4512

50    Wielonuiay

4-3 •) -1.2, -3; b) 2;c) 1, -2.3: d) wielomian nie ma pierwiastków całkowitych, sówka. Wjłon^U/ uwagę a przykładu 4.3 c).

4.4    a) 2.-i,-i; b) j,-j; c) j; d) wielomian nic ma pierwiastków wymiernych.

4.5    a) 2 - 3i, 2 -f 3»; b) 1 - 3*. 2 + i; c) lV3. -lytf, iVo, — iv^/5; d) --• j'-*.

• 3 v» V§i

%/?(! +i).-V$(l+t).

4.6    a) -«, y/2;b)l + 3i. v/j, - c) 2 - i. 1 + 2i. 1 - 2i; d) -i. y/2i, 1 + i, 1

11 +i, 2+ Jii, i.

4.7    a) 31* + 80; b) v^r - 2; c) 3t³ + 3; d) 3z - 1; o) -18* + 58; f) r + 14.

4.8* x moje być dowolną liczbą rzeczywistą lub i, -i, — i + i-~, — I - i~.

Piąty tydzień

Zasadnicze twierdzenie algebry (2.3). Ułamki proste (2.4).

Przykłady

• Przykład 5.1

Podać przykłady wielomianów zespolonych najniższego stopnia, które spełniają podane warunki:

a)    liczba 1 jest pierwiastkiem podwójnym, a liczby 2, 3, 1 + i są pierwiastkami pojedynczymi tego wielomianu;

b)    liczba 2 - 3i jest pierwiastkiem podwójnym, a liczba 2 + 3i jest pierwiastkiem poczwórnym tego wielomianu.

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy twierdzenie o przedstawianiu wielomianu zespolonego w postaci iloczynu dwumianów. Jeżeli liczby zespolone *j, x₃, .... z_m są pierwiastkami wielomianu IV o krotnościach odpowiednio ki, k₃, ..k_m, to

W(»)*e(*-*,)*' -(*-gs)* • .-(.--^

gdzie c 6 C\ {0} jest współczynnikiem tego wielomianu przy najwyższej potędze.

a)    Przykładem wielomianu spełniającego podany warunek jest wielomian postaci:

W(t) t=c(z- l)³ ■ (, - 2) • (m - 3) • (* — (1 +«•)],

gdzie c € C\{0). Wielomiany tej postaci są jedynymi wielomianami najniższego stopnia, które spełniają ten warunek.

b)    Przykładem wielomianu spełniającego podany warunek jest wielomian postaci:

W(.) = e(* - (2 - 3i)f • (* - (2 ||jj!

gdzie c € C\ {0). Wiełomiany tej postaci są jedynymi wielomianami najniższego stopnia, które spełniają ten warunek.

ma    u//mm .^vwv

I_

Piąty tydzień • przykłady    51

•    Przykład 5.2

Podać przykłady wielomianów rzeczywistych najniższego stopnia, które spełniają podane warunki:

a)    liczby 0,3 oraz -i są pierwiastkami pojedynczymi tego wielomianu;

b)    liczby 1 + 2i, -5 są pierwiastkami pojedynczymi, liczba 0 jest pierwiastkiem podwójnym, a liczba ~3i jest pierwiastkiem potrójnym tego wielomianu.

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy twierdzenie o pierwiastkach zespolonych wielomianu rzeczywistego. Jeżeli liczba zespolona x_c jest pierwiastkiem A-krotnym wielomianu rzeczywistego, to liczba zg także jest pierwiastkiem k¹krotnym tego wielomianu. Wykorzystamy takie twierdzenie o przedstawiania wielomianu rzeczywistego w postaci iloczynu dwumianów lab trójmianów rzeczywistych. Jeżeli liczby Z|, tj,.... i, są pierwiastkami rzeczywistymi wielomianu rzeczywistego H' o krotnościach odpowiednio k_tl tj,..., k_r oraz liczby zespolone ij, 23,x,, gdzie Im:₃ > 0 dla 1 $ j ^ s, są pierwiastkami istotnie zespolonymi tego wielomianu o krotnościach odpowiednio h, Ij.....to

W(t) = «(x-x_J)¹‘ • (x-xj)²    r,)¹'

x(^1a+pi¹ + fi)‘^ł (^1,+Rz¹ + fj)^l,-...(^1a+p.z + f#)¹'.

gdzie a € Jf \ {0} jest współczynnikiem wielomianu U’ przy najwyższej potędze, a baby Pi, fi, PJi ffi. • • •. Pi> 9» H określone przez równości

Pj = -2RCZJ, f, »|z>P dla 1    < s.

n) Ponieważ liczba -i jest pojedynczym pierwiastkiem zespolonym szukanego wielomianu rzeczywistego, więc takie liczba -i = i jest jego pierwiastkiem pojedynczym. Przykładem wielomianu rzeczywistego najniższego stopnia, którego pierwiastkami jednokrotnymi są liczby: 0,3, i, -i jest wielomian

W[t) = ax(x - 3)(r - i)(x + i) = n¹(r - 3) (x¹ +1),

gdzie a € Jl\{0}. Wielomiany tej postaci są jedynymi wielomianami rzeczywistymi stopnia 4, których pierwiastkami są liczby 0,3, i,-i.

b) Ponieważ liczba 1 + 2i jest pojedynczym pierwiastkiem zespolonym szukanego wielomianu rzeczywistego, więc także liczba 1 +2i - 1 - 2i jest jego pierwiastkiem pojedynczym. Podobnie, skoro liczba -Ji jest potrójnym pierwiastkiem zespolonym tego wielomianu, więc także liczba -3i ¹ 3i jest jego pierwiastkiem potrójnym. Przykładem wielomianu rzeczywistego najniższego stopnia, którego pierwiastkami pojedynczymi są liczby: -5,1 + 2i, 1 - 2i, pierwiastkiem podwójnym jest 0, a pierwiastkiem potrójnym są liczby 3i oraz -3i jest wielomian

W{z) = «x^a(x + 5) [z - (1 + 20H¹ - (1 - 2i)} .(z-3i)¹ (i + 3.)»

= «x^a(r + 5) (z^a - 2r + i) (x^a + 9)¹,

gdzie a € R \ (0). Wielomiany tej postaci aą jedynymi wielomianami rzeczywistymi stopaia 11, które mają wymienione wyżej pierwiastki wielokrotne.

1

   Przykład 5.3

2

Podane wielomiany zespolone przedstawić w postaci iloczynu dwumianów: n) i:⁷ - 4; b) x³-3x^a + 3z-1+8i; c) z^Ą - (1 - i)⁴.