312 313

312 313



312


Programowanie wypukłe i kwadratowe



8 n| optym^’1)' Port^e' akci‘


313


Ze względu na to, że mamy p2 < 0, w czwartym warunku ograniczającym nie % trzeba wprowadzać zmiennej sztucznej vv2> gdyż zmienną bazową jest y2. Widzimy więc, że pojawienie się w wektorze p współczynnika o wartości niedodatniej pozwala na ograniczenie liczby zmiennych sztucznych typu w.

Rozwiązujemy zadanie zastępcze, wykorzystując algorytm Wolfe’a. Rozwiązanie optymalne zadania zastępczego otrzymujemy w piątej iteracji. Optymalna wartość funkcji celu w zadaniu zastępczym wynosi 0. Odczytujemy rozwiązanie optymalne zadania wyjściowego:

X| =8, x2 1.

Optymalna wartość funkcji celu jest równa -618.

6.3.5. Reguły postępowania w metodzie Wolfe’a

Rozwiązując zadanie programowania kwadratowego metodą Wolfc’a, możemy wyróżnić następujące kroki:

1.    Zapisanie warunków Kuhna-Tuckera.

2.    Zapisanie zadania zastępczego.

a)    Niech n oznacza liczbę zmiennych decyzyjnych zadania wyjściowego. Jeżeli dla j= 1, ..., n, p <0, to do warunku zadania zastępczego otrzymanego w wyniku różniczkowania funkcji Lagrange’a względem zmiennej x2 dodajemy zmienną sztuczną typu w. Jeżeli mamy pj^O, to zmienną bazową w pierwszym rozwiązaniu dopuszczalnym jest dla tego warunku zmienna yj.

b)    Niech m oznacza liczbę warunków ograniczających zadania wyjściowego. Jeżeli dla ;=1, .... m mamy    to wtedy do lewej strony

warunku ograniczającego dodajemy zmienną bilansującą, która jest zmienną bazową w pierwszym dopuszczalnym rozwiązaniu bazowym. Jeżeli b, < 0, to od lewej strony /-tego warunku ograniczającego odejmujemy zmienną bilansującą, przekształcając ten warunek do postaci równości; aby uzyskać pierwsze bazowe rozwiązanie dopuszczalne, do lewej strony takiego warunku ograniczającego dodajemy zmienną sztuczną typu v.

3.    Kolejne iteracje.

Algorytm obliczeniowy jest rozszerzeniem algorytmu prymalnej metody simpleks dla zadania minimalizacji. W kolejnych iteracjach: a) Analizujemy wartości współczynników optymalności dla aktualnie rozpatrywanego rozwiązania bazowego. W przypadku, gdy istnieje przynajmniej jeden niedodatni wskaźnik optymalności dla zmiennej nieba-zowej, wybieramy jako zmienną kandydującą do bazy zmienną z najmniejszą wartością współczynnika optymalności.

b)    Sprawdzamy, czy wybór zmiennej kandydującej do bazy był właściwy. Wybór jest właściwy, o ile w rozpatrywanej bazie nie ma zmiennej komplementarnej do wprowadzanej zmiennej. Jeżeli zmienna komplementarna jest w bazie, trzeba jeszcze sprawdzić, czy w wyniku wykonywanego przekształcenia zmienna ta opuści bazę. Niedopuszczalne jest, aby zmienna bazowa i zmienna do niej komplementarna znalazły się jednocześnie w bazie3. O ile taka sytuacja miałaby wystąpić, należy zmienić zmienną kandydującą do bazy, biorąc zmienną z kolejnym najmniejszym współczynnikiem optymalności.

c)    Wybieramy zmienną usuwaną z bazy. Reguła wyboru zmiennej wychodzącej z bazy jest taka sama jak w prymalnej metodzie simpleks.

d)    Oceniamy, czy na podstawie otrzymanego rozwiązania optymalnego zadania zastępczego można odczytać rozwiązanie optymalne zadania wyjściowego. Będzie tak wówczas, gdy w ostatnim rozpatrywanym rozwiązaniu zadania zastępczego wszystkie zmienne sztuczne przyjmą wartość 0. Jeżeli warunek ten nie jest spełniony, zadanie wyjściowe jest sprzeczne.

