4 (3)

83

drugiego rodzaju w pozostałych

l< —2,

< 0,

< I.

iągła we wszystkich pozostałydfl

tść drugiego rodzaju w punkcie feeśłi przyjmiemy to twierdzeń® BEżdym punkcie x '$» 0.

Ht nie maleją (lub nigdzie nie

l b\. Mówi się, że/jest monom rtx » < /(y). Zmieniając znad motonicznie malejącej. Klasal •cjch.

■ ma (a, b). Wówczas istniejn

e malejących.

pankzony z góry liczbą/(a roście d :< /<#)«-Masiitd

tmeje liczba <5 > 0 taka. że<

Funkcje monotoniczne

■    Ponieważ/jest monotoniczna, mamy

... f(x—d) </(r) $ A Qc—S < t < ,x).    ^!

V Zestawiając (27) i (28), widzimy, że

l/(t)-i4| < b , (x-S < t < x).

Stąd f(x—) = A. Drugą część nierówności (25) dowodzimy w ten sam sposób. I Dalej, jeśli a <x<y< b, to z (25) wynika, że

CS*    /(*+)* inf /(r)= inf f(t).

.. x<l<b , ' , .. .,    .

Ostatnią równość otrzymujemy przy zastosowaniu (25) do (o*, y) zamiast (a, b).

■    Podobnie

/(*-) = sup f(t) M sup f(t).

. am*I    jerokk. i ■

I Porównanie (29) i (30) daje nierówność (26).

B WNIOSEK. Funkcja monotoniczna nie ma nieciągłości drugiego rodzaju.

B Z tego wniosku wynika, iż funkcja monotoniczna może mieć nieciągłości tylko w skończonym lub przeliczalnym zbiorze punktów. Zamiast powołać się na twierdzenie ogólne, Bórego dowód jćst zamieszczony w zadaniu 4, podamy tu prosty dowód stosowany tylko dla Bnkcji monofonicznych.

L 4.30. TWIERDZENIE. Niechfbędziefunkcją monotoniczną na (a, b). Wówczas zbiór punktów Bzedziału (a, b), w których funkcja f jest nieciągła, jest nie więcej niż przeliczalny.

| Dowód. Przypuśćmy, że/jest rosnąca i niech E będzie zbiorem punktów, w których/ es t nieciągła. Każdemu punktowi x e £ niech odpowiada liczba wymierna r(x), dla której

/(*-) < r(x) </(*+).

Jasne, że r(xt) r(x₂), jeśli #. x₂, ponieważ dlaócj < x₂ mamy f(xi+) ^»/(x₂—Jk ;

I A więc Została ustalona wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między zbiorem £ ■podzbiorem wszystkich liczb wymiernych. Ten, ostatni zbiór, jak wiemy, jest przeliczalny.

Ł 4.31. UWAGA. Należy zauważyć, że punkty nieciągłości funkcji monotóniczriej nie muszą Bć punktami izolowanymi. Rzeczywiście, dla dowolnego podzbioru przeliczalnego £prze-Bśału (a, £), który może być także wszędzie gęsty, możną skonstruować funkcję/monoto-Bczną na (a, b) mającą nieciągłość w każdym punkcie zbioru '£ i ciągłą we wszystkich pozostałych punktach (a, b),

I Aby to udowodnić, ustawmy punkty zbioru E w ciąg {x„},n = 1,2,3,... Niech {c„} będzie cągiem liczb dodatnich takim, że szereg £c„ jest zbieżny. Niech

/(*) - Y. ^C» < ^X

x„<x

6*