchomych. Każdemu wektorowi można przyporządkować liczbę zespoloną i odwrotnie — każdej liczbie zespolonej wektor.

6.2.2. Dwójniki zawierające elementy R, L, C

Na rysunku 6.3 przedstawiono dwójnik zawierający elementy R. L, C połączone szeregowo. Zgodnie z drugim prawem Kirchhołfa dla wartości chwilowych

u = u_R + u_L+u_c

di 1 ,

Ri + L ——b — f i d t dt C'

(6.14)

Rys. 6.3. Dwójnik szeregowy R, L, C

Przy przebiegach sinusoidalnych

(6.15)

przy czym: U(t) =    I(t) = /.c'"'.

W wyniku rozwiązania równania (6.15) i po przejściu do wartości skutecznych zespolonych, otrzymuje się

przy czym:

Z = K+j( a>L-

a>C

R+jX

(6.17)

jest nazywana impedancją zespoloną; R — rezystancją; X — reaktancją: X_L = coL — reak-tancją indukcyjną; X_c = 1/coC — reaktancją pojemnościową.

Impedancję zespoloną można wyrazić w postaci wykładniczej

Z = Ze^jo    (6.18)

przy czym: Z — moduł impedancji; ę> — argument impedancji mierzony w radianach lub stopniach.

Moduł i argument impedancji wyznacza się odpowiednio ze wzorów

tg tp ■

JR²+X²

(oL-

1

co C

(6.19)

(6.20)

Jednostką impedancji, rezystancji i reaktancji jest om (1 Q).

Uwzględniając powyższe, można zależność (6.16) wyrazić w postaci

U = Z J    (6.21)

Równanie (6.21) jest nazywane prawem Ohma dla wartości skutecznych zespolonych. Jeśli uwzględnić zależność (6.18), to prawo Ohma określone wzorem (6.21) przyjmie postać

U = Ze^JC> /    (6.22)

Ze w^rzoru (6.22) wynika, że kąt cp decyduje o przesunięciu fazowym napięcia względem prądu. Kąt ten, będący kątem przesunięcia wektora napięcia względem wektora prądu, jest nazywany kątem przesunięcia fazowego napięcia względem prądu.

W zależności od wartości parametrów L i C oraz częstotliwości /, reaktancja może być dodatnia, ujemna lub równa zeru. Dla tych trzech przypadków na rys. 6.4 przedstawiono W'ykresy wektorowe dwójnika szeregowego R. L, C.

^a) Ul=M1		ty łt=juLl		^c) Ui^juLl
		łjR-kl	1		I
łJe=l>I		5><0

Rys. 6.4. Wykresy wektorowe dwójnika szeregowego R, L, C: a) X > ft b) X < 0; c) X = 0

Odwrotność impedancji zespolonej Y = 1/Z jest nazywana admitancją zespoloną. Korzystając z zależności (6.17)

Y=

1

~Z

1 R .(-*) R+jA' Z² J Z²

= G+]B

(6.23)

przy czym: G = R/Z² — konduktancja; B = —X/Z² — susceptancja; Y = _X/G² + B² — moduł admitancji.

Impedancje zespolone, admitancje zespolone, wykresy wektorowe i czasowe dwój-ników o różnych połączeniach elemetów R, L i C zestawiono w tabl. 6.3.

18 Poradnik inżyniera elektryka tom I