388987A0024675709725!160645 n

(i_:V«łóżmy. że ideał I pierścienia P przemiennego z l jest pierwszy. Wówczas ^ (V (A) 1 jest maksymalny

P/Jjest ciałem    ^ '

| TjSp ^' ‘ nie ma właściwych dzielników zera.

Cr)/.ałó/my. że liczby A, w takie, że 0 < A- < n są względnie pierwsze. Wówczas **” T (A) A jest generatorem grupy cyklicznej Z„

) W(B) A jest generatorem grupy <!>(//) jeśli jest ona cykliczna V // '

I - T (C) A jest odwracalny w pierścieniu S„.

(3JZnłóźmy. żc Pjcst pierścieniem całkowitym. Wówczas każdy wielomian F e PIW] stopnia n ma w P

Y    IV(A) dokładnie n pierwiastków A N (B) co najmniej n pierwiastków

j T*£C)^c0 najwyżej n pierwiastków.

_v 4?) Podzbiór grupy zamknięty ze względu na działanie grupowe jest jej podgrupą jeśli T (A) podzbiór jest skończony

Y T (B) grupa jest skończona    /

l |V (C) grupa jest przemienna.    /*'

1

Grupa G ma 11 elementów. Wówczas G jest " T TA) przemienna rT(B) cykliczna ^ *!“ (C) izomorficzna z Zn.

(T^Nicch podzbiór H grupy G będzie jądrem pewnego homomorfizmu. Wówczas T(A) //jest skończony    g

-    T (B) H jest podgrupą G    Q

^ T CG) U jest dzielnikiem normalnym G.

/i

( 7. Niech G będzie grupą macierzy kwadratowych o wyznaczniku różnym od zera, a H podgrupą macierzy o wyznaczniku dodatnim. Wówczas G/Hjest izomorficzna z

(V (A)R<

(V(B)R*    ^0

-    T (C) z₂.

4

A

V będzie epimorfizmem pierścienia Q na niezerowy pierścień P. Wówczas

0

8. Dzielnikiem normalnym grupy G jest T ((A^)każda jej podgrupa przemienna T (B) każda jej podgrupa, jeśli G jest przemienna . (N (C) każda jej podgrupa skończona.

\9j Pierścień Z/5Z jest izomorficzny z •WAjZ X (B) Z₅

W© z żadnym z nich.

(jlO) Niech </> : Q (V (A) Vjest ciałem T (B) P może być izomorficzny z Z r (C) V może być izomorficzny z Zi.