6.4. Optymalny portfel akcji

Jedną z metod konstrukcji optymalnego portfela akcji jest podejście zaproponowane przez H. Markowitza. Polega ono na określeniu takiego składu portfela, złożonego z akcji n spółek, który minimalizuje ryzyko portfela przy założonym z góry poziomie oczekiwanego zysku.

6.4.1. Oczekiwana stopa zysku i ryzyko portfela

Podstawowym założeniem teorii Markowitza jest to, że kursy akcji cechują się pewną inercją, w związku z tym na podstawie zachowania się cen w N okresach w przeszłości można przewidywać ich zachowanie się w przyszłości. Dlatego leż jako oczekiwaną stopę zysku z akcji proponuje się przyjąć średnią stopę zysku, wyznaczoną na podstawie pewnej liczby okresów z przeszłości, natomiast jako miarę ryzyka przyjmuje się odchylenie standardowe stopy zysku.

* Warunki komplcmentamości byłyby spełnione również wówczas, gdyby w bazie znalazły się równocześnie rozpatrywana zmienna i zmienna do niej komplementarna, przy czym jedna z nich z wartością równą zeru. Ponieważ jednak w następnych iteracjach moglibyśmy w ten sposób stworzyć sytuację, że obie te zmienne — pozostając zmiennymi bazowymi — przyjęłyby wartości dodatnie (co naruszyłoby warunki komplemcntarności), możliwość ta nic jest dalej brana pod uwagę.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
308 309 308 Programowanie wypukłe i kwadratowe tarnej x?2 i niemożność jej wymiany ze zmienną y2 (wa
292 293 Programowanie wypukłe i kwadratowe292 Scharakteryzujemy wykorzystywane dalej funkcje wypukłe
290 291 290 Programowanie wypukłe i kwadratowe Rysunek 6.3 290 Programowanie wypukłe i kwadratowe W
294 295 294 Programowanie wypukłe i kwadratowe Rysunek 6.5 kierunku wzrostu funkcji celu określamy p
296 297 296 Programowanie wypukłe i kwadratowe Ponadto mówimy, że spełniony jest warunek Slatera, je
298 299 Programowanie wypukłe i kwadratowe298 Podzbiór 2 Pierwszy warunek jest spełniony jako równoś
300 301 300 Programowanie wypukłe i kwadratowe Rysunek 6.12 A W t Podzbiór 1 Jeżeli gi>0, g2>
302 303 302 Programowanie wypukłe i kwadratowe Sprowadzimy zadanie do ogólnej postaci programowania
304 305 304 Programowanie wypukłe i kwadratowe Warunek 3 Warunek ten stanowi powtórzenie warunków
306 307 306 Programowanie wypukłe i kwadratowe • i 306 Programowanie wypukłe i kwadratowe 
310 311 310 Programowanie wypukłe i kwadratowe Tablica 6.6 cx
314 315 314 Programowanie wypukłe i kwadratowi Oznaczmy symbolem /?,(/■) cenę / -tej akcji osiągnięt
316 317 316 Programowanie wypukłe i kwadratowe Tablica 6.9 Notowania spółka 1 spółka 2 spółka
318 319 318 Programowanie wypukłe i kwadratoweFunkcja celu min, f(xj, Aj, Aj, A.j, A5) = [A
320 321 320 Programowanie wypukłe i kwadratowe Funkcje celu: • minimalizacja ryzyka
322 323 322 Programowanie wypukłe i kwadratowe Rozpatrywane zadanie nie jest zadaniem wektorowej mak
030 031 2 30 Programowanie liniowe Ze względu na to, że funkcja celu jest liniowa, wartości pochodny

więcej podobnych podstron