224 225

Metody wielokryterialne

224

wanego zadania istnieje dokładnie jedno takie rozwiązanie. Przypuśćmy, że decydent doszedł do wniosku, że najlepszym poziomem wykorzystania środka S, jest wartość 12 jednostek (pozostałe warunki przykładu 4.11 są bez zmian).

Ilustracją geometryczną etapów 1 i 2 rozwiązywania zadania są, odpowiednio, rys. 4.18 oraz 4.20. Jedynym rozwiązaniem optymalnym zadania programowania celowego jest punkt B.

Może się również zdarzyć, że nie istnieje żadne rozwiązanie dopuszczalne.

Rysunek 4.20

%

które spełnia wszystkie wymagania decydenta. Przypuśćmy, że decydent doszedł do wniosku, że najlepszym poziomem wykorzystania środka S, jest 14 jednostek (pozostałe warunki przykładu 4.11 są w dalszym ciągu bez zmian). Ilustracją geometryczną pierwszego i drugiego etapu rozwiązania zadania są, odpowiednio, rys. 4.18 i 4.21. Rozwiązania optymalnego zadania programowania celowego należy szukać wśród tych rozwiązań dopuszczalnych, które znajdują się najbliżej prostej 2x_{+2x₂ = 14. Jest nim ponownie punkt B.

4.5.4. Współczynniki wagowe

Zadanie programowania celowego można również formułować bez hierarchizacji celów, uwzględniając jednak różnice w ważności odchyleń od zadanych przez decydenta poziomów osiągnięcia celów przez zastosowanie odpowiednio dobranych współczynników wagowych. Możliwość tę ilustruje kolejny przykład.

Przykład 4.12

Decydent uznał, że satysfakcjonuje go otrzymanie zysku na poziomie co najmniej 12 jednostek (cel 1), a zużycie środka .Sj (wykorzystanie zasobów pracy) ma wynosić 10 jednostek (cel 2), przy czym ewentualne odchylenie „in plus” dotyczące osiągnięcia celu 2 jest dwukrotnie bardziej niekorzystne niż odchylenie „in minus”. Osiągnięcie obu tych celów jest tak samo ważne dla decydenta.

Uwzględniając wprowadzone uprzednio dodatkowe zmienne yj, yj, yj i >>2 oraz wagi dla zmiennych yj i yj równe, odpowiednio, 2 i 1, otrzymujemy zadanie:

yj + 2yj+yj -> min,

2.t, + 3jt₂—y| + y7 = 12,

2x, + 2x₇-y2+y2 = 10, x1 + 2x_? ^ 8,

4x,    ^ 16,

*1. *2. yl. yj, yj, yj 2* 0.

Jego rozwiązanie jest następujące: jc,=2, x₂ = 3, yj=l, yj = 0, yj = 0, yj = 0.

Możliwe jest również połączenie hierarchizacji kryteriów z uwzględnieniem współczynników wagowych. W ostatnim rozpatrywanym przez nas przykładzie, ilustrującym tę sytuację, wskażemy również możliwość wykorzystania hierarchii grupowej kryteriów.

Przykład 4.13

Decydent uznał, że satysfakcjonuje go otrzymanie zysku na poziomie przynajmniej 14 jednostek (cel 1) oraz utrzymanie poziomu zatrudnienia na poziomie 10 jednostek (cel 2), a także produkcja P₂ na poziomie przynajmniej 4 jednostek (cel 3). Punktowy cel 2 można zamienić na dwa cele przedziałowe — poziom