318 319

318 Programowanie wypukłe i kwadratowe

Funkcja celu

min,

f(xj, Aj, Aj, A.j, A5) ⁼ [A| A2 Xj A4 A j] * Vp ■ [A| Aj A 3 A4 AĄ|

gdzie V_p jest macierzą postaci:

V_P =

11,4312	1.1701	0,1232	1,6619	2,0254
1,1701	7,7723	0,4983	1,1374	1,7056
0,1232	0,4983	5,1598	- 1,3094	-0,6307
1,6619	1,1374	-1,3094	20,2858	2,2824
2,0254	1,7056	-0,6307	2,2824	4,3189

Warunki ograniczające:

• oczekiwany zysk z portfela ma być nie mniejszy niż 1%, czyli: 0.94 a, + 1 ,20a₂ - 0,02 a, + 0.81 x₄ + 0,45 a, > 1,

• udziały akcji w portfelu sumują się do jedności:

A, +A₂+A₃ + A4 + A₅= 1.

• warunki nieujemności:

A,, a₂, a₃, a₄, a₅ >0.

Rozwiązanie optymalne

Zadanie rozwiązujemy za pomocą programu KWADRAT.EXE. Wymaga to przekształcenia zadania do postaci wymaganej przez program. Przedstawiamy je jako problem maksymalizacji z warunkami ograniczającymi typu „mniejsze lub równe” (<). Rozwiązujemy więc zadanie w postaci:

/(■*■ I' Aj, Jt,, A,. A ,)

= - [A, Aj A, Aj A,I

1,4312	1,1701	0,1232	1,6619	2.0254
1,1701	7,7723	0.4983	1,1374	1,7056
0,1232	0,4983	5,1598	- 1,3094	-0.6307
1,6619	1.1374	-1,3094	20,2858	2,2824
2,0264	1,7056	-0,6307	2,2824	4,3189

[a. A, Aj Aj a,]^t -» max.

przy warunkach ograniczających:

- 0,94*i - 1,20x₂ + 0,02jc₃ - 0,81 x₄ — 0,45x₅ ^ - I,

_Xl+X₂+X} + X_Ą+X₅ 1,

—jci —JCa— *3—x₄ — x$ ^ — 1,

*|> *2’ *3> *4. *5 ^ 0"

otrzymujemy następujące rozwiązanie optymalne:

_Xl= 0,2468, *, = 0,5391, x₃ = 0,0285, *„ = 0,1060, *, = 0,0797.

Optymalna wartość funkcji celu jest równa 2.

Interpretacja rozwiązania

Optymalny portfel, dla którego stopa oczekiwanego zysku jest nie mniejsza niż 1%, będzie się składał (w ujęciu wartościowym) w 24,68% z akcji spółki 1, w 53.91% z akcji spółki 2, w 2,85% z akcji spółki 3, w 10,6% z akcji spółki 4 i w 7,97% z akcji spółki 5. Ryzyko takiego portfela wynosi 3/2 « 1,41.

6.4.3. Dwukryterialne zadanie

poszukiwania optymalnego portfela akcji

Przykład 6.6

Należy przedstawić zadanie poszukiwania optymalnego portfela akcji, opisane w przykładzie 6.5 jako zadanie dwukryterialne, i posługując się danymi liczbowymi tego przykładu, znaleźć rozwiązania sprawne (w przestrzeni decyzyjnej) i nie-zdominowane (w przestrzeni kryteria)nej).

Rozwiązanie

Cel

Poszukujemy takiego portfela akcji, dla którego ryzyko jest minimalne, a oczekiwany zysk portfela — maksymalny.

Zmienne decyzyjne

Są takie same jak w przykładzie 6.5.